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ejercicios resueltos con la propiedad de series de riemann y uso de la integral...

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Ayudant´ıa 1 C´ alculo Integral Primer Semestre 2020

Ejercicio 1. Usando sumas de Riemann aproxime con al menos dos decimales, el valor de

Z

3

√

x2 + 4 dx

1

considerando una partici´on del intervalo [1, 3] que sea regular y se divida en 3 subintervalos. Soluci´ on. Sea f (x) =

√

x2 + 4. Consideremos la partici´on regular del intervalo [1, 3]:

P = {xi = 1 + i

3−1 : i = 0, 1, 2, 3} 3

5 7 = {1, , , 3}. 3 3

Notemos que ∆xi = 23 . Luego, la suma de Riemann que aproxima a la integral es 3 X

      2 5 7 S= f (xi )∆xi = f +f + f (3) 3 3 3 i=1  s s  2 2 √ 7 5 2 + 4 + 32 + 4 +4+ =  3 3 3 ≈ 6, 19.

Ejercicio 2. Demuestre que

√

2≤

Z

1

√

0

2 + x3 dx ≤

9 4

Soluci´ on. Como la funci´on ra´ız cuadrada es creciente en todo su dominio, tenemos que √ √ √ 2 ≤ 2 + x3 ≤ 3, ∀x ∈ [0, 1]. Luego, por propiedad de la integral se tiene que Z 1√ Z Z 1√ √ 2= 2 dx ≤ 2 + x3 dx ≤ 0

0

1

1 0

√

3 dx =

√

9 3≤ . 4 Ricardo Tamar´ın R.

Ejercicio 3. Encuentre una estimaci´on para el ´area bajo la curva de f (x) = 25 − x2 , para x ≥ 0. Soluci´ on. Notemos que el gr´afico de la funci´on para 0 ≤ x ≤ 5 es

Luego, podemos considerar la partici´on regular del intervalo [0, 5]: 5−0 : i = 0, 1, 2, 3, 4, 5} 5 = {0, 1, 2, 3, 4, 5}.

P = {xi = 0 + i

Notemos que podemos aproximar el gr´afico de la funci´on, mediante rect´ angulos cuya base se encuentra sobre el eje x. Sea Ai el a´rea del rect´ angulo i-´esimo. Entonces, si en cada intervalo de la forma [xi−1 , xi ] consideramos la altura del rect´ angulo como f (xi ) tendremos que

70 =

5 X i=1

Ai ≤

Z

5

25 − x2 dx.

0

˜i el a´rea del rect´ An´ alogamente podemos considerar A angulo i-´esimo en cada intervalo de la forma [xi−1 , xi ] cuya altura es f (xi−1 ). Luego obtendremos que

95 =

5 X i=1

A˜i ≥

Z

5 0

25 − x2 dx.

Por lo tanto, 70 ≤

Z

5 0

25 − x2 dx ≤ 95.

2

Ricardo Tamar´ın R.

Ejercicio 4. Exprese el siguiente l´ımite como una integral definida s  2 n X 1 i lim 4+ . n→∞ n n i=1 Soluci´ on. Sabemos que si f es una funci´on continua definida en un intervalo [a, b] con una partici´ on regular de ´este, entonces Z

n

b

(b − a) X f (xi ), n→∞ n i=1

f (x) dx = lim a

donde xi = a + i (b−a) . n Entonces, de acuerdopa los datos del problema podemos considerar a = 0 y b = 1, luego xi = i 1n y por lo tanto f (xi ) = 4 + x2i . As´ı tenemos que n

1X lim n→∞ n i=1

s

 2 Z 1 √ i 4+ = 4 + x2 dx. n 0

Ejercicio 5. Usando sumas de Riemann plantee como una integral el l´ımite L = lim

n→∞



1 1 1 + ... + + n+1 n+2 n+n



.

Soluci´ on. L = lim

n→∞

n X i=1

n n n 1 1X n 1X 1 1X 1 = lim . = lim = lim n+i n→∞ n n→∞ n n + i n→∞ n i=1 n + i 1 + ni i=1 n i=1

Luego el l´ımite L se puede expresar como una integral de partici´ on regular del intervalo [0, 1] donde f (xi ) =

1 1+ i

. Por lo tanto

n

L=

Z

1 0

1 dx. 1+x

3

Ricardo Tamar´ın R....