Problemas resueltos Series DE Fourier PDF

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Ejercicios resueltos de series de fourier...

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SeriesdeFourier.pág.1

EJERCICIOS CON SOLUCIONES 1. Encontrar los coeficientes y el desarrollo de Fourier de la función periódica definida por

⎧ −k, si − π < x < 0 ⎩ k , si 0 < x < π

f (x ) = ⎨

y

f ( x + 2π ) = f ( x )

2. Encontrar los coeficientes y el desarrollo de Fourier de la función periódica definida por

f ( x) = x,

−π < x < π

3. Encontrar los coeficientes y el desarrollo de Fourier de la función periódica definida por

⎧− x , si − π < x < 0 ⎩ x , si 0 < x < π

f (x ) = ⎨

4. Sea una función periódica f ( x ) de periodo 2 π definida del siguiente modo:

f ( x) = x2 , − π < x < π Desarrollarla en serie de Fourier 5. Desarrollarla en serie de Fourier la función periódica f ( x ) de periodo 2 π definida del siguiente modo:

⎧0, si − π ≤ x ≤ 0 ⎩ x, si 0 < x ≤ π

f (x ) = ⎨

SOLUCIONES Ejercicio 1. Onda periódica rectangular Encontrar los coeficientes de Fourier de la función periódica definida por

⎧− k, si − π < x < 0 y ⎩ k, si 0 < x < π

f ( x) = ⎨

f ( x + 2π ) = f ( x)

Funciones de este tipo (ver Figura) aparecen como fuerzas externas actuando en sistemas mecánicos, fuerzas electromotrices en circuitos, etc. (El valor de f ( x ) en los puntos extremos de los intervalos no afectan a la integral, podemos dejar indefinida a f ( x ) en

x =0 y x = ±π ).

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Figura. Onda periódica rectangular Calculemos los coeficientes de Fourier. De (5)

a0 =

1

π

1

0

1

f ( x ) dx = ∫ π ( −k ) dx + ∫ π∫ π π π −

−

π 0

k dx = −k + k = 0

Resultado que también se puede ver sin integración, puesto que el área bajo la curva de f ( x ) entre

−π y π es cero. De (8),

an =

1

1⎡

π

−

π 0

k cos nx dx ⎤⎥ = ⎦

sen nx ⎤ 1 ⎡ sen nx +k ⎢ −k ⎥=0 π ⎣⎢ n −π n 0 ⎥⎦ π

0

=

0

−

f ( x)cos nx dx = ⎢ ∫ π (− k )cos nx dx + ∫ π ∫π π⎣

puesto que sen nx = 0 en −π, 0 y π para todo n = 1, 2,... . Análogamente de (9) π

π

1 1 bn = ∫− f ( x) sen nx dx = ⎡⎢∫− (− k ) sen nx dx + ∫ k sen nxdx ⎤⎥ = 0 π ⎦ π π⎣ π 0 π cos nx ⎤ k 1 ⎡ cos nx = ⎢k −k ⎥ = [ cos 0 − cos(− nπ ) − cos nπ + cos 0] = n −π n 0 ⎦⎥ π n π ⎣⎢ =

0

⎧4k ⎪ 2k 2k n (1 − cos nπ ) = (1 − ( −1) ) = ⎨π n πn πn ⎪⎩0

si n es impar si n es par

La serie de Fourier de f ( x ) es por tanto

f ( x) =

4k

π

∞

2 (1 − ( −1) n ) 4k ⎛ 1 1 ⎞ sen nx = ⎜ sen x + sen 3x + sen 5x + ....⎟ π ⎝ 3 5 n ⎠

∑π n =1

Las sumas parciales son

S1 =

4k

π

sen x, S 2 =

4k ⎛ 1 4k ⎛ 1 1 ⎞ ⎞ ⎜ sen x+ sen3 x⎟ , S3 = ⎜ sen x+ sen3 x+ sen5 x⎟ , ... 3 3 5 π ⎝ π ⎝ ⎠ ⎠

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Ejercicio 2. Encontrar los coeficientes de Fourier de la función periódica definida por

f ( x) = x, − π < x < π Es una función suave a trozos (ver Figura 6).

