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Tipos de Polinomios de Taylor y Series de polinomios para biología...

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cmge - Polinomios de Taylor y Series de Potencias

Polinomios de Taylor y Series de Potencias Polinomios de Taylor. La derivabilidad de f = f (x) en un punto a nos permite linealizar la función alrededor del punto, o sea, dar la mejor aproximación lineal (de hecho afín) de la función cerca de a : f (x) ≈ f (a) + f ′ (a )(x − a ). Ahora, con la herramienta de integrales podemos dar una estimación del error que cometemos al linealizar la función, e incluso podemos dar aproximaciones no solo lineales, sino cuadráticas, cúbicas y, en general, de cualquier orden, siempre y cuando la función tenga suficientes derivadas. Entramos en el terreno de las aproximaciones mediante polinomios de Taylor, que nos llevará a los desarrollos en series de potencias de algunas funciones. Empezamos asumiendo que f = f (x) es una función derivable tantas veces como queramos en un entorno de a. Utilizamos el convenio de que f (n) (x) denota la derivada de orden n de f en x, y que f (0) (x) ≡ f (x ). Entonces por el 2TFC, tenemos para x cerca de a , Zx f ′ (t ) d t . f (x) = f (a) + t=a

Continuamos con integración por partes, Zx u = f ′ (t ), f ′ (t ) d t f (x)= f (a) +

v = −(x − t ),

t=a

¯x h ¯ = f (a) + − f ′ (t ) (x − t ) ¯

t=a

Zx

+

t=a

du = f ′′(t )d t dv = dt

Zx i f ′′ (t ) (x − t ) d t = f (a) + f ′ (a)(x − a) + f ′′ (t ) (x − t ) d t . t=a

Rx O sea, el error que se comete al linealizar f en el punto a puede ser estimado con la integral t=a f ′′ (t ) (x−t ) d t . Seguimos integrando por partes para ir obteniendo mejores aproximaciones (cuadráticas, cúbicas,. . . ), junto con mecanismos para estimar el error que se cometería al cambiar la función en sí por estas aproximaciones. Zx u = f ′′(t ) , du = f ′′′ (t )d t ′ f ′′ (t ) (x − t ) d t f (x)= f (a ) + f (a)(x − a ) + 2 1 v = − 2 (x − t ) ,

t=a

d v = (x − t )d t

Zx ¯x i h f ′′ (t ) ¯ f ′′′ (t ) (x − t )2 d t + 12 = f (a) + f ′ (a)(x − a) + − (x − t )2 ¯ t=a 2 t=a Zx ′′ f (a) u = f ′′′(t ) , du = f (4)(t )d t ′ ′′′ 1 2 = f (a) + f (a)(x − a) + f (t ) (x − t )2 d t (x − a) + 2 v = − 13 (x − t )3 , d v = (x − t )2 d t 2 t=a Z ¯ i h f ′′′ (t ) x f ′′ (a) ¯x f (4) (t ) (x − t )3 d t + 13 (x − a)2 + 21 − = f (a) + f ′ (a)(x − a) + (x − t )3 ¯ t=a 2 3 t=a Zx ′′′ ′′ f (a) f (a) (x − a)2 + (x − a)3 + 3!1 = f (a) + f ′ (a)(x − a) + f (4) (t ) (x − t )3 d t 2 3! t=a = ··· Zx n X f (k) (a) k 1 f (n+1) (t ) (x − t )n d t. (x − a) + n! = k! t=a k=0

(k) P La aproximación de orden n de f en el punto a, P f ,a,n (x) = nk=0 f k!(a) (x − a)k , se llama Polinomio de Taylor de f en el punto a de grado n, y la integral que permite estimar el error que se comete al cambiar f por esta 1 Rx (n+1) (t ) (x − t )n d t, se llama Resto integral de Taylor de f en el aproximación de orden n, R f ,a,n (x) = n! t=a f punto a de orden n.

