Definición De Espacio Vectorial PDF

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Definición De Espacio Vectorial ¿Qué es? En la antigüedad comenzaron a caminar hacia la concepción de los espacios vectoriales con temas como las matrices, los sistemas de ecuaciones lineales y la geometría analítica. Este concepto deriva de la geometría afín de al introducir coordenadas en el espacio tridimensional o el plano. los vectores es un segmento orientado que posee un extremo llamado origen y otro, objetivo. Las aplicaciones de los espacios vectoriales. se encuentran ciertas funciones de compresión de sonido e imágenes, que se basan en las series de Fourier y otros métodos, y la resolución de ecuaciones en derivadas parciales. En la física se aplica un vector. se aplica a una amplia variedad de objetos, principalmente a cantidades que representan magnitudes y dirección, ya sea una fuerza, una velocidad o una distancia. En las matemáticas se aplican los vectores. El término vector también se usa para describir entidades como matrices, polinomios o funciones. Un espacio vectorial es un conjunto no vacío V de objetos. Estos objetos son llamados vectores La suma y el producto por un escalar que están definidos por dos operaciones que son la suma y la multiplicación de un número real y estos están sujetos a 10 axiomas que daremos a conocer más adelante. Axioma: Es una proposición o enunciado tan evidente que es considerado verdadero es decir que no requiere demostración. Existen vectores reales o espacios vectoriales como lo estamos lo vamos a mencionar, pero también existen vectores con magnitudes de números complejos o imaginarios. Los axiomas válidos para los vectores u, v y w en V y los escalares a y B reales. Estos son válidos para todos los vectores que son u, v y w en V y yodos los escalares a y B son números reales. La suma de u + v. Esto se le llama suma de vectores en V La multiplicación au. Esto nos da el producto de un número real en este caso es a por un vector representado por la letra u € V Un escalar es igual a referirnos a números reales. V nos referimos a un espacio vectorial eso es lo que significa la V en todo lo que veremos. Los axiomas validos son:

         

u + v € V la suma de dos vectores identificados previamente nos da la suma de estos vectores en un nuevo vector. U + v = v + u nos dice que es lo mismo suma primero v más u que u más v ambas afirmaciones son ciertas. (u + v) + w = u + (v + w) quiere decir que el producto de u más v más el valor de un vector es lo mismo a decir u más el resultado de v más w. U + 0v = u nos dice que es lo mismo decir que u más un el producto de un vector por un coeficiente de 0 es lo mismo que decir que es igual a u. V + (-v) = 0v aquí nos dice que la suma de dos vectores de la misma magnitud, pero uno con signo diferente es igual a no tener un vector por eso es que nos da 0v. av € v se refiere a que un valor de un número real por un vector es igual a tener V un nuevo espacio vectorial. a (u + v) = au + av. Nos dice que a por el producto de u más v es igual a decir au más av lo ubico diferente es el orden pero se sigue respetando lo mismo que lo anterior. (a + B) v = au + Bv. Dos valores reales por un vector es igual a decir au más Bu. a ( Bv ) = ( aB ) v. Un valor real por el producto de un vector por un valor real es igual a decir dos valores reales por el vector. 1v = v. Un vector cual sea que se multiplique por la unidad siempre será el mismo vector. Ejemplos Ejemplo 1

Hay que afirmar que R3 es un espacio vectorial. De acuerdo con lo anterior podemos decir que este postulado es cierto o afirmativo. Los

espacios Rn, con n≥1n≥1. Estos son los principales ejemplos de espacios vectoriales. Rn son vectores de n (números)-holas de un número real. En Rn, la suma de vectores y el producto por un escalar se definen de la siguiente manera.

Se pueden comprobar las operaciones definidas verifican los axiomas de espacio vectorial.

Ejemplo 2

Ejemplo 3 Llamemos P2 al conjunto de polinomios de grado menor o igual que 2, incluyendo el polinomio nulo. Recordemos la suma de polinomios y la multiplicación por un escalar:

Puede demostrarse que estas operaciones verifican todos los axiomas de espacio vectorial. Un vector nulo en este espacio es el polinomio nulo, es decir el polinomio cuyos coeficientes son todos iguales a cero. Podemos generalizar que para cualquier n≥0, el conjunto Pn de todos los polinomios de grado menor o igual que n (incluyendo el polinomio nulo) es un espacio vectorial. Propiedades de los Espacios Vectoriales Estas propiedades de los axiomas de espacios vectoriales resultan de forma natural.

Propiedad 1

Propiedad 2

Propiedad 3

Propiedad 4

Conclusiones....