Unidad 4 Series de Taylor PDF

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Realizar ecuaciones que no se puedan resolver con integración y hacerlo con la serie de Taylor...

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CALCULO INTEGRAL CARRERA:

Ingeniería Civil

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Contenido Definición de sucesión ..................................................................................................................................................3 Definición de serie .......................................................................................................................................................... 4 Serie Infinita ................................................................................................................................................................. 4 Serie Finita ....................................................................................................................................................................4 Serie numérica y convergencia. Criterio de la razón. Criterio de la raíz. Criterio de la integral. ................................................................................................................................................................................................. 5 Serie numérica ...........................................................................................................................................................5 Criterio de la razón..................................................................................................................................................6| Criterio de la Raíz .......................................................................................................................................................7 Criterio de la integral .............................................................................................................................................. 8 Series de potencias ........................................................................................................................................................ 9 Radio de convergencia..................................................................................................................................................9 Prueba de la razón ...............................................................................................................................................9 Serie de Taylor ................................................................................................................................................................10 Representación de funciones mediante la serie de Taylor. ........................................................................12 Cálculo de integrales de funciones expresadas como serie de Taylor .................................................14 ...................................................................................................................................¡Error! Marcador no definido. Bibliografía .........................................................................................................................................................................17

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Definición de sucesión Las sucesiones que siguen una regla determinada han llamado siempre la atención de los matemáticos de todas las generaciones. Pero, a pesar de esto y de que se conocían desde tiempos lejanos, no fueron estudiadas de forma detallada hasta la época de mayor desarrollo de las matemáticas en el siglo XVIII. Fue en ese tiempo cuando se perfeccionó el concepto de límite de una sucesión como el valor al cual se acercan de forma sucesiva sus términos. Sin cuestión alguna, Leonhard Euler fue el matemático más destacado de esa época, gracias a sus contribuciones decisivas en diversos campos de las matemáticas, sobre todo, en el campo de las sucesiones y de las series numéricas. DEFINICIÓN. Una sucesión infinita, o simplemente sucesión, es una función cuyo dominio está constituido por el conjunto de los números naturales y cuyo recorrido, que es un subconjunto de los números reales, se expresa en un listado como sigue: f(1), f(2), f(3), …, f(n). Para entender mejor esto se dice que una sucesión es una aplicación cuyo dominio es el conjunto de los números naturales y su codominio es cualquier otro conjunto, generalmente de números de diferente naturaleza, también pueden ser figuras geométricas o funciones. Cada uno de ellos es denominado término (también elemento o miembro) de la sucesión y al número de elementos ordenados (posiblemente infinitos) se le denomina la longitud de la sucesión. No debe confundirse con una serie matemática, que es la suma de los términos de una sucesión. Como variable independiente se acostumbra usar la letra "n" para indicar que, a diferencia de las funciones cuyos dominios son denotados con las últimas letras del abecedario y que consideran valores reales, en las sucesiones el dominio son los números naturales. Al enésimo término de la Sucesión f (n) también se le identifica con a (n), con a n o bien con {an}. Como las funciones, las sucesiones también se pueden graficar, correspondiendo sus valores funcionales a cada uno de los números naturales sustituido en su regla de correspondencia.

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Definición de serie Una serie es una sucesión de un conjunto de términos formados según una ley determina. Por ejemplo, 1,4,9,16,25 Es la suma indicada de los términos de una secesión. Así de las sucesiones anteriores obtenemos la serie: 1+4+9+16+25 Cuando el número de términos es limitado, se dice que la sucesión o serie es finita. Cuando el número de términos es ilimitado, la sucesión o serie de llama sucesión infinita. El término general ó término enésimo es una expresión que indica la ley de formación de los términos.

Serie Infinita Las series infinitas son aquellas donde i toma el valor de absolutamente todos los números naturales. Son series de la forma S an (x - x0)n ; los números reales a0, a1, .... , an, ... son los coeficientes de la serie. Si x0 = 0 se obtiene la serie S an . xn. Como toda serie S an ( x – x0 )n puede llevarse a la forma S an .x¢ n haciendo x¢ = x - x0. Se presentan tres situaciones posibles: series que convergen solamente para x = 0; series que convergen para cualquier número real x y series que convergen para algunos valores de x y divergen para otros. Esto conduce al siguiente: n Si Teorema: la serie de potencias S an .xn converge para el valor x0 ¹ 0, entonces converge en valor absoluto para cualquier x / ô xô < ô x0ô .

