Cálculo Vectorial - Operador Nabla PDF

Preview

Summary

Ejemplo de aplicación del operador nabla para la resolución de campos de velocidades...

Description

Cálculo vectorial Vectores y sistema de coordenadas Coordenadas cartesianas En un sistema de coordenadas cartesianas representamos al vector 𝑣 por sus componentes (x, y, z). 𝑣 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 · 𝑖 + 𝑦 · 𝑗 + 𝑧 ·󰇍𝑘

Coordenadas cilíndricas El sistema de coordenadas cilíndrico es indicado en problemas con simetría según el eje z. Un vector será representado componentes (r, θ, z). Donde: 𝑟 ≥ 0; 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋

Conversion de sistema de coordenadas cilíndricas a sistema de coordenadas cartesianas: 𝑥 = 𝑟 · 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑦 = 𝑟 · 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑧=𝑧

Conversion de sistema de coordenadas cartesianas a sistema de coordenadas cilíndricas: 𝑟 = √𝑥 2 + 𝑦 2

𝑦 arctan ( ) 𝑠𝑖 𝑥 > 0, 𝑦 ≥ 0 𝑥 𝑦 𝜋 + arctan ( ) 𝑠𝑖 𝑥 < 0 𝜃= 𝑥 𝑦 ) 𝑠𝑖 𝑥 > 0 𝑦 < 0 { 2𝜋 + arctan (𝑥 𝑧=𝑧

Coordenadas esféricas En problemas de simetría esférica, podemos utilizar las coordenadas esféricas. Un vector será representado componentes (ρ, θ, ϕ). Donde: 𝑟 ≥ 0; 0 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋; 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋

Conversion de sistema de coordenadas esféricas a sistema de coordenadas cartesianas: 𝑥 = 𝑟 · sin 𝜃 · cos 𝜑

𝑦 = 𝑟 · sin 𝜃 · sin 𝜑 𝑧 = 𝑟 · cos 𝜃

Conversion de sistema de coordenadas cartesianas a sistema de coordenadas esféricas:

𝑟 = √𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2

𝑦 arctan ( ) 𝑠𝑖 𝑥 > 0, 𝑦 ≥ 0 𝑥 𝑦 𝜋 + arctan ( ) 𝑠𝑖 𝑥 < 0 𝜑= 𝑥 𝑦 ) 𝑠𝑖 𝑥 > 0 𝑦 < 0 2𝜋 + arctan ( { 𝑥

Operaciones básicas Para:

𝑧 𝑧 ) = arccos 𝜃 = arccos ( 𝑟 √𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 𝛼, 𝛽 ∈ ℝ

𝑣1 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 · 𝑖 + 𝑦 · 𝑗 + 𝑧 ·󰇍𝑘

Se cumple:

𝑣2 = (𝑥′, 𝑦′, 𝑧′) = 𝑥′ · 𝑖 + 𝑦′ · 𝑗 + 𝑧′ ·󰇍𝑘

1. 𝛼 · 𝑣1 = (𝛼 · 𝑥, 𝛼 · 𝑦, 𝛼 · 𝑧) = 𝛼 · 𝑥 · 𝑖 + 𝛼 · 𝑦 · 𝑗 + 𝛼 · 𝑧 ·󰇍𝑘 2. 0 · 𝑣1 = 0󰇍 3. 𝛼 · 0󰇍 = 󰇍0 4. 1 · 𝑣1 = 𝑣1 5. 𝛼(𝑣1 + 𝑣2 ) = 𝛼 · 𝑣1 + 𝛼 · 𝑣2

6. 𝑣1 +𝑣2 = (𝑥 + 𝑥 ′ , 𝑦 + 𝑦 ′ , 𝑧 + 𝑧 ′ ) 7. 𝑣1 −𝑣2 = (𝑥 − 𝑥 ′ , 𝑦 − 𝑦 ′ , 𝑧 − 𝑧′) 8. |𝑣1 | = √𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2

9. Vector unitario en la dirección 𝑣1 : 𝑢󰇍𝑣1 = |𝑣󰇍1| 𝑣󰇍

1

Producto escalar El producto escalar de 2 vectores 𝑎 = (𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 ) y󰇍𝑏= (𝑏1 , 𝑏2 , 𝑏3 ) es: 𝑎 · 𝑏󰇍 = 𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏2 + 𝑎3 𝑏3

