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ÁLGEB RA: NIVEL MEDIO SUPERIOR

OPERACIONES CON POLINIMIOS

OPERACIONES CON POLINOMIOS 1.

SUMA ALGEBRAICA DE POLINOMIOS. En la práctica para sumar dos o más polinomios suelen colocarse unos debajo de los otros, de tal modo que los términos semejantes queden en columna, para facilitar la reducción de éstos, separados unos de otros con sus respectivos signos. Ejemplos: Hallar las sumas: a)

b)

c)

3a

2b

3a

2b c

2a

3b c

5a

5b

0

7a

4b

5c con

7a

4b

5c

7a

4b

6c

0

0

c

9x

3y

5 con

9x

3y

5

x

y

5x

4y

9

0

0

3x

d)

c con 2a

1

x

2

3 1

c . De acuerdo con lo indicado se tiene.

7a

x

4b

y

6c . Ordenando:

4 y

5x

4y

9 . Ordenando:

4

1

xy con

1

1

xy

2

3 1

x2

xy

2

y . Ordenando:

4 0

3

2

1

0 1

3b

2 x

2

2

1

1

xy

4 1

xy

3

y

1

xy

2

2

y

2

4

Simplificando: 1

x

2

2

2

e)

5ab

3 6

3bc

xy

1

y

4 4cd , 2bc

AUTOR: PROFESOR JESÚS INFANTE MURILLO EDICIÓN: PROFESOR PABLO FUENTES RAMOS

2

1 2

x

2cd

2

5 6

xy

1 4

3de , 4bc

y

2

2ab

3de

y

3bc

6cd

ab . Ordenando: 3-1

ÁLGEB RA: NIVEL MEDIO SUPERIOR

5ab

3bc

4cd

0

2bc

2cd 3de

g)

4bc

0

ab

3bc

6cd 0

(a

0

b)

a2

(b

(b2 2

c

a2

3de 0

0

d)

(b

c2 ) b2 2

a

h)

0

2ab 2ab

f)

OPERACIONES CON POLINIMIOS

b

c

2b

6a

2

(a 2

2

b

c

[3b

a

d)

(2b

c2 )

2

c

6a

2

c2 c

6b]

j)

(x

y x

y

(4x 3 4x

2.

z) (x z

x

2x 2 3

2x

x 2

x

y

z)

y

z

1)

(a 2 a

2

2

a b

2

b

2

a

y

z

x

y

z

x

7)

(x 3

3

x

2

c

d

b

c

d

2b a b

b

2

c

6a

6a 9b

2

a

2

3x

2

9b]

2b

7b z) ( x

x2

2

2b 6a [ 6a

y

(3x 3

b

b2 )

( x x

1 3x

2

a a

i)

a)

x

7

x

3

y

z)

4y

2z

4x 2 4x

2

2x

2x 8

8)

RESTA ALGEBRAICA DE POLINOMIOS Cuando el sustraendo es un polinomio, hay que restar del minuendo cada uno de los términos del sustraendo, así que a continuación del minuendo escribiremos el sustraendo cambiándose el signo a todos sus términos. La resta se realiza de igual manera que la suma de polinomios. Ejemplos: a)

b)

De a b restar a b . Ordenando: a

b

minuendo

a

b

sustraendo

2b

diferencia 3b restar

De 8a 8a

3b

c)

De 4x

4 . Ordenando:

minuendo

3a 11a

3a

3b 3y

4

sustraendo

4

diferencia

2z

restar

AUTOR: PROFESOR JESÚS INFANTE MURILLO EDICIÓN: PROFESOR PABLO FUENTES RAMOS

3x

2y

7z . Ordenando, se tiene:

3-2

ÁLGEB RA: NIVEL MEDIO SUPERIOR

3.

