A#4 Ejercicios resueltos PDF

Preview

Summary

Problemas de calculo resueltos, derivado de la tarea 4 de la materia...

Description

Calculo Vectorial Actividad 4. Ejercicios Ing. Brenda Angélica Arteaga Rosales

Marcelo G. Zambrano 440235469 12 de abril de 2021

ACTIVIDAD IV: EJERCICIOS

Fecha:**/**/**** Nombre del estudiante: Nombre del docente: 1. Con base en el material consultado en la unidad resuelvan en equipo de dos o tres personas los siguientes ejercicios propuestos aplicando los conocimientos sobre: Diferenciación Derivadas parciales y de orden superior Derivación parcial implícita Diferenciales Regla de la cadena para varias variables Derivadas direccionales y gradientes, divergencia y rotacional, interpretación geométrica y física  Extremos de funciones de dos variables  Multiplicadores de Lagrange      

Ejercicios 1. Diferenciales

Revisa la Página 141 y resuelve los ejercicios 1, 2, 5, 6 y 9

Jane, S. (2013). Cálculo vectorial [Versión electrónica]. Recuperado de https://elibro.net/es/ereader/uvm/37915?p age=1 Colección E-Libro Pórtico UVM

Ejercicios 2. Derivadas parciales y de orden superior

Revisa las Página 131 y 132 y resuelve los ejercicios 1-17 (sólo los múltiplos de 3)

Jane, S. (2013). Cálculo vectorial [Versión electrónica]. Recuperado de https://elibro.net/es/ereader/uvm/37915?p age=1 Colección E-Libro Pórtico UVM

Ejercicios 3. Derivadas implícitas

Revisa la Página 913 y resuelve los ejercicios 47 y 49

Stewart, J. (2012). Cálculo de varias variables [Archivo PDF]. Recuperado de http://intranetua.uantof.cl/estudiomat/calcu lo3/stewart.pdf

Ejercicios 4. Regla de la cadena para funciones de dos variables

Revisa la Página 930 y resuelve los ejercicios del apartado 7-12: 7, 9 y 11

Stewart, J. (2012). Cálculo de varias variables [Archivo PDF]. Recuperado de http://intranetua.uantof.cl/estudiomat/calcu lo3/stewart.pdf

Ejercicios 5. Derivadas direccionales y gradientes Resuelve los ejercicios de cálculo de gradiente de las siguientes funciones (Páginas 983 y 984):

Ejemplos extraídos de: Leithold, Lois, (1998) El cálculo con geometría analítica [Archivo PDF]. Recuperado de https://luiscastellanos.files.wordpress.com/2007/02/calculo-louis-leithold.pdf

Ejercicios 6. Rotacionales y divergencias Resuelve los ejercicios de cálculo de gradiente de las siguientes funciones (Página 1089):

Ejemplos extraídos de: Leithold, Lois, (1998) El cálculo con geometría analítica [Archivo PDF]. Recuperado de https://luiscastellanos.files.wordpress.com/2007/02/calculo-louis-leithold.pdf

Ejercicios 7. Extremos de funciones de dos variables (máximos y mínimos)

Stewart, J. (2012). Cálculo de varias variables [Archivo PDF]. Recuperado de http://intranetua.uantof.cl/estudiomat/calcu lo3/stewart.pdf

Revisa la Página 954 apartado 5-18 y resuelve los ejercicios: 5, 7, 9 y 13

Ejercicios 8. Multiplicadores de Lagrange Stewart, J. (2012). Cálculo de varias variables [Archivo PDF]. Recuperado de http://intranetua.uantof.cl/estudiomat/calcu lo3/stewart.pdf

Revisa la Página 963 apartado 3-14 y resuelve los ejercicios: 3, 5, 6 y 11

2. Escribe una conclusión sobre la utilidad de las funciones vectoriales de variable real para la solución de problemas de derivación y cálculo vectorial. 3. Procura compartir y revisar el procedimiento y resultados de cada ejercicio realizado en equipo e integrarlos en este mismo documento para su envío al docente. 4. Al finalizar esta actividad, vuelve a la plataforma y sigue los pasos que se indican para enviar tu trabajo.