y

y

f (x) = sen x T1 (x)

x

y

f (x) = sen x T3 (x)

x

y

f (x) = sen x T5 (x)

x

f (x) = sen x T7 (x)

x

Este resto de Taylor (error) se puede acotar fácilmente si, por ejemplo, sabemos que | f (n+1) (x)| ≤ Mn+1 n+1 . En efecto, veamos que esta estimación es cierta para cuando para x cerca de a: |R f ,a,n (x)| ≤ Mn+1 |x−a| (n+1)! x > a. El caso x < a se hace de forma análoga. Z Mn+1 −(x − t )n+1 t=x Mn+1 1 x | f (n+1) (t )| |x − t |n d t ≤ = |R f ,a,n (x)| ≤ (x − a)n+1 . t=a (n + 1)! n! n! t=a

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Polinomios de Taylor y Series de Potencias - cmge

Series de potencias. Normalmente ocurre que cuando x → a se tiene que R f ,a,n (x) → 0. Si, además, tenemos que R f ,a,n (x) → 0 cuando n → ∞ uniformemente en un entorno de a, entonces podemos convertir el polinomio de Taylor en serie de potencias, obteniendo así lo que se llama desarrollo en serie de potencias (o desarrollo de Taylor) de f en a. f (x) =

∞ X f (k) (a) (x − a)k , k! k=0

para x cerca de a .

El entorno de a donde esta serie de potencias es convergente es siempre un intervalo centrado en a del tipo [(a − R, a + R)], con 0 ≤ R ≤ ∞, llamándose R el radio de convergencia de la serie de potencias. Veamos algunos ejemplos típicos. La función exponencial f (x) = e x tiene derivadas sucesivas todas ellas iguales a ella misma, f (n) (x) = e x . Además, su valor en 0 es 1. Por tanto, tenemos, para todo x ∈ R, e x = f (x) =

∞ (n) X f (0)

n=0

n!

xn =

∞ 1 X

n=0

n!

xn = 1 + x +

x2 x3 + + · · ·, 2 3!

La función coseno, f (x) = cos x, también admite un desarrollo de Taylor en 0 válido para todo x ∈ R. f (0)(x) = cos x

f (x ) = cos x

f ′ (x) = −sen x

f (0)(0) = 1

x =0

cos x =

f ′ (0) = 0

∞ X f (k) (0)

k=0

k!

f (3)(x ) = sen x

f ′′(x ) = −cos x

f (3)(0) = 0

f ′′ (0) = −1

xk =

∞ f (2n) (0) X

n=0

(2n)!

x 2n =

f (4) (x) = cos x f (4) (0) = 1

···

···

f (2n) (x) = (−1)n cos x f (2n) (0) = (−1)n

f (2n+1)(x) = (−1)n+1 sen x f (2n+1)(0) = 0

∞ (−1)n X x2 x4 x6 x 2n = 1 − + − + · · ·. 4! 2 6! n=0 (2n)!

La función seno se hace de manera análoga, o bien, derivando la función coseno, sen x = −

´ ∞ (−1)n X d ³ x2 x4 x6 d x3 x5 cos x = − + · · · = x − + + · · ·= − + 1− x 2n+1 . dx (2n + 1)! 6! dx 4! 2 3! 5! n=0

Forma polar de números complejos: Cambiemos x por i x en el desarrollo de e x . ei x =

∞ X (i x)n x2 x3 x4 x5 x6 = 1+i x− −i + +i − + · · · 2 3! 4! 5! 6! n=0 n! ³ ´ 6 4 ³ 2 ´ x x x3 x5 x + + · · · = cos x + i sen x. − +··· +i x − = 1− + 3! 5! 4! 6! 2

P zn de que esta técnica nos permite definir la exponencial compleja como e z = ∞ n=0 n! , también nos permite expresar todo número complejo z = a + b i en su forma polar: si r = p 2 2 a + b es su módulo y θ es su argumento, entonces tenemos

z = 4 + 3i = Aparte = 5(cos θ+i senθ) = 5e i θ y

|

= z|

r=

θ 4

5 3

z = a + b i = r (cos θ + i senθ) = r e i θ .

