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Ejercicios Resueltos

Unidad 3 Cinemática en una Dimensión: Caída Libre

Prof. Ing. Natalia Montalván

UNIDAD 3: CINEMÁTICA EN UNA DIMENSIÓN Ejercicios Resueltos de Caída libre Ejercicio 14. Se deja caer una piedra a 45 m del nivel del suelo. Calcule el tiempo que tarda en llegar y su velocidad 2 antes del impacto, considerar g = 10 m/s . Solución: La piedra se deja caer, por lo tanto su velocidad inicial 𝑣0 = 0. Consideramos la posición inicial igual a cero en el inicio de la trayectoria por lo que 𝑦0 = 0 y la posición final 𝑦 = −ℎ = −45 𝑚 por que la piedra cae por debajo del nivel cero (recuerde que ésta es una de las opciones que puede usarse como sistema de referencia). Como no conocemos el tiempo podemos calcular la velocidad final con la ecuación: 𝑣 2 = 𝑣02 − 2 ∙ 𝑔 ∙ (𝑦 − 𝑦0 )

𝑣 2 = 0 − 2 ∙ 10

𝑚 ∙ (−45 𝑚 − 0) 𝑠2

𝑣 2 = 900 𝑣=

900

𝑚2 𝑠2

𝑚2 𝑚 = − 30 2 𝑠 𝑠

La raíz cuadrada admite dos soluciones, tomamos el valor negativo porque el vector velocidad está dirigido hacia abajo. Conociendo la velocidad final podemos despejar el tiempo de la ecuación:

𝑡=

𝑣 = 𝑣0 − 𝑔 ∙ 𝑡

𝑚 𝑣 − 𝑣0 − 30 𝑠 − 0 = 𝑚 −𝑔 − 10 2 𝑠 𝑡 = 10 𝑠

También podría haberse comenzado la resolución del ejercicio calculado el tiempo de la ecuación de posición 1 𝑦 = 𝑦0 + 𝑣0 ∙ 𝑡 − ∙ 𝑔 ∙ 𝑡 2 2 Y con el valor de t calcular la velocidad con la ecuación de velocidad instantánea: 𝑣 = 𝑣0 − 𝑔 ∙ 𝑡 Ejercicio 15. Una piedra en caída libre cubre los últimos 10 m hasta tocar el suelo en 1 s. a) Determine la altura desde la 2 que se dejó caer la piedra. b) El tiempo total de caída. c) La velocidad al tocar el suelo. Considere g = 9,8 m/s . Solución: La piedra se deja caer lo tanto su velocidad inicial 𝑣0 = 0. Consideramos la posición inicial igual a cero en el inicio de la trayectoria por lo que 𝑦0 = 0 y la posición final 𝑦 = −ℎ pero no sabemos desde que altura fue soltada, el ejercicio solo indica que los últimos 10 m de trayectoria los recorrió en 1 s. Dividiremos el recorrido total en dos tramos: el tramo 1 desde t = 0 (instante en el que se deja caer la piedra) y el tramo 2 será durante el último segundo:

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Unidad 3 Cinemática en una Dimensión: Caída Libre

Prof. Ing. Natalia Montalván

Inicio de la trayectoria del TRAMO 1 Posición inicial y01 = 0

Velocidad inicial 𝑣01 = 0

h1

Final de la trayectoria del TRAMO 1 Posición final y1 = -h1

Velocidad final 𝑣1

Inicio de la trayectoria del TRAMO 2 Posición inicial y02 = 0 h2

Velocidad inicial 𝑣02 = 𝑣1

Final de la trayectoria del TRAMO 2 Duración del tramo 2 t2 = 1 s Posición final y = -h2 = -10 m (desplazamiento hacia abajo negativo) Velocidad final 𝑣2 Negativa y alcanza su valor máximo justo antes del impacto Comenzamos resolviendo para el tramo 2, ya que conocemos la distancia recorrida y el tiempo de duración, podemos despejar la velocidad inicial del segundo tramo con la ecuación de posición: 1 𝑦2 = 𝑦02 + 𝑣02 ∙ 𝑡2 − ∙ 𝑔 ∙ 𝑡2 2 2