* * *

LISTA DE COTEJO EJERCICIOS

Cumple (10 Puntos) Estructura y formato

Sí

No

• Los ejercicios planteados se realizan a partir del documento proporcionado. (1) El documento proporcionado contiene el desarrollo y resultados de los ejercicios propuestos, conforme se indica en cada uno de ellos: Ejercicios:

Criterios a evaluar

Ejercicios

1. Diferenciales 2. Derivadas parciales y de orden superior 3. Derivadas implícitas 4. Regla de la cadena para funciones de dos variables 5. Derivadas direccionales y gradientes 6. Rotacionales y divergencias 7. Extremos de funciones de dos variables (máximos y mínimos) 8. Multiplicadores de Lagrange (5)

Conclusiones

Resultados

Comprensión

Describen la utilidad de las funciones vectoriales de variable real para la solución de problemas de derivación y cálculo vectorial. (2) Evidencian la aplicación de los conceptos y procedimientos matemáticos revisados. (1) • • •

Refleja la comprensión del tema Elimina contenido innecesario y/o redundante Atiende la estructura original del contenido (1)

Ortografía y tipografía

• Fuente Arial 11 o 12 puntos • La información presentada está libre de errores ortográficos

* * *

Correcto

Comentarios

1.1.

En Los ejercicios 1 y 2 verifique la regla de la suma para matrices de derivadas (es decir la parte 1 de la proposición 4.1) para cada par de funciones dadas:

1° 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦 + cos 𝑥, 𝑔(𝑥, 𝑦) = sin(𝑥𝑦) + 𝑦 

𝑓(𝑥, 𝑦) + 𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦 + cos 𝑥 + sin(𝑥𝑦) + 𝑦 

𝐷𝑓 = [𝑦 − sin 𝑥 , 𝑥 ]

𝐷𝑔 = [𝑦 cos(𝑥𝑦), 𝑥 cos (𝑥𝑦) + 3𝑦  ]

𝐷(𝑓 + 𝑔) = [𝑦 − sin 𝑥 + 𝑦 cos(𝑥𝑦), 𝑥 + 𝑥 cos(𝑥𝑦) + 3𝑦  ]

𝐷𝑓 + 𝐷𝑔 = [𝑦 − sin 𝑥 + 𝑦 cos(𝑥𝑦), 𝑥 + 𝑥 cos(𝑥𝑦) + 3𝑦  ] 𝐷(𝑓 + 𝑔) = 𝐷𝑓 + 𝐷𝑔

2° 𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑒  , 𝑥𝑒  ), 𝑔(𝑥, 𝑦) = (ln 𝑥𝑦 , 𝑦𝑒  ) 𝑒  𝐷𝑓 = 󰇣  𝑒

𝑒  󰇤 𝑥𝑒 

𝑦 𝑒  + 𝑥𝑦 𝐷(𝑓 + 𝑔) =   𝑒 + 𝑦𝑒 

𝑦 𝐷𝑔 = 𝑥𝑦 𝑦𝑒  ,

𝑥 𝑥𝑦  𝑒

𝑥 𝑥𝑦  = 𝐷𝑓 + 𝐷𝑔  𝑥𝑒 + 𝑒  𝑥 𝑦 𝑒  + 𝑒  + 𝑥𝑦 𝑥𝑦  𝐷𝑓 + 𝐷𝑔 =     𝑒 + 𝑦𝑒 𝑥𝑒 + 𝑒  𝑒  +

𝐷(𝑓 + 𝑔) = 𝐷𝑓 + 𝐷𝑔

Se cumple la regla de la suma para matrices derivadas.

1.2. Verifique el producto y las reglas del cociente (proposición 4.2) para los pares de las funciones en los ejercicios 5 y 6 5°𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥  𝑦 + 𝑦  , Regla del producto

𝑔(𝑥, 𝑦) =



𝐷𝑓 = [2𝑥𝑦, 𝑥  + 3𝑦  ],

1 −𝑥 𝐷𝑔 =  , ,   𝑦 𝑦

𝑓(𝑥, 𝑦)𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝑥  + 𝑥𝑦  , 𝐷(𝑓𝑔) = [3𝑥  + 𝑦  , 2𝑥𝑦]

1 −𝑥 𝑥 𝑔𝐷𝑓 + 𝑓𝐷𝑔 =   [2𝑥𝑦, 𝑥  + 3𝑦  ] + (𝑥  𝑦 + 𝑦  )  󰆒 ,   = [3𝑥  + 𝑦  , 2𝑥𝑦] 𝑦 𝑦 𝑦

Se cumple la regla del producto

Regla del cociente

𝐷(𝑓𝑔) = 𝑔𝐷𝑓 + 𝑓𝐷𝑔 𝑓(𝑥, 𝑦)

𝑦 = 𝑥𝑦  + 𝑥 , 𝑔(𝑥, 𝑦)