x

De esta manera vemos que el producto de dos números complejos en forma polar, z 1 = r 1 e i θ1 y z 2 = r 2 e i θ2 , se consigue tratando con la consiguiente aritmética: el módulo es el producto de los módulos y el argumento es la suma de los argumentos, ¡ ¢¡ ¢ z 1 z 2 = r 1 e i θ1 r 2 e i θ2 = r 1 r 2 e i (θ1 +θ2 ) . Con esto podemos recuperar fácilmente las fórmulas trigonométricas de la suma (y resta) de ángulos: cos(α + β) + i sen(α + β) = e i (α+β) = e i α e i β = (cos α + i sen α) (cos β + i sen β)

= (cos α cos β − sen α sen β) + i (cos α sen β + sen α cos β).

También podemos definir el seno y el coseno de números complejos: Como e i x = cos x + i sen x, tenemos cos x = Ree i x = sen x = Ime i x =

eix + eix e

ix

2 − eix

2i

= =

e i x + e −i x 2

e

ix

− e −i x 2i

=⇒

Def: cos z =

e i z + e −i z . 2

=⇒

Def: sen z =

e i z − e −i z . 2i

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cmge - Polinomios de Taylor y Series de Potencias

La serie geométrica. Esta es la serie de potencias por excelencia, g (x) =

∞ X

n=0

xn = 1 + x + x2 + x3 + · · · .

PN n Estudiémosla. Para ello, consideramos las sumas parciales g N (x) = n=0 x = 1+ x + x 2 +· · ·+ x N , y le restamos PN x g N (x) = n=0 x n+1 = x + x 2 + · · · + x N +1 . Tras cancelar términos, queda g N (x ) − xg N ( x ) = 1 − x N +1

⇐⇒

(1 − x)g N (x) = 1 − x N +1

(x6=1)

⇐⇒

g N (x) =

N X

n=0

xn =

1 − x N +1 . 1−x

N +1

, solo es válida (Ejercicio: probar esta misma fórmula usando inducción sobre N ). Esta fórmula, g N (x) = 1−x 1−x PN P mientras x 6= 1. Para x = 1 tenemos g N (x) = n=0 x n = Nn=0 1 = N + 1 → ∞ cuando N → ∞. Luego g (1) = ∞, y decimos que la serie no converge para x = 1. N +1 . Observamos que si x > 1, Volvemos al caso x 6= 1. Hemos de hacer N → ∞ en la expresión g N (x) = 1−x 1−x N +1

→ +∞, con lo que la serie no converge para x > 1. Si −1 < x < 1, x N → 0, lo x N → ∞, por lo que g N (x) = 1−x 1−x 1 que implica que g N (x) → 1−x . Finalmente, si x ≤ −1, entonces x N no tiene límite cuando N → ∞ (¿por qué?), lo que implica que g N (x) no tiene límite cuando N → ∞ y, por tanto, la serie no converge. Obtenemos así que ∞ X 1 xn = 1 + x + x2 + · · · , desarrollo válido solo para x ∈ (−1,1). = g (x) = 1 − x n=0

1 , podríamos hallar sus derivadas sucesivas, evaProcediendo al revés, partiendo de la función g (x) = 1−x luarlas en 0 y llegar a obtener el desarrollo de Taylor de g en 0. Después tendríamos que repetir el proceso anterior para obtener el radio de convergencia de la serie de potencias,. . . g (0)(x ) = (1 − x )−1

g ′ (x) = (1 − x)−2

g (0)(0) = 1

g ′ (0) = 1

g (x) =

g ′′ (x ) = 2(1 − x )−3 g ′′ (0) = 2

g (3)(x ) = 3! (1 − x )−4 ··· g (3)(0) = 3!

·· ·

g (n) (x ) = n! (1 − x )−(n +1) g (n) (0) = n!

