Ejercicios resueltos de series de Fourier PDF

Preview

Summary

Ejercicios resueltos...

Description

UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE FACULTAD DE CIENCIAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Y CC.

CALCULO AVANZADO: SERIES DE FOURIER: Ejercicios resueltos y propuestos. Prof. Jorge Inostroza L.

1.- Hallar el período de la función: f x

Sen

2 ) x. b a

Solución:

Si Sen (

2 ) b a

(

2 )x b a

(

Sen (

2 ( x T )) b a

2 ) Si T es el período

Sen(

2 x b a

2 ) b a

(

2 )

2 Por ejemplo si f (x ) Sen (

3 )x 5

2 10 3

( )

2.- Probar que si f (x) ,tiene período p; f ( x ) tiene período

10

p

.

.

Solución:

(

)

( (

))

(

)

ó

x Del mismo modo entonces f ( ) tendrá período el período de

2 x será b a

2

p por

1

).Entonces

b a 2

1

Y el período de Cos

x l

2l .

será l

3.- Pruebe que la función :

f x

Sen x

1 1 Sen3 x Sen 5x 5 3

6

Solución.

Sen x , tiene periodo 2k1 2k 2 Sen 3x “ “ 3 2 3 Sen 5x “ “ 5 Y por lo tanto la función dada.

6 .

4.- Pruebe la ortogonalidad de la base: 1; Cosx; Senx;......... .......... ..Coskx ; Senkx .......... ..... Solución:

5.- Si la función : f t m enteros tal : n

Cos t

Cos t

Solución.

2

m

6.- Pruebe que la función f (t )

Cos (10t ) Cos (10

.

)t

Solución.

Del ejemplo anterior Si fuera periódica tendríamos:

7.- Pruebe que la función : f t

2

10 10

Cos 2 t

m n

.

Solución.

1 Cos2 t ( ) 10 2 ( ) 2

1 2 , la función lo es. 2

8.- Encontrar el período de la función: ( )

t t Cos 3 4

Solución.

t 3 t Cos 4

Cos

es de período 6 es de período 8 , luego ambas lo son de período 24

9.- Determinar los coeficientes de Fourier, de la función:

0 f (x )

x /2

0

0

0 x /2 /2 x

3

Solución. 1

a 1

1

( )

..........

2

/2

1

( )

2

/2

0

1

1

f ( x)dx

0

..........

2

dx =……….=

4

.

1 Senk 2k 2

1 (1 Cosk ) 2k 2

f ( x)

1 ........ k impar 2k 1 ......k 2,6,10,14... k k

x ...... x x .......... ....0 x

0

Solución.

Como lo muestra el gráfico es una función par luego su Serie será : a0 2

a Coskx

0 0

ak

2

xCoskxdx ........ 0

2

Sen

2

1)

0 ........ k par 2 .... k2

Cos (2k 1)x

2

(2k

11.- Si f(x) = Cos ( x ), Serie de Fourier.

1

1 ( Cosk k2

1) ;

x

1

1 1

una constante no entera. Probar que a partir de su

1 2

3

.......... ..)

4

Solución.

y

b ak

2

Cos x Cos kxdx = 0

ak

ak

(

0

)

(

)

1 Sen (

k) k

0

1 Sen(

k )x

Sen (

k

1 Sen

Cosk k

k )x k

Sen

Cosk

k

=

1 Sen

Sen (

k)

1

1

k

ak

2

Sen

k2

Sen

Cos x

1

2

Sen

2 ( 1) k Sen ( 2 k 2)

1 2

( 1)k 2 k2

2

Sen

1

2

( 1) k Coskx ; si x = 0 2 k2

.

12.- Determinar la representación en Serie de Fourier para la función

f (x )

0 x

x 0

0

x 2

8

1 (2k 1)

.

Solución.

Fig.

5

a0 2 0

2

0

1

bk

xSenkxdx

0

2 4

2 4

0 .......... ....k ..... par

1 ( Cosk k2

0

0

f (x )

a k Coskx bk Senkx ; donde :

1)

2 .......... . .... k2

1 ( 1) k 1 . Luego la representación será: k

Cos (2k 1)x ( 1) k + 2k (2k 1)

1 k (2 1)

Sin embargo en x

Senkx

1 8

1

(2

1) 2

.

converge al valor promedio de los limites laterales o sea a

resultado es el mismo.

2

y el

Fig

f ( x)

/2

x x

x x

/2

.

Solución.

Fig.

Aquí el intervalo es ( / 2,3 / 2) aunque (b-a) = 2 , luego será de la forma. 6

a

3 /2

1

a0

a Coskx b Senkx

xdx /2

1

ak

3 /2

(

xCoskxdx /2

1

bk

xCoskxdx ) = 0 /2

3 /2

(

x )dx = 0

3 /2

Coskxdx

/2

( /2

xSenkxdx

3 /2

Senkxdx

/2

/2

xSenkxdx ) = /2

k 3 ( 1) 1 ........k impar k 2 0 .......... ......k par

1 0 .......... ......k impar 2k ( 1) .........