𝑓 4𝑦  𝑦  󰇪 𝐷   = 󰇩𝑦 −  , 2𝑥𝑦 + 𝑥 𝑥 𝑔

1 −𝑥 𝑥 󰇡 󰇢 [2𝑥𝑦, 𝑥  + 3𝑦  ] − (𝑥  𝑦 + 𝑦  )  󰆒 ,   𝑦 4𝑦  𝑔𝐷𝑓 − 𝑓𝑑𝑔 𝑦 𝑦 𝑦 − = 󰇩𝑦 , 2𝑥𝑦 + = 󰇪 𝑥 𝑥 𝑔 𝑥 𝑦

Se cumple la regla del cociente 6°𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒  ,

Regla del producto

𝑓 𝑔𝐷𝑓 − 𝑓𝑑𝑔 𝐷  = 𝑔 𝑔

𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝑥 sin 2𝑦

𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑒  sin 2𝑦, 𝐷𝑓 = [𝑦𝑒  , 𝑥𝑒  ],

𝑒  𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑔(𝑥, 𝑦) x sin 2𝑦

𝐷𝑔 = [sin 2𝑦, 2𝑥 cos 2𝑦]

𝐷(𝑓𝑔) = [sin 2𝑦 (𝑒  + 𝑥𝑦𝑒  ), 𝑥 (𝑥𝑒  sin 2𝑦 + 2𝑒  cos 2𝑦)] 𝑔𝐷𝑓 + 𝑓𝐷𝑔 = 𝑥 sin 2𝑦 [𝑦𝑒  , 𝑥𝑒  ] + 𝑒  [sin 2𝑦, 2𝑥 cos 2𝑦] = [sin 2𝑦 (𝑒  + 𝑥𝑦𝑒  ), 𝑥 (𝑥𝑒  sin 2𝑦 + 2𝑒  cos 2𝑦)]

Se cumple regla del producto

Regle del cociente

𝐷(𝑓𝑔) = 𝑔𝐷𝑓 + 𝑓𝐷𝑔 𝑒  𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑔(𝑥, 𝑦) x sin 2𝑦

𝑓 𝑥𝑦𝑒  + sin 2𝑦 − 𝑒  sin 2𝑦 𝑥  𝑒  sin 2𝑦 − 2𝑥𝑒  cos 2𝑦 󰇪 𝐷  = 󰇩 , 𝑥  𝑠𝑖𝑛 2𝑦 𝑔 𝑥  𝑠𝑖𝑛 2𝑦

𝑔𝐷𝑓 − 𝑓𝐷𝑔 𝑥 sin 2𝑦[𝑦𝑒  , 𝑥𝑒  ] − 𝑒  [sin 2𝑦, 2𝑥 cos 2𝑦] = 𝑥  𝑠𝑖𝑛 2𝑦 𝑔  𝑥𝑦𝑒 + sin 2𝑦 − 𝑒  sin 2𝑦 𝑥  𝑒  sin 2𝑦 − 2𝑥𝑒  cos 2𝑦 󰇪 =󰇩 , 𝑥  𝑠𝑖𝑛 2𝑦 𝑥  𝑠𝑖𝑛 2𝑦

Se cumple la regla del cociente

𝐷

𝑓

𝑔𝐷𝑓 𝑔− 𝑓𝑑𝑔 = Para la función dada en el ejercicio 9,𝑔determine todas las derivadas parciales de segundo orden. 9. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥  𝑦  + 3𝑥𝑦 − 7𝑥𝑦

𝑓 (𝑥, 𝑦) = 3𝑥  𝑦  + 3𝑦  − 7𝑦,

𝑓 (𝑥, 𝑦) = 7𝑥  𝑦  + 6𝑥𝑦 − 7𝑥

Derivadas parciales de segundo orden 𝑓 (𝑥, 𝑦) = 6𝑥𝑦

𝑓 = 21𝑥  𝑦  + 6𝑦 − 7

𝑓 = 42𝑥  𝑦  + 6𝑥

𝑓 = 21𝑥  𝑦  + 6𝑦 − 7 2. Derivadas parciales y de orden superior 2.1. En los ejercicios 3.6 y 9 calcule derivadas parciales

,

𝝏𝑭 𝝏𝑭 𝝏𝒙 𝝏𝒚

3° 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦  + 𝑥  𝑦

𝒚

𝝏𝑭 𝝏𝒛



9°𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑒  + 𝑦 sin(𝑥  + 𝑦)

𝜕𝑓 = 𝑒  + 2𝑥𝑦 cos(𝑥  + 𝑦) 𝜕𝑥

15°𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) =

𝜕𝐹 = 𝑦𝑧 𝜕𝑥



 (     ) 

𝝏𝒇

𝝏𝒚

. En los ejercicios 12 y 15 evalué las

= 𝑦  + 2𝑥𝑦

2𝑥 𝜕𝑓 =  𝜕𝑥 𝑥 + 𝑦 

12°𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑦𝑧

𝒚

para las funciones F dadas.