∞ ∞ g (n) (0) X X 1 xn . xn = · · · = = 1 − x n=0 n! n=0

Otra forma de llegar a la expresión anterior es realizar la división larga: 1 entre (1 − x). . . . Un estudio riguroso de las series de potencias, junto con el estudio de la serie geométrica, da lugar a P∞ una fórmula para el radio de convergencia: En una serie de potencias arbitraria, n=0 c n (x − a)n , su radio de convergencia R satisface la siguiente igualdad: p 1 = l´ım sup n |c n |. R n→∞ p El límite superior debe entenderse como el mayor de todos los posibles puntos límite de la sucesión n |c n |. Por supuesto, si la sucesión tiene límite, al ser éste único, entonces coincide con su límite superior. En cuanto al cálculo del límite en sí, el siguiente resultado puede ayudar: p |c n+1 | =ℓ =⇒ l´ım n |c n | = ℓ. l´ım n→∞ |c n | n→∞ Distintas manipulaciones sobre la serie geométrica, (cambiando variable, derivando, integrando,. . . ), dan lugar a otras series de potencias dignas de ser consideradas. Veamos algunos ejemplos: ∞ ∞ X X 1 1 = = (−x)n = 1.(−1)n x n = 1 − x + x 2 − x 3 + · · ·, desarrollo válido solo para x ∈ (−1,1). 1 + x 1 − (−x) n=0 n=0

−1 es la derivada de ln(1 − x), tenemos, para x ∈ (−1,1), 2.- Como 1−x Zx ∞ ³ ∞ ´ ∞ xn ∞ Zx X X X X −1 x2 x n+1 t n+1 ¯¯x ln(1 − x) = ln1 + tn dt = − =− x+ . +··· = − dt = − ¯ =− t=0 2 t=0 1 − t n=0 t=0 n=1 n n=0 n + 1 n=0 n + 1

3.4.5.-

∞ ∞ X d 1 d X d ¡ 1 2 2 n 1 + x + x + · · · ) = 1 + 2x + 3x + · · · = = = x = nx n−1 , dx (1 − x)2 d x 1 − x d x n=0 n=1

1 d 1 d 1 1 = = (1 − x)3 2 d x (1 − x)2 2 d x 1

(1 + x)3

=

1

∞

∞

x ∈ (−1,1).

n(n − 1) n−2 x = 1 + 3x + 6x 2 + 10x 3 + · · · , x ∈ (−1,1). 2 n=1 n=2 Xn(n − 1) X (−1)n x n−2 = 1 − 3x + 6x 2 − 10x 3 + · · ·, x ∈ (−1,1). 2 nX =2 ∞

nx n−1 =

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La serie binomial de Newton. Estas son las series (alrededor del 0) asociadas a la función b α (x) = (1 + x)α , α ∈ R. Ya hemos visto algunos ejemplos procedentes de la serie geométrica: (1 + x)−1 , (1 + x)−3 ,. . . . Cuando α es un número natural, la serie binomial se reduce a un número finito de términos, o sea, a un polinomio: (1 + x)0 = 1, (1 + x )1 = 1 + x, (1 + x)2 = 1 + 2x + x 2 ,. . . . En este caso, cuando α es natural, la serie binomial tiene validez para todo x ∈ R. Para estudiar el caso general, vamos hallando las derivadas sucesivas para construir el correspondiente desarrollo de Taylor en 0: (0) bα (x ) = (1 + x )α

(3)

bα′′ (x) = α(α − 1)(1 + x)α−2

b ′α (x) = α(1 + x)α−1

b (0) α (0) = 1

′ bα (0) = α

b α (x) = α(α − 1)(α − 2)(1 + x)α−3 bα(3)(0) = α(α − 1)(α − 2)

′′ (0) = α(α − 1) bα

··· ···

(n)

bα (x ) = α(n) (1 + x )α−n b (αn ) (0) = α(n )