Propiedades:

1. 𝑎 · 𝑎 ≥ 0

󰇍 2. 𝑎 · 𝑎 = 0 ⟺ 𝑎 = 0 3. 𝛼𝑎 · 𝑏󰇍 = 𝛼 (𝑎 ·󰇍𝑏)

4. 𝑎 · 𝑏󰇍 = 󰇍 𝑏 · 𝑎 󰇍 5. 𝑎 · (𝑏+ 𝑐) = 𝑎 · 󰇍𝑏 + 𝑎 · 𝑐

6. |𝑎| = √𝑎 · 𝑎

7. Sea θ el ángulo que forman los vectores a y b. 𝑎 · 𝑏󰇍 = |𝑎 ||󰇍 𝑏| cos 𝜃

El producto vectorial de 2 vectores 𝑎 = (𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 ) y󰇍𝑏= (𝑏1 , 𝑏2 , 𝑏3 ) es: Producto vectorial 𝑖 𝑎 × 𝑏󰇍 = |𝑎1 𝑏1

𝑗 𝑘 󰇍 𝑎2 𝑎3| = (𝑎2 𝑏3 − 𝑎3 𝑏2 )𝑖 + (𝑎3 𝑏1 − 𝑎1 𝑏3 )𝑗 + (𝑎1 𝑏2 − 𝑎2󰇍𝑏1 )𝑘 𝑏2 𝑏3

El vector 𝑎 𝑥 𝑏󰇍 es perpendicular al vector 𝑎 y al vector 𝑏󰇍, el sentido viene definido por la regla de la mano derecha.

Propiedades:

󰇍 × 𝑎) 1. 𝑎 × 𝑏󰇍 = −(𝑏 󰇍 + 𝛾𝑐) = 𝛽 (𝑎 ×󰇍) 2. 𝑎 × (𝛽𝑏 𝑏 + 𝛾(𝑎 × 𝑐)

El operador 𝛁

Sea f un campo escalar 𝑓 = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) se define el gradiente de f como:

Gradiente

En coordenadas cilíndricas:

𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝜕𝑓 󰇍 ∇𝑓 = 𝑔𝑟𝑎𝑑(𝑓) = 𝑖 + 𝑘 𝑗 + 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑦 ∇𝑓 =

En coordenadas esféricas: ∇𝑓 =

𝜕𝑓 1 𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝑒 𝑒 + 𝑒 + 𝜕𝑟 𝑟 𝑟 𝜕𝜃 𝜃 𝜕𝑧 𝑧

1 𝜕𝑓 1 𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝑒𝑟 + 𝑒𝜃 + 𝑒 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝜃 𝑟 · sin 𝜃 𝜕𝜑 𝜑

Gradiente de un vector Sea el campo vectorial 𝐹 = 𝑓𝑥 (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)𝑖 + 𝑓𝑦 (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)𝑗 + 𝑓𝑧 (𝑥, 𝑦, 𝑧,󰇍𝑡)𝑘 el gradiente de vector en coordenadas cartesianas es: 𝜕 𝜕𝑥 𝜕 (𝑓𝑥 ∇𝐹 = 𝜕𝑦 𝜕 ( 𝜕𝑧 )

𝑓𝑦

𝜕𝑓𝑥 𝜕𝑓𝑦 𝜕𝑓𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑓𝑥 𝜕𝑓𝑦 𝜕𝑓𝑧 𝑓𝑧 ) = 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑓𝑥 𝜕𝑓𝑦 𝜕𝑓𝑧 ( 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑧 )

Divergencia Sea un campo vectorial 𝐹 = 𝑓𝑥 (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)𝑖 + 𝑓𝑦 (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)𝑗 + 𝑓𝑧 (𝑥, 𝑦, 𝑧,󰇍𝑡)𝑘 se define la divergencia como: 𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝜕𝑓 ∇ · 𝐹 = 𝑑𝑖𝑣(𝐹 ) = 𝑥+ 𝑦 + 𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑦 𝜕𝑥