Serie Finita Sucesión de números tales que la proporción entre cualquier término (que no sea el primero) y el término que le precede es una cantidad fija llamada razón. Por ejemplo, la secuencia de números 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 es una progresión geométrica con razón 2; y 1, 1, 3, 7, 9, >, … (1)i, es una progresión geométrica con razón 1. La primera es una progresión geométrica finita con siete términos; la segunda es una progresión geométrica infinita. 4

Serie numérica y convergencia. Criterio de la razón. Criterio de la raíz. Criterio de la integral. Serie numérica Una serie numérica es una suma de infinitos términos. Si estos infinitos términos suman un número real es convergente y si suman infinito es divergente (bueno también es divergente si la serie oscila...) Una cosa es estudiar la convergencia de una serie (si converge o diverge) y otra cosa es hallar el valor de dicha suma. Una forma de hallar esta suma es hallando el límite de k cuando tiende a infinito de las sumas parciales de los k primeros términos (una suma finita muchas veces es "fácil" de calcular y el limite también). Si no existe este límite es cuando la serie oscila (y por tanto diverge) Para poder saber si es convergente o divergente muchas veces se utilizan criterios de comparación con otras series que sabes que convergen o divergen. Una serie numérica es una secuencia de números ordenados llamados términos entre los cuales hay una relación que hay que describir para complementar la serie. Por ejemplo en la serie 0-7- 14- 21 es esa relación en número 7 esto quiere decir que para seguir la secuencia sólo debemos sumar el número 7 al último valor presentado el 21 En matemáticas una serie (suma de los términos de una secuencia de números) resulta convergentes si la sucesión de sumas parciales tiene un límite en el espacio considerado. De otro modo constituiría lo que se domina como serie Divergente Se domina serie Divergente a una serie infinita que no es convergente O sea que la secuencia infinita de las sumas parciales de la serie no tiene un límite. Si una serie converge los términos individuales de la serie deben aproximarse a cero. Así una serie en la que los términos individuales no se aproximan a cero es una serie Divergente. Sin embargo, la convergencia es una condición más fuerte, no todas las series cuyos términos tienden a 0 son convergentes

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Criterio de la razón

Jean le Rond d’Alembert

Explicación de criterio del cociente o prueba de la razón. Como también se le conoce para determinar la convergencia absoluta o divergencia de una serie infinita al calcular el límite cuando n tiende a infinito del valor absoluto del cociente entre el término n+1 y el término enésimo se puede concluir la c onvergencia o divergencia de una serie infinita. Si el resultado del límite es un número menor a 1 la serie converge absolutamente, si es número mayor a 1 o infinito la serie diverge. En caso de obtenerse uno el criterio no es concluyente.

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Criterio de la Raíz

Augustin Louis Cauchy En matemáticas, el criterio de la raíz o criterio de Cauchy es un método para determinar la convergencia de una serie usando la cantidad. Donde an son los términos de la serie. El criterio dice que la serie converge absolutamente si esta cantidad es menor que la unidad y que divergen si es mayor que la unidad. Es particularmente útil en relación con las series de potencias. Sea C el límite de arriba, entonces el criterio de la raíz establece que: Si C1, entonces la serie Diverge Si C=1 y |an|>1 de cierto n en adelante, entonces la serie diverge. En otro caso el critero no lleva ninguna conclusión.

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Criterio de la integral Al estudiar las series infinitas, uno de los primeros criterios de convergencia que se presentan es el Criterio de la Integral. Su planteo tradicional dice, a grandes rasgos, que si

es una función continua, positiva y decreciente en

impropia

converge si y sólo si la serie

, entonces la integral converge.

Con sólo suponer que sea decreciente ya se puede demostrar la equivalencia entre las convergencias de la integral y de la serie. Y hay más: resulta que ni siquiera es necesario que sea decreciente. Veremos que hay una condición aún más débil que sigue siendo suficiente en el Criterio de la Integral. Teorema de Larson, Hostetler y Edwards: Si para

y

es positiva, continua y decreciente

, entonces

Convergen o divergen ambas simultáneamente.

En realidad si es decreciente y tiende a cero entonces debe ser positiva, de modo que la hipótesis de positividad, si bien no es explícita, está presente pero escondida en el nuevo planteo. También escondida está la conclusión de que la serie converge si y sólo si la integral converge: el tercer punto del teorema no dice que la sucesión que

converja sino que

converge, lo cual es equivalente en presencia de la suposición de

sea positiva.

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Series de potencias A la expresión de la forma: Se le da el nombre de serie de potencias centrada en C. La serie de potencias puede ser también interpretada como una función de x.

Cuyo dominio son todos los x ∈ R para los cuales la serie numérica es convergente y el valor de f(x) es precisamente la suma de la serie en ese punto x. Las series de potencias, vistas como funciones, tienen un comportamiento bueno, en el sentido de que son funciones continuas y derivables de cualquier orden. Más aún, su función derivada es, otra vez, una serie de potencias. Una serie de potencias podría ser convergente para algunos valores de x y ser divergente para otros. La suma de la serie es una función:

Radio de convergencia El radio de convergencia es un número positivo el cual es la distancia del centro del intervalo a los extremos del mismo para los cuales la serie converge. Teorema: Para una serie de potencias dada posibilidades:

hay solo tres

a) La serie converge solo cuando x=a. b) La serie converge para toda x c) Hay un numero positivo R tal que la serie converge si |x-a|R.

Prueba de la razón Para determinar el radio de convergencia utilizamos la siguiente formula llamada prueba de la razón:

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La serie converge absolutamente para un conjunto de valores de x que verifica que |xx0 |...