Figura. Función periódica f ( x) = x, − π < x < π Por consiguiente, admite el desarrollo en serie de Fourier. Según la fórmula (5) hallamos

a0 =

1

π

π

∫π −

π

1 ⎡ x 2⎤ f ( x) dx = ∫−π x dx = ⎢ ⎥ = 0. π π ⎣ 2 ⎦ −π 1

π

De (8), e integrando por partes tenemos

an =

1

π

π ∫− π

f ( x) cos nx dx =

ya que sen nx = 0 en −π , 0 y

π

π ⎡ ⎤ 1⎡ π ⎤ = 1 ⎢x sen nx − 1 π sen nx dx ⎥ = 0, cos x nx dx ∫ ∫ ⎢ ⎥ − − π π ⎦ π ⎣⎢ n −π n π⎣ ⎦⎥

para todo n = 1, 2,... . Análogamente de (9)

π ⎡ ⎤ 1⎡ π ⎤ = 1 ⎢ − x cos nx + 1 π cos nx dx ⎥ = dx xsen nx ∫ ∫ ∫ π π π ⎦⎥ π ⎢⎣ n −π n − π − π ⎣⎢ − ⎦⎥ cos nπ 1 1 ⎡ cos nπ 1 2 ⎤ + 2 = ⎢−π −π − 2 sen nπ + 2 sen nπ ⎥ = − (cos nπ ) = ( −1)n 1 n n n n n n π⎣ ⎦

bn =

1

π

f ( x) sen nx dx =

La serie de Fourier de f ( x ) es por tanto

1 1 ⎛ ⎞ n 1 1 f ( x) = 2 ⎜ sen x − sen 2x + sen 3x − ...( −1) + sen nx + ....⎟ 2 3 n ⎝ ⎠

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Esta igualdad tiene lugar en todos los puntos, excepto en los de discontinuidad. En cada punto de discontinuidad la suma de la serie es igual a la media aritmética de los límites de la función a la derecha y a la izquierda, es decir, es cero Ejercicio 3. Encontrar los coeficientes de Fourier de la función periódica definida por

⎧ − x, si − π < x < 0 ⎩ x, si 0 < x < π

f (x ) = ⎨ (es decir

f ( x) = x , −π < x < π

). Es una función suave a trozos en −π < x < π (ver Figura ).

Figur a1 Determinemos los coeficientes de Fourier. Según la fórmula (5) hallamos

a0 =

1

π

π

∫π −

⎡ x2 ⎢ ⎢⎣ 2

π 1 0 1 f (x ) dx = ⎡ ∫ π (− x ) dx + ∫ x dx ⎤ = ⎢ ⎥ 0 − ⎦ π π ⎣

π x2 ⎤ + ⎥ = π, 2 0⎥ −π ⎦ 0

De (8), e integrando por partes tenemos

an =

1

1

f (x )cos nx dx = ⎡⎢∫ π ( −x )cos nx dx + ∫ π∫π π⎣ π

0

−

−

x cos nx dx ⎤⎥ = ⎦

⎤ sen nx sen nx 1⎡ 1 0 1 π + ∫ sen nx dx + − ∫ sennx dx⎥ = ⎢ −x π ⎢⎣ n −π n −π n 0 n 0 ⎥⎦ π

0

=

π

0

n par ⎧0, π 0 ⎤ 1⎡ 1 1 2 2 ⎪ n ⎡( −1) −1⎤⎦ = ⎨ 4 = ⎢ − 2 cos nx + 2 cos nx ⎥ = −1 + cos nπ ] = 2 [ π ⎣⎢ n πn2 ⎣ n 0⎦ ⎥ πn −π ⎪⎩− πn 2 , n impar Análogamente de (9)

bn =

1

π

1

0

π

−

0

f ( x) sen nx dx = ⎡⎢ ∫ (− x )sen nx dx + ∫ π∫π π⎣ π −

xsen nx dx ⎤⎥ = ⎦

=

π ⎤ cos nx 1 ⎡ cos nx 1 0 1 π − ∫ cos nx dx − x + ∫ cos nx dx⎥ = ⎢x π 0 − n −π n n 0 n π ⎣⎢ ⎦⎥

=

cos nπ 1 1 ⎡ cos nπ 1 ⎤ − 2 sen nπ −π π + 2 sen nπ ⎥ = 0 ⎢ n n n n π⎣ ⎦

0

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De este modo obtenemos la serie de Fourier de f ( x )

f ( x) =

π 2

−

⎞ cos (2k +1) x 4 ⎛ cos x cos3x cos5x + ...+ + ....⎟ ⎜ 2 + 2 2 2 (2k + 1) 3 5 π⎝ 1 ⎠

Esta serie converge en todos los puntos y su suma es igual a la función dada. Ejercicio 4.- Sea una función periódica f ( x ) de periodo 2 π definida del siguiente modo:

f ( x) = x2 , − π < x < π Es una función suave a trozos (ver Figura). Por consiguiente, admite el desarrollo en serie de Fourier.