6°𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑙𝑛 (𝑥  + 𝑦  )

𝝏𝒇 𝝏𝒙





= 2𝑥𝑦 + 𝑥 

𝜕𝑓 2𝑦 =  𝜕𝑦 𝑥 + 𝑦 

𝜕𝑓 = 𝑥𝑒  + sin(𝑥  + 𝑦) + 𝑦 cos(𝑥  + 𝑦) 𝜕𝑦 𝜕𝐹 = 𝑥𝑧 𝜕𝑦

𝜕𝐹 = 𝑥𝑦 𝜕𝑦

𝜕𝐹 1 − 2𝑥  + 𝑦  + 𝑧  − 3𝑥𝑦 − 3𝑥𝑧 =  𝜕𝑥 (1 + 𝑥  + 𝑦  + 𝑧  )  

𝜕𝐹 1 + 𝑥  − 2𝑦  + 𝑧  − 3𝑥𝑦 − 3𝑦𝑧 =  𝜕𝑦 (1 + 𝑥  + 𝑦  + 𝑧  )  

𝜕𝐹 𝜕𝑧

=

   ) − 1 + 𝑥(1 ++𝑦𝑥−+2𝑧 − 𝑧3𝑥𝑧 3𝑦𝑧 𝑦 + 

3. Derivadas implícitas Mediante derivación implícita determine

47° 𝑥  + 2𝑦  + 3𝑧  = 1





𝑦





𝜕 𝜕 = (𝑥  + 2𝑦  + 3𝑧 ) = (1 ) 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑧 2𝑥 + 0 + 6𝑧 =0 𝜕𝑥 𝜕𝑧 = −2𝑥 6𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑧 −2𝑥 𝑥 = =− 𝜕𝑥 6𝑧 3𝑧

𝜕

𝜕𝑦

= (𝑥  + 2𝑦 + 3𝑧 ) = 0 + 4𝑦 + 6𝑧 6𝑧

𝜕𝑧 = −4𝑦 𝜕𝑦

𝜕𝑧 −4𝑦 2𝑦 = =− 𝜕𝑦 6𝑧 3𝑧

49° 𝑒  = 𝑥𝑦𝑧

𝜕  𝜕 (𝑒 ) = (𝑥𝑦𝑧) 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝑒 = 𝑦 𝑥 + 𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝑒  − 𝑥𝑦 = 𝑦𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑧 (𝑒  − 𝑥𝑦) = 𝑦𝑧 𝜕𝑥 𝑦𝑧 𝜕𝑧 =  𝜕𝑥 (𝑒 − 𝑥𝑦)

𝜕  𝜕 (𝑒 ) = (𝑥𝑦𝑧) 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝑒 = 𝑥 𝑦 + 𝑧 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑧 = 𝑥𝑧 𝑒 − 𝑥𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑧 (𝑒  − 𝑥𝑦) = 𝑥𝑧 𝜕𝑦 𝑥𝑧 𝜕𝑧 =  𝜕𝑦 (𝑒 − 𝑥𝑦)

4. Regla de la cadena para funciones de dos variables Mediante la regla de la cadena encuentre

7° 𝑧 = 𝑥  𝑦  ,

𝑥 = 𝑠 cos 𝑡,

𝜕𝑧 =0 𝜕𝑦





𝑦

 

𝑦 = 𝑠 sin 𝑡

𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑧 𝜕𝑦 = 2𝑥𝑦  cos 𝑡 + 3𝑥  𝑦  sin 𝑡 = + 𝜕𝑠 𝜕𝑥 𝜕𝑠 𝜕𝑦 𝜕𝑠

𝜕

𝜕𝑦

(1)

𝜕𝑧

9° 𝑧 = sin 𝜃 cos 𝜙, 𝜕𝑡 𝜕𝑧 𝜕𝑠

=

=

𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑧 𝜕𝑦 = −2𝑠𝑥𝑦  sin 𝑡 + 3𝑠𝑥  𝑦  cos 𝑡 +  𝜕𝑡 𝜕𝑥 𝜃𝜕𝑡= 𝑠𝑡𝜕𝑦 , 𝜙 = 𝑠𝑡

𝜕𝑧 𝜕𝜃 𝜕𝑧 𝜕𝜙 = (cos 𝜃 cos 𝜙)(𝑡  ) + (− sin 𝜃 sin 𝜙)(2𝑠𝑡) + 𝜕𝜃 𝜕𝑠 𝜕𝜙 𝜕𝑡 = 𝑡  cos 𝜃 cos 𝜙 − 2𝑠𝑡 sin 𝜃 sin 𝜙

𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝜃 𝜕𝑧 𝜕𝜙 = + = (cos 𝜃 cos 𝜙 )(2𝑠𝑡) + (− sin 𝜃 sin 𝜙)(𝑠  ) 𝜕𝑠 𝜕𝜃 𝜕𝑡 𝜕𝜙 𝜕𝑡 = 2𝑠𝑡 cos 𝜃 cos 𝜙 − 𝑠  sin 𝜃 sin 𝜙

11°𝑧 = 𝑒  cos 𝜃,

𝑟 = 𝑠𝑡,

𝜃 = √𝑠  𝑡 

(𝑠  + 𝑡 ) 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑟 𝜕𝑧 𝜕𝜃 = 𝑒  cos 𝜃 ∙ 𝑡 − 𝑒  sin 𝜃 ∙ = + 𝜕𝑠 𝜕𝑟 𝜕𝑠 𝜕𝜃 𝜕𝑡 2 𝑡   = 𝑡𝑒 cos 𝜃 − 𝑒 sin 𝜃 ∙ √𝑠  + 𝑡  𝑠 𝜕𝑧 sin 𝜃 = 𝑒  𝑡 cos 𝜃 −  𝜕𝑠 √𝑠 + 𝑡 

  (2𝑠)

(𝑠  + 𝑡  ) 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑟 𝜕𝑧 𝜕𝜃   = 𝑒 cos 𝜃 ∙ 𝑠 − 𝑒 sin 𝜃 ∙ = + 𝜕𝑡 𝜕𝑟 𝜕𝑡 𝜕𝜃 𝜕𝑡 2 𝑡   = 𝑠𝑒 cos 𝜃 − 𝑒 sin 𝜃 ∙ √𝑠  + 𝑡  𝑡 𝜕𝑧 = 𝑒  𝑠 cos 𝜃 − sin 𝜃  𝜕𝑡 √𝑠 + 𝑡 

7° 𝑓(𝑥, 𝑦) = 4𝑥  − 3𝑥𝑦 + 𝑦 

5. Derivadas direccionales y gradientes

Derivadas parciales

𝑓 (𝑥, 𝑦) = 8𝑥 − 3𝑦

Por lo tanto, el gradiente es:

8°𝑔(𝑥, 𝑦) =



   

𝑓 (𝑥, 𝑦) = −3𝑥 + 2𝑦

∇𝑓(𝑥, 𝑦) = (8𝑥 − 3𝑦)𝚤 + (−3𝑥 + 2𝑦)𝚥

  (2𝑡)

Derivadas parciales 𝑔 (𝑥, 𝑦) =

𝑦(−𝑥  + 𝑦  )

  𝑥(𝑥  +− 𝑦 ) ) (𝑥 𝑦 (𝑥, 𝑔 𝑦) =

(𝑥  + 𝑦  ) Por lo tanto, el gradiente es: ∇𝑔(𝑥, 𝑦) =

9°𝑔(𝑥, 𝑦) = ln 𝑥  + 𝑦 

𝑦(−𝑥  + 𝑦  ) 𝑥(𝑥  − 𝑦  ) 𝚥  +  (𝑥 + 𝑦  ) (𝑥  + 𝑦  )

Derivadas parciales

𝑔 (𝑥, 𝑦) =

𝑥

Por lo tanto, el gradiente es:

𝑦 𝑔 (𝑥, 𝑦) =  𝑥 + 𝑦

𝑥 + 𝑦 ∇𝑔(𝑥, 𝑦) =

10°𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒  tan 2𝑥 Derivadas parciales

𝑥

𝑓 (𝑥, 𝑦) = 2𝑒  𝑠𝑒𝑐  2𝑥

Por lo tanto, el gradiente es:

11°𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) =

𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝑒  tan 2𝑥

∇𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑒  𝑠𝑒𝑐  2𝑥  + 𝑒  tan 2𝑥 

 

Derivadas parciales 𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧) =

𝑦 𝑥  +  𝚥  +𝑦 𝑥 + 𝑦

𝑥+𝑧 (𝑥 + 𝑧)

Por lo tanto, el gradiente es:

∇𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) =

1 𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = − 𝑥+𝑧

𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧) =

1 −𝑥 − 𝑦 𝑥 +𝑧    − 𝒌  (𝑥 + 𝑧) 𝑥 + 𝑧 (𝑥 + 𝑧)

−𝑥 − 𝑦 (𝑥 + 𝑧)

