Ejercicios Resueltos DE Series ( Unidad 4 ) PDF

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Resolución de los ejercicios de la guia práctica de la materia...

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Matemática I

Confeccionado por Osvaldo S. Altamirano

Matemática I (Análisis Matemático) EJERCICIOS RESUELTOS DE SERIES ( Unidad 4 )

Actividad 6: ( Página 98 de la guía de trabajos prácticos) Compruebe la convergencia o divergencia de las siguientes series mediante el Criterio de D’Alembert. 6.1)

5

5n 52 53   ...   ... n! 2! 3!







n 1

5n n!

término general o n-ésimo - Por el criterio de D’Alembert: 

a lim

n  

n 1

a

n

1



5 n  n  1 !  lim n  5n n!



5  n  1  n ! 5 n  n  1  !

lim

n  



lim

n 

n

5 1 



5 



0 1 2 1 2

lim

n 



La serie es divergente

---------------------------------------------------------------------------------------------------------

1 2 3 n n ...   1  ... 2  3  n 2 2 2 2 2n



6.4)

n 1

- Por el criterio de D’Alembert:

 n  1 a n1

lim

n  

 lim

n 

an

2

n 1 

 lim

n  

n n 2

 lim

 n  1 2 n n .2

 n 1 

 n 1  2 n

n 



 

Aplicando la regla de L’HOPITAL: 1

lim

n  



2

1 = 0,5 < 1 2



La serie es convergente

---------------------------------------------------------------------------------------------------------



6.5)

n 1

n! 10 n



n! 1! 2! 3!    ...   ... 1 2 3 10 10 10 10 n

- Por el criterio de D’Alembert:

 n  1 ! lim

a n1

n 

an

 lim

n 

10  n  1  n! 10 n

 lim

 n  1 !10 n

n 

= lim

n 

n !10  n  1 

 n  1 10

   > 1 10 

La serie es divergente 

6.7)

n!

n n 1

n

1 

n! 2 ! 3!  3  ...  n  .... 2 n 2 3

- Por el Criterio de D’Alembert:

2

Matemática I

Confeccionado por Osvaldo S. Altamirano

lim

n 

a n1 an

(n  1) ! n 1 ( n  1)! . n n (n  1) . n n n  lim (  1) lim    nlim 1   n !.(n n   (n  1) n 1 n   1) n n! nn

Obsérvese que tanto en el numerador como en el denominador aparecen 2 potencias de igual base ( en el numerador aparece elevada a la uno), trataremos de aplicar la propiedad de las potencias que corresponda a este caso. Yo opte por subir la potencia del denominador con exponente negativo y luego sumo los exponentes de las potencias de igual base: lim ( n  1).(n  1)  ( n 1) . n n  lim (n  1)1 .(n  1)  n 1 . n n  n 

n

n 

lim (n  1) . n  n

n 

1 1   nlim lim nn n n    n   (n  1) = nlim  n  1   (n  1) n    n  nn lim

n 

1 1  1  n 

n



Por álgebra de límites, sabemos que el límite de un cociente es el cociente de los límites. Por lo tanto: 1   e 1  0,3678… < 1 lim 1   x  n  1

n

 La serie es convergente.

Actividad 7: ( Página 99 de la guía de trabajos prácticos)

3

Matemática I

Confeccionado por Osvaldo S. Altamirano

Estudie la convergencia de las siguientes series mediante el Criterio de Raabe: 

7.1)

 n 1

1 n3

 1

1 1 1 ...  3  ... 3  3  n 2 3

- Por el criterio de Raabe:

      a n 1      lim  n 1  lim  n  1   n   n  a n            lim  n  1  n   

1  n  1 3 1 n3

     

n3  n 1 

   

3

   n  1 3  n 3  lim  n 3 n     n 1

   

  n 3  3n 2  3n  1  n 3  lim  n  n  n 3  3n 2  3n  1   n  3n 2  3n  1      lim   3 2 n  n n n    3 3 1 1     

lim

n 

3n 3  3n 2  n  n 3  3 n 2  3 n 1

-Aplicando la Regla de L’HOPITAL: lim

n  

9 n 2  6 n 1  3n 2  6 n  3

 

- Aplicando nuevamente la Regla de L’HOPITAL: lim

n  

18 n  6  6n  6

 

- Aplicando una vez más la Regla de L’HOPITAL:

4

 

   

Matemática I

Confeccionado por Osvaldo S. Altamirano

lim

n 

18 6



3 >1



La serie es convergente

---------------------------------------------------------------------------------------------------------

7.2 )

 n 3

1 n  1



2

1 1 1 1    ...   ... 2 8 15 24 n  1





- Por el criterio de RAABE:

  a n 1 lim  n  1  n  an  

  

  

1   2   n  1   1   lim n  1  n  1   2   n  1   2  n 1   lim n  1  n   n  1  2  1  





  n 1 2  1 n 2  1   lim n   n   n  1 2  1   2  n  1   n 2  1    2n1  lim n   2 n  n  2 n  1  1  

 2 n 1   lim n  2  n   n  2n 

 2n 2  n  lim  2 n   n  2n

  

 

- Aplicando la Regla de L’Hopital: lim

n 

4n  1 2n  2



 

- Aplicando nuevamente la Regla de L’Hopital: lim

n  



7.3 )

 n 1

2 n n  1 

4 2 >1 2





La serie es convergente

2 2 2 2    ...   ... 2 6 12 n  n  1 

5

Matemática I

Confeccionado por Osvaldo S. Altamirano  1

1 1 2   ...   ... n n  1  3 6

- Por el Criterio de RAABE:

  a n 1 lim  n  1  n  an  

    

   lim n  1  n    

     

 n  lim n  1   2  n 



n 

 n  2  n   lim n   n 2  







2 n  1   n  2  2 n  n  1 

n 

 2n  lim    n 2

n 

 

- Aplicando la Regla de L’HOPITAL:  2 lim    2  1

n  

6

>1 

La serie es convergente...