1 𝑚 −10 𝑚 = 0 + 𝑣02 ∙ 1 𝑠 − ∙ 9,8 2 ∙ 𝑠 2 𝑚 𝑣02 = −5,1 𝑠

1𝑠

2

La velocidad inicial con la que comienza el tramo 2 resulta ser la misma velocidad que tiene la piedra al finalizar el tramo 1: 𝑣1 = 𝑣02 = −5,1

𝑚 𝑠

También sabemos que la velocidad inicial del primer tramo es cero, por lo tanto podemos despejar el tiempo de duración del tramo 1 con la ecuación: 𝑣1 = 𝑣01 − 𝑔 ∙ 𝑡1

𝑚 𝑣1 − 𝑣01 − 5,1 𝑠 − 0 𝑡1 = = 𝑚 −𝑔 − 9,8 2 𝑠 𝑡1 = 0,52 𝑠

Con el tiempo t1 ya calculado podemos calcular el desplazamiento durante el primer tramo: 𝑚 1 1 𝑦1 = 𝑦01 + 𝑣01 ∙ 𝑡1 − ∙ 𝑔 ∙ 𝑡1 2 = 0 + 0 − ∙ 9,8 2 ∙ 𝑠 2 2 𝑦1 = − 1,32 𝑚

Como y1 = - h 1 en nuestro sistema de referencia elegido, h 1 = 1,32 m.

0,52 𝑠

2

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La altura total h estará dada por:

Prof. Ing. Natalia Montalván

ℎ = ℎ1 + ℎ2 = 1,32 𝑚 + 10 𝑚 = 11,32 𝑚

IMPORTANTE: Existen varias alternativas distintas para resolver el ejercicio y llegar al mismo resultado. Ejercicio 16. Desde el costado de un puente de 25 m de altura, se lanza hacia arriba verticalmente una pelota que permanece 5 s en el aire antes de impactar contra el agua. Determine la velocidad inicial y de impacto de la pelota; 2 considere g = 10 m/s . Solución. Podemos representar gráficamente el enunciado de la siguiente manera:

Inicio de la trayectoria (Puente)

Puente

Posición inicial y0 = 0 Velocidad inicial v0 desconocida 25 m Final de la trayectoria (Río) Río

Duración total del recorrido t = 5 s Posición final y = - 25 m (desplazamiento hacia abajo negativo). Cuando definimos posición final siempre la tomamos con respecto al nivel cero, en este caso el puente, sin importar la altura máxima que alcanzó la pelota, al final de su recorrido habrá descendido 25 m por debajo del punto de lanzamiento . Velocidad final v desconocida

Si bien la pelota sube y luego baja, siempre se trata del mismo tipo de movimiento: movimiento rectilíneo (vertical) uniformemente variado con aceleración igual a –g por lo que para tiro vertical y caída libre se usan las mismas ecuaciones. Conocemos la posición inicial y final y el tiempo que demora la pelota en hacer el recorrido, por lo tanto podemos despejar la velocidad de la ecuación de posición: 𝑦 = 𝑦0 + 𝑣0 ∙ 𝑡 −

1 ∙ 𝑔 ∙ 𝑡2 2

𝑚 1 − 25 𝑚 = 0 + 𝑣0 ∙ 5 𝑠 − ∙ 10 2 ∙ 2 𝑠 − 25 𝑚 = 𝑣0 ∙ 5 𝑠 − 125 𝑚

5𝑠

2

− 25 𝑚 + 125 𝑚 = 𝑣0 5𝑠 𝑚 20 = 𝑣0 𝑠

La velocidad final deberá ser negativa (dirigida hacia abajo) y estará dada por: 𝑣 = 𝑣0 − 𝑔 ∙ 𝑡 = 20

𝑚 𝑚 𝑚 − 10 2 ∙ 5 𝑠 = −30 𝑠 𝑠 𝑠...