Series de Taylor e de Maclaurin - Resumo PDF

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Resumo do primeiro assunto da matéria, series e sequencias...

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Séries de Taylor e de Maclaurin Definições – Série de Taylor, Série de Maclaurin Seja f uma função com derivadas de todas as ordens em algum intervalo contendo a como um ponto interior. Então, a série de Taylor gerada por f em x=aé

A série de Maclaurin gerada por f é

a série de Taylor gerada por f em x = 0. Definição – Polinômio de Taylor de Ordem n Seja f uma função com derivadas de ordem k para k = 1, 2, ..., N em algum intervalo contendo a como um ponto interior. Então, para algum inteiro n de 0 a N, o polinômio de Taylor de ordem n gerado por f em x = a é o polinômio

Resto de um Polinômio de Taylor Precisamos de uma medida da precisão na aproximação do valor de uma função f(x) por seu polinômio de Taylor Pn(x). Podemos usar a idéia de um resto Rn(x) definido por

O valor absoluto aproximação.

é chamado de erro associado à

Teorema de Taylor Se f for derivável até a ordem n + 1 em um intervalo aberto I contendo a, então para cada x em I existe um número c entre x e a tal que

onde

Teorema da Estimativa do Resto Se existirem constantes positivas M e r tais que para todo t entre a e x, inclusive, então o resto Rn(x) no Teorema de Taylor satisfará a desigualdade

Se essas condições forem válidas para todo n e todas as outras condições do Teorema de Taylor forem satisfeitas por f, então a série convergirá para f(x).

Combinando Séries de Taylor Na interseção dos seus intervalos de convergência, as séries de Taylor podem ser somadas, subtraídas e multiplicadas por constantes e potências de x, e os resultados são novamente séries de Taylor. A série de Taylor para f(x) + g(x) é

a soma da série de Taylor para f(x) e a série de Taylor para g(x) porque a enésima derivada de f + g é f(n) + g(n) e assim por diante.

Podemos obter a série de Maclaurin para (1 + cos 2x) / 2 substituindo 2x na série de Maclaurin para cos x, adicionando 1 e dividindo o resultado por 2. A série de Maclaurin para sen x + cos x é a soma termo a termo da série para sen x e cos x. Obtemos a série de Maclaurin para x sen x pela multiplicação de todos os termos da série de Maclaurin de sen x por x.

Séries de Fourier

(1) Observe que no intervalo – L < x < L é simétrico em relação à origem. A equação (1) é chamada de série de Fourier de f no intervalo (-L, L). Coeficientes na Expansão em Série de Fourier

1) 2) 3) 4) 5) Cálculo de a0

Integramos ambos os lados da equação (1) de – L a L e consideramos que as operações para integração e somatória podem ser trocadas entre si para obter

(2)

Para todo inteiro positivo n, as duas últimas integrais do lado direito da equação (2) são zero (fórmulas 1 e 2 na Tabela dos Coeficientes). Portanto,

Então, obtemos a0:

Cálculo de am Multiplicamos ambos os lados da equação (1) por integramos o resultado de – L a L:

, m > 0, e

(4) A primeira integral do lado direito da equação (4) é zero (fórmula 1 na Tabela dos coeficientes). As fórmulas 3 e 4 na Tabela reduzem ainda mais a equação para

Portanto,

Cálculo de bm Multiplicamos ambos os lados da equação (1) por integramos o resultado de – L a L:

, m > 0, e

Das fórmulas 2, 4 e 5 na Tabela de coeficientes, obtemos

Portanto,

(6) A série trigonométrica (1), cujos coeficientes a 0, an, bn são determinados pelas equações (3), (5) e (6), respectivamente (com m substituído por n), é chamada de expansão em série de Fourier de função f no intervalo – L < x < L. As constantes a0, an e bn são os coeficientes de Fourier de f.

Definição – Séries de Fourier A série de Fourier de uma função f(x) definida no intervalo –L < x < L é...