6. Rotacionales y divergencias

󰇍󰇍 para el campo vectorial 𝑭 󰇍  indicado. 󰇍󰇍 𝑦 𝑑𝑖𝑣 𝑭 Calcule el rot 𝑭

󰇍 (𝑥, 𝑦) = 2𝑥  + 3𝑦  33. 𝑭







  𝑟𝑜𝑡𝐹 (𝑥, 𝑦) = ∇ × 𝐹 (𝑥, 𝑦) = 󰈅 󰈅 = 󰈅   󰈅 = (3𝑦) − (2𝑥) = 0   2𝑥 3𝑦 𝑀 𝑁 󰇍󰇍 (𝑥, 𝑦) = ∇ ∙ 󰇍𝑭 󰇍 (𝑥, 𝑦) =  +  =  (2𝑥) +  (3𝑥) = 2 + 3 = 5 Divergencia 𝑑𝑖𝑣𝑭  

Rotación

𝝏𝒙

󰇍󰇍 (𝑥, 𝑦) = cos 𝑥 𝚤 + sin 𝑦 𝚥 34°𝑭

Rotación



𝑟𝑜𝑡𝐹 (𝑥, 𝑦) = ∇ × 𝐹 (𝑥, 𝑦) = 󰈅  cos 𝑥

󰇍  (𝑥, 𝑦) = ∇ ∙ 𝑭 󰇍󰇍(𝑥, 𝑦) = Divergencia 𝑑𝑖𝑣𝑭 󰇍󰇍 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥   + 𝑦  + 𝑧  𝒌 37° 𝐹 Rotación





 

sin 𝑦

 (cos 𝑥) 

󰈅 =  (sin 𝑦) −  (cos 𝑥) = 0

+









(sin 𝑦) = cos 𝑥 − sin 𝑥

 𝚥 𝑘  𝚥 𝑘 𝜕 𝜕 𝜕 𝜕 𝜕 𝜕 𝑟𝑜𝑡𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = ∇ × 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 󰈑 󰈑=󰈑 󰈑 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝑥  𝑦 𝑧 𝑀 𝑁 𝑃 𝜕𝑁 𝜕𝑀 𝜕𝑃 𝜕𝑀 𝜕𝑃 𝜕𝑁  = − − 𝑲   +    −  − 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑧 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑦

𝜕 𝜕 𝜕  𝜕 𝜕 𝜕 󰇍(𝑥, 𝑦, 𝑧) =  𝑧  − 𝑟𝑜𝑡𝑭 𝑦   −  𝑧  − 𝑦    𝒌  +  𝑦 − 𝑥  𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧

Divergencia

󰇍󰇍 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = ∇ ∙ 󰇍󰇍󰇍 𝑭 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑑𝑖𝑣𝑭 = 2𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧

 󰇍󰇍(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑧  + 𝑦   + 𝑥  𝑧𝒌 38°𝑭

𝜕  𝜕  𝜕 𝜕𝑀 𝜕𝑁 𝜕𝑃 + + = (𝑥 ) + (𝑦 ) + (𝑧  ) 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧

 𝚥 𝑘 𝜕 𝜕 𝜕 𝑟𝑜𝑡𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = ∇ × 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 󰈑 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 󰈑 𝑥𝑧  𝑦  𝑥  𝑧 𝜕 𝜕 𝜕 𝜕 𝜕 𝜕 =  𝑥  𝑧 − 𝑦    −  𝑥  𝑧 − 𝑥𝑧   +  𝑦  − 𝑥𝑧  𝒌 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑦

Rotación

Divergencia

󰇍 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (0 − 0) − (2𝑥𝑧 − 2𝑥𝑧) + (0 − 0)𝒌 = 0 𝑟𝑜𝑡𝑭 𝜕

𝜕 𝜕    (𝑦  ) + 𝜕𝑥 (𝑥 𝑧) = 𝑧 + 2𝑦 + 𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑦 󰇍󰇍 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥  + 𝑦  + 1 + 𝑥  + 𝑦  + 1𝚥 + 𝑧 𝑘 41° 𝑭 󰇍󰇍󰇍(𝑥, 𝑦, 𝑧) = ∇ ∙ 󰇍𝑭󰇍(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑑𝑖𝑣𝑭

Rotación

(𝑥𝑧  ) +

 𝜕 𝜕𝑥

󰇍(𝑥, 𝑦, 𝑧) = ∇ × 𝑭 󰇍(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑟𝑜𝑡𝑭 󰈑

𝑥  + 𝑦  + 1

 𝒌 𝜕 𝑥−𝑦 𝒌 = 𝜕𝑧 󰈑 𝑥  + 𝑦  + 1 𝑥  + 𝑦  + 1 𝑧   𝜕 𝜕𝑦

𝜕 𝜕 𝜕 𝜕 󰇍󰇍 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 󰇧 𝑧  − 𝑥  + 𝑦  + 1󰇨  − 󰇧 𝑧  − 𝑥  + 𝑦  + 1󰇨    𝑟𝑜𝑡𝑭 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕 𝜕 𝑥  + 𝑦  + 1 𝒌 +  𝑥  + 𝑦  + 1 − 𝜕𝑦 𝜕𝑥