En coordenadas cilíndricas, 𝐹 = 𝑓𝑟 (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)𝑒 󰇍󰇍󰇍 𝑟+ 𝑓𝜃 (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)𝑒 󰇍 󰇍 𝜃+ 𝑓𝑧 (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)𝑒 󰇍󰇍󰇍:𝑧

1 𝜕 1 𝜕 𝜕𝑓 𝜕 1 𝜕𝑓𝜃 𝜕𝑓𝑧 ∇ · 𝐹 = 𝑑𝑖𝑣(𝐹 ) = [ (𝑟𝑓𝑟 ) + 𝜃+ (𝑟𝑓𝑧 )] = (𝑟𝑓𝑟 ) + + 𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑧 𝜕𝜃 𝜕𝑧 𝑟𝜕𝑟 𝑟𝜕𝜃 𝜕𝑓𝑟 𝑓𝑟 1 𝜕𝑓𝜃 𝜕𝑓𝑧 = + + + 𝜕𝑧 𝑟 𝑟 𝜕𝜃 𝜕𝑟

En coordenadas esféricas, 𝐹 = 𝑓𝑟 (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)󰇍󰇍𝑒𝑟+ 𝑓𝜃 (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)𝑒 󰇍󰇍󰇍󰇍 𝜃+ 𝑓𝜑 (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)𝑒 󰇍󰇍󰇍󰇍:𝜑

𝜕 𝜕 𝜕 1 ∇ · 𝐹 = 𝑑𝑖𝑣(𝐹 ) = 2 [ (𝑟 2 · sin 𝜃 · 𝑓𝑟 ) + (𝑟 · sin 𝜃 · 𝑓𝜃 ) + (𝑟 · 𝑓𝜑 )] 𝜕𝑟 𝑟 · sin 𝜃 𝜕𝜃 𝜕𝜑 𝜕𝑓 1 𝜕 1 𝜕 1 𝜑 (sin 𝜃 · 𝑓𝜃 ) + = 2 (𝑟 2 𝑓𝑟 ) + 𝑟 sin 𝜃 𝜕𝜑 𝑟 𝜕𝑟 𝑟 sin 𝜃 𝜕𝜃

Sea el tensor 𝑇:

Divergencia de un tensor 𝑇 𝑇 𝑇 𝑇11 𝑇12 𝑇13 𝑇 = ( 21 22 23 ) ⇒ 𝑇31 𝑇32 𝑇33

𝜕𝑇11 𝜕𝑇 𝜕𝑇 𝜕𝑇13 𝜕𝑇23 𝜕𝑇33 𝜕𝑇 𝜕𝑇22 𝜕𝑇32 ∇ · 𝑇 = ( + 21 + 31 ) · 𝑖 + ( 12 ) ·󰇍𝑘 ) · 𝑗 + ( + + + + 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑥

se define el Sea un campo vectorial 𝐹 = 𝑓𝑥 (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)𝑖 + 𝑓𝑦 (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)𝑗 + 𝑓𝑧 (𝑥, 𝑦, 𝑧,󰇍𝑡)𝑘 rotacional como: Rotacional

𝑖 𝑗 𝑘󰇍 𝜕𝑓𝑦 𝜕𝑓𝑥 𝜕𝑓𝑧 𝜕𝑓𝑦 𝜕𝑓𝑥 𝜕𝑓𝑧 𝜕 𝜕 𝜕  ) 󰇍𝑘 ) 𝑗 + ( − =( − ) 𝑖 + ( − ∇ × 𝐹 = 𝑟𝑜𝑡(𝐹 ) =| | 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝑓𝑥 𝑓𝑦 𝑓𝑧

En coordenadas cilíndricas, 𝐹 = 𝑓𝑟 (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)𝑒 󰇍󰇍󰇍𝑟+ 𝑓𝜃 (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)𝑒 󰇍 󰇍 𝜃+ 𝑓𝑧 (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)𝑒 󰇍󰇍󰇍:𝑧