Figura 2 Según la fórmula (5) hallamos

a0 =

1

π

π

∫π −

π

3 2 1 ⎡x ⎤ 2π f ( x ) dx = ∫− π x dx = ⎢ ⎥ = π π ⎣ 3 ⎦− π 3

π

1

2

De (8)y (9), e integrando por partes tenemos

an =

1

π

=−

π

∫π −

π ⎤ 1⎡ π 2 1 ⎡ 2 sen nx 2 π ⎤ f ( x ) cos nx dx = ⎢ ∫− x cos nx dx ⎥ = ⎢ x − ∫ x sen nx dx ⎥ = − π π ⎦ π ⎢⎣ n −π n π⎣ ⎥⎦

π ⎤ 2 ⎡ cos nx 1 π 2 x + ∫ cos nx dx ⎥ = − 2 − ⎢ n − π n −π n π n ⎢⎣ π ⎥⎦

π ⎡ sen nx ⎤ n + π π 2 cos − ⎢ ⎥= n − π ⎥⎦ ⎢⎣

⎧4 n par ⎪⎪n2 , 4 = 2 cos nπ = ⎨ n ⎪ − 4 , n impar ⎪⎩ n 2

bn =

1

π

π ∫ −π

f ( x) sen nx dx =

π 1⎡ π 2 ⎤ = 1 ⎡ −x 2 cos nx + 1 π x cos nx dx ⎤ = dx x sen nx ⎢ ⎥ ⎦⎥ π ⎢⎣ n − π n ∫ −π π ⎣⎢∫ −π ⎦⎥

1⎡ 2 π 2 ⎡ sen nx ⎤ = ⎢ 0 + ∫ x cos nx dx⎥ = ⎢x π − n π⎣ n ⎦ π n ⎢⎣

π

−π

π ⎤ 1 π 2 ⎡1 ⎤ − ∫ sen nx dx ⎥ = 2 ⎢ cos nx⎥ = 0 n −π ⎦ −π ⎥⎦ π n ⎣ n

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La serie de Fourier de f ( x ) es por tanto

x2 =

π2

1 1 1 ⎛ ⎞ − 4 ⎜ cos x − 2 cos 2x + 2 cos3 x − 2 cos 4 x + ... ⎟ 3 2 3 4 ⎝ ⎠

Puesto que la función es suave a tramos, esta igualdad tiene lugar en todos los puntos. Haciendo en la igualdad obtenida x

= π , obtenemos

π2 ∞ 1 1 1 1 ⎛ ⎞ − 4 ⎜ −1 − 2 − 2 − 2 + ... ⎟ ⇒ =∑ 2 π = 3 2 3 4 6 ⎝ ⎠ n=1 n 2

π2

Ejercicio 5.- Sea una función periódica f ( x ) de periodo 2 π definida del siguiente modo:

⎧0, si − π ≤ x ≤ 0 ⎩ x, si 0 < x ≤ π

f ( x) = ⎨

Es una función suave a trozos (ver Figura). Por consiguiente, admite el desarrollo en serie de Fourier.

Figura Determinamos los coeficientes de Fourier a partir de (5), (8) y (9),

a0 =

an =

1

1

π

π

∫π −

f (x ) dx =

1

π

f ( x) cos nx dx = ∫ π∫π π −

1

π

0

∫π −

0 dx +

1

π

∫

π

0

x dx =

1 ⎡ sen nx x cos nx dx = ⎢x n π ⎣⎢

π 0

2 π 1π = , π 2 2

0

− −π

⎤ 1 π sen nx dx ⎥ = ∫ 0 n ⎦⎥

n par π ⎧0, 1 ⎡ cos nx ⎤ ⎪ =⎨ 2 = π n ⎢⎣ n ⎥⎦ 0 ⎪− 2 , n impar ⎩ πn

bn =

1

π

π

∫π −

f ( x) sen nx dx =

1

π

∫

π

0

π sen nx ⎤ 1 ⎡ = ⎢ −π cos nπ − ⎥ n 0 ⎥⎦ π n ⎢⎣

π ⎤ 1 ⎡ cos nx 1 π − + ∫ cos nxdx ⎥ ⎢ x n 0 n 0 π ⎢⎣ ⎥⎦ ⎧ 1 ⎪⎪ n si n es impar 1 = [ −π cos nπ ] = ⎨ πn ⎪− 1 si n es par ⎪⎩ n

x sen nx dx =

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La serie de Fourier de f ( x ) es por tanto

f (x ) =

π 4

−

2⎛ 1 1 1 1 ⎞ ⎛ ⎞ cos x + 2 cos3x + 2 cos5x + ... ⎟ + ⎜sen x − sen 2x + sen 3x − .... ⎟ ⎜ π⎝ 3 5 2 3 ⎠ ⎝ ⎠

Esta igualdad tiene lugar en todos los puntos, excepto en los de discontinuidad. En cada punto de discontinuidad la suma de la serie es igual a la media aritmética de los límites de la función a la derecha y a la izquierda, es decir, en este caso

π 2

.

Si en la igualdad obtenida hacemos x = 0 , tenemos,

π2 8

=

∞

1

∑ (2n − 1) n =1

2

....