OPERACIONES CON POLINIMIOS

4x

3y

2z

minuendo

3x

2y

7z

sustraendo

7x

5y

9z

diferencia

MULTIPLICACIÓN

Multiplicación de monomios. Para multiplicar un monomio por otro, se empieza por aplicar la regla de los signos para la multiplicación, después se multiplican los coeficientes y finalmente las literales; si éstas son todas diferentes se colocan unas a continuación de las otras con sus propios exponentes y sin signos intermedios. Cuando intervienen potencias con la misma base, se conserva la misma base y se suman los exponentes. Ejemplos: 2

2

a)

(ab)(ab)

c)

( 3ax)(5ay)

e)

(6x y z )( 4xyz )

2

4

a b

3

b) 2

4

3

5

24x y z

7

3

1

d)

15a xy

3

2

4

3

( 9a bc )( 8d e g)

f)

4

(3a

x 2

xy2

x 7

)(5a

5

5xz

)

2

3

4

72a bc d e g

15a

4

x 2 y2 z

2x 9

Multiplicación de un polinomio por un monomio. Para multiplicar un polinomio por un monomio, se multiplica éste por todos y cada uno de los términos del polinomio, tomando en cuenta la regla de los signos, y se suman algebraicamente los resultados. Ejemplos: 3

2

2x

3

12ab c

a)

(3x

b)

(5a b c

c)

(a b

x

4

m

2

n

2

4)( 2x ) 5

3a

6x

5

5

2x

4

2

m 2

b

a

n 3

b

m

8x

5

6a c )( 3abc)

m 1 n 2

3

4x

3

15a b c 3

)(4a b )

4a

2m

2

4

2

6

36a b c

n 3

b

12a

2

6

18a bc

2m 1 n 5

b

4a

3

2m 2 n 6

b

Multiplicación de polinomios. Para multiplicar un polinomio por otro, se multiplican todos y cada uno de los términos de uno de ellos por todos y cada uno de los términos del otro, teniendo en cuenta la regla de los signos, y se suman algebraicamente los resultados; finalmente se hace la correspondiente reducción de términos semejantes. Ejemplos: a)

(x

3

2x

2

x)(x

2

2x

5)

x x

b)

(x

2

y

2

xy)(x

2

y

AUTOR: PROFESOR JESÚS INFANTE MURILLO EDICIÓN: PROFESOR PABLO FUENTES RAMOS

2

5

5

12x 4

xy)

x x

4

4

2x

5x

2

2

2

2x

4

4x

3

10x

2

x

3

2x

2

5x

5x 2

3

x y x y

3

2

x y y

2

2

x y

y

4

xy

3

3

x y

xy

3

2

x y

2

4

3-3

ÁLGEB RA: NIVEL MEDIO SUPERIOR

(a4

d)

a3 b 6

c)

OPERACIONES CON POLINIMIOS

a2 b2 )(3a 2 5

3a

2a b

3a 6

a5b

(x

a)(x

a b

4 2

3a b

2a b

2a 4 b 2

a 3b 3

a 2b 4

b)(x

5

c)

(x x

4.

b2 )

2ab

2

3

4

bx bx

2

ax

2

3

a b

3

4 2

3a b

3

2a b

3

2

a b

4

ab)(x c)

ax

2

abx

cx

2

bcx

acx

abc

DIVISIÓN

División de un monomio entre otro monomio. Para dividir un monomio entre otro, primero se aplica la regla de los signos para la división, después se dividen entre si los coeficientes y finalmente las literales. Cuando éstas son diferentes pueden conservarse en el mismo lugar, pero cuando se trata de potencias con la misma base se restan los exponentes. Ejemplos: a)

b)

c)

d)

45a 5 b8 c2 xy3

5a 3b 6 cxy 3

9a 2 b 2 cd 4e 4a 3 b 2

4

d e

2ab

2a 2 b

20mx 2 y 3

5mx

4xy3 xm yn za

1

2

3

3xy z

3

x

m 1 n 2

y

z

a 3

División de un polinomio entre un monomio. Se dividen todos los términos del polinomio entre el monomio, separando los cocientes parciales con sus propios signos. Ejemplos: a)