La notación α(n) significa multiplicar α por (α−1), por · · · , hasta completar n factores en la multiplicación, i.e., α(n) = α(α− 1)· · · (α− n + 1). Por conveniencia, decimos que α¡(0)¢= 1. Observemos que N (N ) = N !, mientras α(n) que para n > N , N (n) = 0. Con la ayuda de otra notación habitual, α n := n! , leído α sobre n , podemos escribir el desarrollo de Taylor de (1 + x)α , à ! ∞ ∞ ∞ b (n ) X X α n α(n ) n X α(2) 2 α(3) 3 α (0) n α x = x = (1 + x) = x = 1 + αx + x +···. x + n! n! n 3! 2! n=0 n=0 n=0 Para α = N , un número natural, el desarrollo anterior es finito, y el polinomio resultante es à ! à ! à ! N N X N N (1 + x)N = xn = 1 + N x + x2 + · · · + x N −1 + x N . 2 N −1 n=0 n Para α = −1, α = −2, α = −3, el desarrollo de (1 + x)α debe coincidir con el ya obtenido a partir de la serie geométrica, ¿es cierto? En cuanto al radio de convergencia de la serie binomial, observamos primero que R = ∞ cuando α = N es natural, por tratarse de un polinomio, mientras que en el resto de los casos, R = 1, ya que ¯¡ ¢¯ ¯ α ¯ |α(α − 1) · · · (α − n + 1) (α − n)|n ! |α − n| (n grande) n − α ¯n+1 ¡ ¢¯ = −−−−→ 1 = = ¯α¯ n + 1 n→∞ n +1 |α(α − 1) · · · (α − n + 1) |(n + 1)! n

=⇒

và ! u¯ ¯ u 1 n ¯ α ¯ t ¯ −−−−→ 1 = . ¯ n n→∞ R

Ejercicios.

1.- Encontrar el desarrollo de Taylor en 0 de las siguientes funciones. Se pueden utilizar series conocidas. (a ) e 5x , (b ) x e x , (c ) sen(2x), (d ) senh x , (e ) cosh x, (f ) arctg x, (g ) (16 − x)−1/4 , (h ) arc sen x . 2.- Encontrar el desarrollo de Taylor en a de las siguientes funciones. (a ) f (x) = 1 + x + x 2 , a = 2, (b ) f (x ) = x 3 , a = −1, (c ) f (x) = e x , a = 3, π (g ) f (x) = x −1/2, a = 9, (e ) f (x ) = cos x , a = π, (f ) f (x ) = sen x , a = 2 ,

(d ) f (x) = x1, a = −3, (h ) f (x) = x −2 , a = 1.

3.- Hallar funciones asociadas a las siguientes series de potencias, a partir de series conocidas. ∞ 4n ∞ ∞ x 2n+1 ∞ ∞ (−1)n x 2n X X X X X x x 2n x 4n (a ) . (−1)n (b ) (c ) (d ) (e ) , , , , 2n n! n=0 n! n=0 n=0 2n + 1 n=0 2n + 1 n=0 6 (2n)! Soluciones. 1.- (a ) (f )

∞ X

n=0 ∞ X

5n x n n!

,

(b )

2n+1 (−1)n x2n+1 , n=0

∞ X

x n+1 n!

,

1 2+

∞ X

n=0

(g )

n=1

2.- (a ) 7 + 5( x − 2) + (x − 2)2 , (e )

∞ X

n=0

2n (−1)(n+1) (2n)! (x − π) , 4

3.- (a ) e x ,

4

(b ) e −x ,

(c )

2n+1

2 (−1)n (2n+1)! x 2n+1 ,

n=0

1·5·9···(4n−3) x n , 26n+1 n!

(h ) x +

∞ X

n=1

(d )

∞ X

n=0

∞ X

n=0

(−1)n (2n)!

1+x 1 2 ln 1−x ,

¡

x − π2

(d )

¢2n

1 2x

,

(g )

∞ ¡ X −1/2¢

n=0

x 2n+1 (2n+1)! ,

1·3·5···(2n−1) 2n+1 . 2n n!(2n+1) x

(b ) −1 + 3( x + 1) − 3( x + 1)2 + (x + 1)3 ,

(f ) (c )

∞ X

n

(c )

∞ X

n=0

1 (x − 9)n , 32n+1

1+x ln 1−x si x 6= 0, (1 si x = 0),

(e )

∞ X

n=0

x 2n (2n)! ,

n e3 n! (x − 3) ,

(h )

∞ X

∞ X

n=0

−1 (x + 3)n , 3n+1

(−1)n (n + 1)(x − 1)n .

n=0

(e ) cos x6 .

(d )...