Divergencia

󰇍(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 󰇍󰇍 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = ∇ ∙ 󰇍𝑭 𝑑𝑖𝑣𝑭

󰇍󰇍(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 42°𝑭 Rotación

=

𝑥+𝑦

𝑥 

    (    ) 

+

+

𝑦

+1

󰇍󰇍(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 󰇭 𝑟𝑜𝑡𝑭

+ 𝑧

  (    ) 

󰇍 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = ∇ × 󰇍󰇍 𝑟𝑜𝑡𝑭 𝑭(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 󰈑 =𝟎

𝜕 𝜕 𝜕 𝑥  + 𝑦  + 1 + 𝑥  + 𝑦  + 1 + 𝑧  𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑦   + 𝒌  𝜕 𝜕𝑥

 𝜕 𝜕𝑦

(𝑥  + 𝑦  )   (𝑥  + 𝑦  ) 

 

𝒌 𝜕 3𝑥𝑦 − 3𝑥𝑦 𝒌 = 𝜕𝑧󰈑 (𝑥  + 𝑦  )  1

𝑦 𝑦 𝜕(1) 𝜕 𝜕 (1) 𝜕 − 󰇧 − 󰇧 󰇨󰇮 𝚤 − 󰇭 󰇨󰇮 𝚥  𝜕𝑦 𝜕𝑧 (𝑥  + 𝑦  )   𝜕𝑥 𝜕𝑧 (𝑥  + 𝑦  )

+󰇭

𝜕 𝜕 𝑦 𝑥 󰇨− 󰇨󰇮 𝑘 󰇧 󰇧   𝜕𝑥 (𝑥  + 𝑦  )  𝜕𝑦 (𝑥  + 𝑦  ) 

Divergencia

󰇍󰇍(𝑥, 𝑦, 𝑧) = ∇ ∙ 󰇍𝑭󰇍 𝜕 𝑑𝑖𝑣𝑭 𝜕 (𝑥  + 𝑦𝑦  )  𝜕(1) 𝜕𝑧  𝑥    (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 󰇨+ 󰇧 󰇧 (𝑥 + 𝑦 )  󰇨 −  𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝑥 + 𝑦 =  (𝑥  + 𝑦  )  

7. Extremos de funciones de dos variables (máximos y mínimos)

Calcule los valores máximos y mínimos locales, y punto o puntos sillas de la función. Si dispone de programas para graficación tridimensional, grafique la función con un dominio y desde otra perspectiva que revele todos los aspectos importantes de la función. 5° 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥  + 𝑥𝑦 + 𝑦  + 𝑦

𝑓 = 2𝑥 + 𝑦

Cuando 𝑓 = 0 → 𝑦 = −2𝑥,

𝑓 = 𝑥 + 2𝑦 + 1

𝑓 = 2

𝑓 = 1

Sustituyendo y en 𝑓 e igualando a cero

𝑓 = 2

𝑓 = 𝑥 + 2(−2𝑥 ) + 1 = −3𝑥 + 1 = 0

El punto crítico es 𝑃 󰇡 ,

3𝑥 = 1

  



󰇢

𝑥=

1 3

𝑦 = −2𝑥 =

Aplicando el criterio de la segunda derivada obtenemos

−2 3

𝐷(𝑥, 𝑦) = 𝑓 𝑓 − 𝑓  = (2)(2) − (1) = 3

Como 𝐷(𝑥, 𝑦) > 0 𝑦 𝑓 > 0;

Graficas



𝑃 𝐞𝐬 𝐮𝐧 𝐦𝐢𝐧𝐢𝐦𝐨 𝐫𝐞𝐥𝐚𝐭𝐢𝐯𝐨

7°𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑥 − 𝑦)(1 − 𝑥𝑦) = 𝑥 − 𝑦 − 𝑥  𝑦 + 𝑥𝑦  𝑓 = 1 − 2𝑥𝑦 + 𝑦  𝑓 = −1 − 𝑥  + 2𝑥𝑦 𝑓 = −2𝑦

𝑓 = −2𝑥 + 2𝑦

𝑓 = 2𝑥

𝑓 = 0, implica que 1 − 2𝑥𝑦 + 𝑦  = 0

𝑓 = 0, implica que − 1 − 𝑥  + 2𝑥𝑦 = 0

Sumando ambas ecuaciones obtenemos que 𝑦  = 𝑥 

Si tomamos que 𝑦 = −𝑥 la solución existe en los números complejos. Si tomamos 𝑦 = 𝑥 , obtenemos que 𝑥  = 1, desperado tenemos 𝑥 = ±1 . Los puntos críticos son 𝑃 = (1,1) 𝑦 𝑃 = (−1, −1) Aplicando el criterio de la segunda derivada obtenemos