3a

2

2

6a b

6a b

d)

8

6

3a b 2

3a b 2

c)

2

a

3a 8

b)

9ab

5 8

84x y z

6

2

a b

4

2

2

2a

m

3a

m 2

3a

2a 6b 5

6a

m 4

21x y z 7x y z

3

AUTOR: PROFESOR JESÚS INFANTE MURILLO EDICIÓN: PROFESOR PABLO FUENTES RAMOS

3b

2

3

3

4

2ab

3

3

3

49x y z

a 4b 3

3

a

m 3

3

4

12y 3z 5

3

2

1

a

m 1

2a

3x 2y 2

7xyz

m 1

3-4

ÁLGEB RA: NIVEL MEDIO SUPERIOR

e)

4a x 4 b m

1

OPERACIONES CON POLINIMIOS

6a x 3b m 2a

x 2

b

2

8a x 2b m

m 4

3

2

2a b

3

3ab

2

4b

División de un polinomio entre otro polinomio. Sobre la base de la división aritmética, se dará un método para la división entre polinomios. 1

Se ordenan los términos del numerador y del denominador con relación a una letra, en orden de potencias decrecientes.

2

Se divide el primer término del numerador entre el primer término del denominador para obtener el primer término del cociente.

3

Se multiplica el cociente obtenido por cada término del denominador, colocando el resultado en columna (debajo del término semejante en caso de existir, si no tiene semejante en el numerador se escribe en el lugar que le corresponda de acuerdo con la ordenación de potencias), para poder sustraerlo del numerador al producto se le cambia de signo.

4

Considerar el residuo obtenido como un nuevo numerador y repetir los pasos 2 y 3 para encontrar el segundo término del cociente y el siguiente residuo.

5

Continuar el proceso hasta obtener un residuo que sea de menor grado que el grado del denominador. Si el residuo es cero, la división es exacta, y se puede expresar como: numerador denominador

dividendo

cociente

divisor

Si el residuo es diferente de cero, se puede expresar como: numerador denominador

residuo

cociente

denominador

Ejemplos a)

Dividir a 2

4ab

3b

2

entre a b . Podemos expresarlo como:

numerador 0

a

2

4ab a b

3b

2

dividendo denominado r o divisor

Para la solución hacemos uso del símbolo tendremos:

AUTOR: PROFESOR JESÚS INFANTE MURILLO EDICIÓN: PROFESOR PABLO FUENTES RAMOS

,llamado galera, por lo que

3-5

ÁLGEB RA: NIVEL MEDIO SUPERIOR

OPERACIONES CON POLINIMIOS

a + 3b denominador o divisor

2

a+b

cociente 2

a + 4 ab + 3 b - a 2 - ab 0 + 3ab + 3b 2 - 3ab - 3b 2 0 + 0

numerador o dividendo Residuo =

Es una división exacta

b)

Dividir: 3x 2

2x

8 entre x

2 . Siguiendo los pasos de ejemplo anterior, se tiene:

3x – 4 x+2

c)

3x2 + 2x – 8 - 3x 2 - 6x 0 - 4x – 8 + 4x + 8 0 = residuo; división exacta

Dividir 31x 2 9x 35x 4 9x 2 entre 5x 2 3x . Arreglando dividendo y divisor en orden decreciente de sus potencias tenemos: 7x2 +2x - 3 5x 2 + 3x

d)

35x 4 + 31x 3 – 9x 2 – 9x - 35x 4 – 21x 3 0 + 10x 3 – 9x 2 – 9x - 10x 3 – 6x 2 0 - 15 x 2 – 9x + 15x 2 + 9x 0

Dividir 5a 4

2a

a

2

3 entre a

división exacta

1 . Ordenando se tiene:

5a3 + 5a2 + 6 a + 4 a–1

5a4 + 0a3 + a2 – 2a – 3 -5a 4 + 5a 3 0 + 5a 3 + a 2 – 2a - 3 - 5a 3 + 5a 2 0 + 6a 2 – 2a - 3 - 6a 2 + 6a 0 +4a - 3 - 4a + 4 0 +1= División no

AUTOR: PROFESOR JESÚS INFANTE MURILLO EDICIÓN: PROFESOR PABLO FUENTES RAMOS

3-6

ÁLGEB RA: NIVEL MEDIO SUPERIOR

OPERACIONES CON POLINIMIOS

Por lo que, también se puede expresar como: 5a 4

a2 a

e)

2a

5a

1

Dividir x 3 y i)

3

2

x y

2

3

5a

3

5xy

2

y

6a

4

1

4

a 1

entrex

y

Ordenando con respecto a x; tenemos: x 2y + 2x y2 – 3y3 x – y x 3y + x 2y2 – 5 x y3 + y4 - x 3y + x 2y2 0 + 2x 2y2 – 5xy3 + y4 - 2x 2y2 + 2xy3 0 - 3xy3 + y4 + 3xy3 - 3y4 0 - 2 y4

ii)

División no exacta

Ordenando con respecto a y; tenemos : -y 3 + 4xy2 + 3x 2y + 2x 3 - y + x y4 –5xy3 + x 2y2 + x 3y - y4 + xy3 0 – 4 xy3 + x 2y2 + x 3 y + 4xy3 - 4x 2y2 0 - 3 x 2y2 + x 3y + 3x 2y2 – 3x 3y 0 - 2x 3y + 2x 3y - 2x 4 - 2x 4 División no exacta

f)

Hacer la división de a 4

a

2

2a

1 entre a

2

a

1 . Ordenando:

a2 – a – 1 a2 + a + 1

a4 – 0a3 – a2 – 2a- 1 - a4 – a3 – a2 0 – a3 – 2a2 – 2a – 1 + a3 + a2 + a 0 – a2 – a – 1 + a2 + a + 1 0

AUTOR: PROFESOR JESÚS INFANTE MURILLO EDICIÓN: PROFESOR PABLO FUENTES RAMOS

División exacta

3-7

ÁLGEB RA: NIVEL MEDIO SUPERIOR

g)

OPERACIONES CON POLINIMIOS

Dividir x 6

6x

3

2x

5

7x

2

4x

entre x 4

6

3x

2

2 . Ordenando y dividiendo:

x 2 – 2x + 3 x4 – 3x2 + 2

h)

x6 – 2x5 + 0x4 + 6x3 – 7x2 – 4x + 6 - x 6 + 0 + 3 x 4 + 0 – 2x 2 0 – 2 x 5 + 3x 4 + 6x 3 – 9 x 2 – 4 x + 6 + 2 x 5 + 0 – 6x 3 + 0 + 4 x 0 + 3x 4 + 0 – 9x 2 + 0 + 6 - 3 x 4 + 0 + 9x 2 + 0 – 6 0

Efectuar la siguiente división: 2x

3 2 2x

3

x3

3x 6 2 0

x

4 4

5 4

7x 9 2 5

15

x2 3

x

2

3

3x

4

2x

3 . Ordenando tenemos:

61

x

8 0x

3 7x

División exacta

16 2x

3

3

3

x 2 10 x 4 0

2

0x

2x

15

3

4 15 4

x

2

2

x

30 8 0

3

2x x

2

3

45 8 61 8 122 16 0

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x x x

3 183 16 135 16

División no exacta

3-8

ÁLGEB RA: NIVEL MEDIO SUPERIOR

i)

OPERACIONES CON POLINIMIOS

Efectuar la siguiente división: 1 1 3

1

a

2

2 1

b

6 1

3

b 5

a2

1

ab

36 6 1 ab a 6 4 1 1 2 ab b 9 6 1 1 2 ab b 9 6 0

0

j)

1

a

b

2

2

División exacta

Hacer la división que se indica: a ...