󰇍󰇍󰇍𝑒𝑟 𝑟 · 󰇍󰇍󰇍 𝑒󰇍𝜃 󰇍𝑒󰇍𝑧 1𝜕 𝜕 𝜕 ∇ × 𝐹 = 𝑟𝑜𝑡(𝐹 ) = | | 𝑟𝜕𝑟 𝜕𝑧 𝜕𝜃 𝑓𝑟 𝑟 · 𝑓𝜃 𝑓𝑧 1 𝜕𝑓𝑧 𝜕(𝑟 · 𝑓𝜃 ) 𝜕𝑓𝑧 𝜕𝑓𝑟 1 𝜕(𝑟𝑓𝜃 )𝜕𝑓𝑟 ] 𝑒 − = [ ] 𝑒𝑟 + ( ) 𝑒𝜃 + [ − − 𝜕𝜃 𝑘 𝑟 𝜕𝜃 𝜕𝑧 𝜕𝑟 𝜕𝑧 𝑟 𝜕𝑟

󰇍 󰇍 𝜃+ 𝑓𝜑 (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)𝑒 󰇍󰇍󰇍󰇍 :𝜑 En coordenadas esféricas, 𝐹 = 𝑓𝑟 (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)󰇍󰇍𝑒𝑟+ 𝑓𝜃 (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)𝑒

𝑒󰇍󰇍󰇍𝑟 𝑟 · 𝑒󰇍󰇍𝜃 𝑟 · sin 𝜃 · 𝑒󰇍󰇍󰇍𝜑󰇍 1 𝜕 𝜕 𝜕 ∇ × 𝐹 = 𝑟𝑜𝑡(𝐹 ) = 2 | 𝑟 · sin 𝜃 |𝜕𝑟 𝜕𝜃 𝜕𝜑 𝑓𝑟 𝑟 · 𝑓𝜃 𝑟 · sin 𝜃 · 𝑓𝜑 𝜕𝑓𝑟 1 𝜕 𝜕 𝜕 = 2 − (𝑟 · sin 𝜃 · 𝑓𝜑 )] {[ (𝑟 · sin 𝜃 · 𝑓𝜑 ) − (𝑟 · 𝑓𝜃 )]󰇍󰇍𝑒𝑟+ [ 𝜕𝜑 𝑟 · sin 𝜃 𝜕𝜃 𝜕𝜑 𝜕𝑟 𝜕 𝜕𝑓𝑟 · 𝑟 · 𝑒󰇍󰇍𝜃 + [ (𝑟 · 𝑓𝜃 ) − ] · 𝑟 · sin 𝜃 · 󰇍󰇍󰇍󰇍 𝑒𝜑 } 𝜕𝑟 𝜕𝜃 𝜕(𝑟 · 𝑓𝜃 ) 𝜕 1 [ (𝑟 · sin 𝜃 · 𝑓𝜑 ) − ] 𝑒𝑟 = 2 𝑟 sin 𝜃 𝜕𝜃 𝜕𝜑 1 1 𝜕 𝜕𝑓𝑟 𝜕 𝜕𝑓𝑟 + − (𝑟 · sin 𝜃 · 𝑓𝜑 )] 𝑒𝜃 + [ (𝑟 · 𝑓𝜃 ) − ] 𝑒𝜃 [ 𝜕𝜃 𝑟 sin 𝜃 𝜕𝜑 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝑟

Sea f un campo escalar 𝑓 = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) se define al Laplaciana de f como:

Laplaciana

𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝜕2 𝑓 𝜕2 𝑓 𝜕2 𝑓 + ∇2 𝑓 = ∆𝑓 = ∇ · (∇𝑓) = ∇ · ( 𝑖 + 𝑗 + 𝑘󰇍) = 2 + 𝜕𝑥 𝜕𝑦 2 𝜕𝑧 2 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧

En coordenadas cilíndricas:

𝜕𝑓 2 𝜕𝑧 1 𝜕𝑓 𝜕𝑓 1 𝜕 𝜕𝑓 1 𝜕2 𝑓 𝜕2 𝑓 ∇2 𝑓 = ∆𝑓 = ∇ · (∇𝑓) = ∇ · ( 𝑒𝑟 + 𝑒𝜃 + 𝑒𝑧 ) = · (𝑟 · ) + 2 · ( 2 ) + 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝜃 𝜕𝑧 𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝜃 En coordenadas esféricas: 𝜕𝑓 1 𝜕𝑓 1 𝜕𝑓 𝑒𝜑 ) ∇2 𝑓 = ∆𝑓 = ∇ · (∇𝑓) = ∇ · ( 𝑒𝑟 + 𝑒𝜃 + 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝜃 𝑟 · sin 𝜃 𝜕𝜑 1 𝜕 𝜕𝑓 𝜕 𝜕𝑓 𝜕 1 𝜕𝑓 = 2 · [ (𝑟 2 · sin 𝜃 · ) + (sin 𝜃 · ) + ( · )] 𝜕𝑟 𝜕𝜃 𝑟 · sin 𝜃 𝜕𝑟 𝜕𝜃 𝜕𝜑 sin 𝜃 𝜕𝜑 1 𝜕 𝜕𝑓 1 𝜕 𝜕𝑓 1 𝜕2 𝑓 = 2· (𝑟 2 · ) + 2 · (sin 𝜃 · ) + 2 · 𝜕𝑟 𝜕𝜃 𝑟 𝜕𝑟 𝑟 · sin 𝜃 𝜕𝜃 𝑟 · sin2 𝜃 𝜕𝜑2

Propiedades Algunas identidades comunes en el análisis vectorial: 1. ∇(𝑓 + 𝑔) = ∇𝑓 + ∇𝑔 2. ∇(𝑐 · 𝑓) = 𝑐 · ∇𝑓, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 3. ∇(𝑓 · 𝑔) = 𝑓 · ∇𝑔 + 𝑔 · ∇𝑓 4. ∇ (𝑔) = 𝑓

𝑔·∇𝑓−𝑓·∇𝑔 𝑔2

5. ∇ · (𝑓 + 𝑔) = ∇ · 𝑓 + ∇ · 𝑔 6. ∇× (𝑓 + 𝑔) = ∇× 𝑓 + ∇× 𝑔

7. ∇(𝑓 · 𝑔) = (𝑓 · ∇)𝑔 + (𝑔 · ∇)𝑓 + 𝑓 × ∇× 𝑔 + 𝑔 × ∇× 𝑓 8. ∇ · (𝑓 · 𝑔) = 𝑓 · ∇ · 𝑔 + 𝑔 · ∇𝑓 9. ∇(𝑓 × 𝑔) = 𝑔 · ∇× 𝑓 − 𝑓 · ∇× 𝑔

10. ∇ · (∇× 𝑓) = 0 11. ∇× (𝑓 · 𝑔) = 𝑓 · ∇× 𝑔 + ∇𝑓 × 𝑔 12. ∇× (𝑓 × 𝑔) = 𝑓 · ∇ · 𝑔 − 𝑔 · ∇ · 𝑓 + (𝑔 · ∇)𝑓 − (𝑓 · ∇)𝑔 13. ∇× (∇× 𝑓) = ∇(∇ · 𝑓) − ∇2 𝑓 14. ∇× (∇𝑓) = 0 15. ∇(𝑓 · 𝑓) = 2 · (𝑓 · ∇)𝑓 + 2 · 𝑓 × (∇× 𝑓)

16. ∇2 (𝑓 · 𝑔) = 𝑓 · ∇2 𝑔 + 𝑔 · ∇2 𝑓 + 2(∇𝑓 · ∇𝑔) 17. ∇ · (∇𝑓 × ∇𝑔) = 0 18. ∇ · (𝑓 · ∇𝑔 − 𝑔 · ∇𝑓) = 𝑓 · ∇2 𝑔 − 𝑔 · ∇2 𝑓 × 𝑓) = 𝑓 · (𝑔 ×󰇍ℎ (ℎ ) 19. ℎ󰇍 · (𝑓 × 𝑔) = 𝑔 · 󰇍

· 𝑓) · ∇ · 𝑔 20. ℎ󰇍 · ((𝑓 × ∇× )𝑔) = 󰇍(·(∇ℎ)𝑔) · 𝑓 − 󰇍(ℎ

) · 𝑔 −󰇍ℎ · (𝑓 · 𝑔) 21. 𝑓 × (𝑔 ×󰇍ℎ) = (𝑓 󰇍· ℎ...