𝐷(1,1) = 𝑓 𝑓 − 𝑓  = (−2)(2) − 0 = −4 

𝐷(−1, −1) = 𝑓 𝑓 − 𝑓  = (2)(−2) − 0 = −4

Como 𝐷(𝑥, 𝑦) < 0 Graficas



𝑃 𝑦 𝑃 son puntos de silla

9°𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦  + 3𝑥  𝑦 − 6𝑥  − 6𝑦  + 2 𝑓 = 6𝑥𝑦 − 12𝑥

𝑓 = 6𝑦 − 12

𝑓 = 6𝑥

𝑓 = 3𝑦  + 3𝑥 

𝑓 = 6𝑦 − 12

𝑓 = 0, implica que 6𝑥(𝑦 − 2) = 0 por tanto 𝑥 = 0 ó 𝑦 = 2

Si tomamos 𝑥 = 0 la sustitucion en 𝑓 = 0 nos da 3𝑦  = 0 → 𝑦 = 0

Por lo que tenemos el punto crítico 𝑃(0,0) Si tomamos 𝑦 = 2 la sustitucion en 𝑓 = 0 nos dan raices imaginarias

Aplicando el criterio de la segunda derivada obtenemos 𝑓 (0,0) = (−12) P es un máximo relativo 𝐷(0,0) = (−12)(−12) − 0 = 144

Grafica

13°𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒  cos 𝑦

𝑓 = 𝑒  cos 𝑦

𝑓 = −𝑒  sin 𝑦

𝑓 = 0 𝐼𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑞𝑢𝑒 cos 𝑦 = 0 ó 𝑞𝑢𝑒 𝑦 =

Por lo tanto, no hay puntos críticos

𝜋 sin 󰇡 + 𝑛𝜋󰇢 ≠ 0 2

𝜋 + 𝑛𝜋| 𝑛𝜖Ζ 2

8. Multiplicadores de Lagrange Utilizando multiplicadores de Lagrange, encuentre los valores máximo y mínimo de la función sujeta a la restricción o las restricciones dadas.

𝑥𝑦 = 1 3°𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥  + 𝑦  ; Utilizando el método d los multiplicadores 𝑥, 𝑦 y 𝜆 tales que ∇𝑓 = 𝜆∇𝑔 y 𝑔(𝑥, 𝑦) = 1 ∇𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝜆∇𝑔(𝑥, 𝑦) ⟹ De ahí obtenemos las ecuaciones: 𝑓 = 𝜆𝑔 ⟹ 𝑓 = 𝜆𝑔 ⟹ 𝑔=1 ⟹

de

Lagrange buscamos

(2𝑥, 2𝑦) = (𝜆𝑦, 𝜆𝑥)

2𝑥 = 𝜆𝑦 2𝑦 = 𝜆𝑥 𝑥𝑦 = 1

valores

Resolviendo el sistema de ecuaciones, encontramos que 𝑥  = 𝑦  = 1 → 𝑥 = 𝑦 = ±1 Los posibles valores extremos de 𝑓 son (1,1) 𝑦 (−1,1) El valor mínimo sujeto a la restricción dada es 𝑓(1,1) = 𝑓(−1, −1 ) = 2 5° 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥  − 𝑦  ;

  𝑥 

+ 𝑦 = 1

𝜆𝑥 ∇𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝜆∇𝑔(𝑥, 𝑦) ⟹ 〈−2𝑥, 2𝑦〉 = 〈 , 2𝜆𝑦〉 2

de

𝜆𝑥 ⟹ |−2𝑥 = 2 ⟹ 2𝑦 = 2𝜆𝑦 1𝑥  + 𝑦  = 1 𝑔=1 ⟹ 4 De la primera ecuación tenemos que 𝑥(𝜆 + 4) = 0 por lo que 𝑥 = 0 ó 𝜆 = 4. Si 𝑥 = 0 → 𝑦 = ±1. Si 𝜆 = −4 → 𝑦 = 0, entonces 𝑥 = ±2 Los posibles valores extremos de 𝑓 son (0, ±1) y (±2,0) Puntos máximos en 𝑓(0, ±1) = 1 Puntos mínimos en 𝑓(±2, 0) = 1 𝑓 = 𝜆𝑔 𝑓 = 𝜆𝑔

6°𝑓(...