Luego la serie de Fourier para esta función queda: 3( 1) Sen(2 k 1) x (2k 1) 2

( 1) Sen2 kx. 4k

Observación.

Nótese que al trasladar el gráfico de la función dada hacia la izquierda en transforma en una función par cuya serie no es la misma.

/ 2 se

14.- Encontrar la Serie de Fourier y su Serie de Cosenos para la función:

f ( x)

1/ 2

x.......... ...... 0

x

x 1 x

Fig.

Solución. a) Como el intervalo es de dimensión 2 la Serie tomará la forma:

a0 2

k

ki

,

7

1

f ( x) dx

a0 0

2

(1 / 2

x) dx

0

( x 3 / 2) dx

0

1

2

(1 / 2

ak

x) Cosk x dx

( x 3 / 2) Cos k x dx

0

1

0 .......... .k par 4 .... 2 2 k 0 .......... . k par 3 ...... k

2

(1 / 2

bk

x) Sen k x dx

( x 3 / 2) Sen k x dx

0

4

1

Cos(2 k 1) k x (2 k 1) 2

2

3

Sen(2 k 1) k x k

b) La extensión par de la función hace que la Serie sea

:

a0

a kCos

0

1 2

x con (b-a) = 4

1 ( ) 20

0

1

k

ak

1

k 2

x dx

xCos 0

16 …………………….= k 16

Cos

c) encuentre la S de F. en

k x dx 2

.

2

1 2

k xdx 2

k xdx 2

3 k Cos xdx = 21 2

0

2

xCos 1

f ( x )Cos

2,6,10 .......... (4

2) .

(4 k 2 ) x 2 .(¿) k

/ 2, / 2

Fig.

8

Solución. (

, período

)

, que el gráfico

también confirma.

a0 2 2

2

/2

k

1

ak

2

; pues el intervalo es de magnitud

1

,donde

2k quedando . (4 k 1).

Senx Cos 2kxdx 0

0

1 2

2

kCos2 kx . Como la serie pedida. k

16.- Sea la función y = f(x) seccionalmente continua, par y de período 4l e impar respecto a

a 2n 1Cos 1

(2 n 1) x 2l

l

a2

1

2 (2 n 1) f ( x )Cos l 2l

Fig.

Solución.

2

a0

2l

2

f (x )dx 2l

1 f ( x) dx l 0

2

2

f x dx 0

f ( x)dx

f x dx 0

l

f ( x) dx 0

f ( x) dx

0

0

9

12 n x f (x )Cos 2l l0 l

an

a

an

an

a

1 l 1 l

l

f (x )Cos 0

l

f (x )Cos 0

l

1 l

1 l

0

n x 2l n x 2l

n f ( x )Cos dx 2l

l

f (x )Cos

l

f ( x )Cos 0

0

f ( u) Cos l

f (2l

n x 2l

l

2l

f ( x )Cos l

x)Cos

l

l

f (x ) Cos 0

n (2l 2l

x )( dx )

n n 2 lCos x l 2 2l

xdx + ( 1) n 1 f ( x )Cos 0

0

a0 2

a2

si n impar

Sen

n n 2lSen l 2l 2

n x 2l

si n par n dx f ( x) Cos 2l

n 2l

n ( u)( du) 2l

l

n

0 2 l

1 l

1

2 l

l

f ( x )Cos

(2n 1) 2l

(a k Coskx bk Senkx ) , la Serie de Fourier de f(x).Si ( )

mostrar que la Serie de Fourier de g(x) es

a0 2

(

)

( 1) ( a k Coskx bk Senkx)

Fig

Nótese que el gráfico de g(x) se obtiene desplazando el de f(x) a la derecha en

g ( x)

A0 2

k

k

donde 00 o sea son iguales las integrales.

(1 w 2 ) Cos (wx )dw 2 2 0 (1 w )

1

2w Sen (wx )dw (1 w2 ) 2

(1 w 2 ) dw (1 w 2 ) 2

0

dw (1 w2 ) 2

w2 dw (1 w 2 ) 2

21

Ejercicios propuestos.

x

1.- Sea:

f (x )

1

( )

x

1

x

0

4w w

( )

Verifique que B w

2 Senw w

Aw

2 Senw Cos (wx )dw converge a ½ si x =1 ó x = -1. w

3.- Represente la función como una Integral de Fourier y discuta su convergencia en cada punto. f x

f ( x)

x

x

0

x

1/ 2

5

1

f ( x)

x 1 1 x 5

k

x

10

x x

d)

x 4.- Haciendo la extensión adecuada encontrar la Integral de Fourier de Senos y de Cosenos para: ( )

x2

0 x

x 10

f ( x)

Cosh( x) x

0

x

5

de Cosenos.

22...