Funciones Reales de Variable Vectorial PDF

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Ejercicios resueltos de funciones reales de variable vectorial...

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FUNCIONES REALES DE VARIABLE VECTORIAL Defini ci ón: Es una correspondencia de un conjunto A de vectores de Rn , a un conjunto B de números reales y lo denotamos por f : A ⊆ R n → B ⊆ R , tal que, para cada vector x =(x 1 , x 2 , … , x n )ϵA , existe uno y sólo un elemento f (x ) ϵB . Aquí a los elementos de Rn los veremos cómo vectores y el valor real de la función f se denota por z=f (x 1 , x 2 , … , x n) entonces z=f (x ) .

Rn

R f

x

f (x B

A

Domi ni oyRangodeunaFunci ón Realde Vari abl eVect ori al : Consideremos la función f : Rn → R , el dominio de existencia de la función f, denotaremos por D f , y es el conjunto definido por:

Al rango de la función f denotaremos por Rf

y es el conjunto definido por:

ComoGr aficarl asuper fici emedi ant ecurvasde ni vel : Supongamos que las superficie z=( x , y ) se corta mediante una familia de planos paralelos al plano coordenado XY , que son de la forma z=f (x , y )=k ,(k=0± , ± 2 , … .. , ±n ) cuyas intersecciones son curvas, que la proyectarlo sobre el plano XY ,tiene por ecuación f (x , y )=k , a estas curvas se le FUNCIONES VECTORIAL

REALES

DE

VARIABLE

MATEMÁTICA II

llaman curvas de nivel de la función f en k y al conjunto de curvas de nivel se llama mapeo de contorno .

f :R,

En forma similar para el caso superficies de nivel.

se obtienen

F(x , y , z )=K

llamadas

Oper aci onescon f unci onesdevari asvari abl es Consideremos dos funciones de n variables f , g : Rn → R , con dominios D g , respectivamente entonces definimos las operaciones siguientes:

(f ± g ) ( x ) =f ( x ) ± g ( x ) , ∀x ϵ D f ± g =D f

(f . g ) ( x ) =f ( x ) . g ( x ) , ∀x ϵ D f . g=D f

f (x ) , ∀x ϵ D ( fg ) (x) = g( x)

También tenemos: D gof ={x ϵ D f /

f /g

=D f

Df

y

∩ Dg

∩ Dg

∩ Dg −{

x =0 } g ( x )

f (x1 , x 2 , … , x n) ), donde se tiene: (gof )( x ) =g ( f ( x ) )=g ¿ Rf ∩ D g }

f ( x ) ϵ

Problemas resueltos:

1. Determinar

el

f ( x , y ) =√ 25−x − y 2

dominio

y

rango

de

la

función

2

que representa a una

2

Solución:

Como

z=f ( x , y ) ⇒z=√ 25−x 2− y 2

Luego z es real si 25−x 2− y2 ≥ 0 , entonces circunferencia y el interior de la misma. Luego

2

x + y ≤ 25

D f ={( x , y) ϵ R2 / x 2 + y 2 ≤ 25 } , cuya representación gráfica es:

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Hallando el rango: z=√ 25−x 2− y 2 x 2+ y 2 =25−z 2 ≥0, ∀( x , y ) ϵ R2 .

entonces

2 2 25−z ≥ 0 ⇒z ≤ 25 ⇔−5 ≤ z ≤5 , pero como

2

2

z ≥ 0 ∧ z =25−x − y

2

, de donde

⇒R f ={z ϵ R /0≤ z≤ 5 }

z≥ 0

Realizando la gráfica de la superficie: z=f ( x , y )= √ 25−x 2− y 2 , z ≥ 0

2

2

⇒z =25−x − y

2

, es decir, para z ≥ 0 ,

2 2 2 x + y + z =¿ 25.

Para: y=0, x 2+z 2=¿ 25, es semicircunferencia en el plano xz. x=0, y 2+ z2 =¿ 25, es semicircunferencia en el plano yz. z=0, x 2+ y 2 =¿ 25, es circunferencia en el plano xy.

g ( x) =arccosx , y f(x, y)= 2. Dado función g o f y su dominio.

√ x2 + y 2−16

, encontrar la

Solución:

Calculando el dominio de las funciones g y f donde D g =[ −1,1]

y

D f ={( x , y) ϵ R2 / x 2 + y 2−16 ≥ 0 } Calculando la función g o f es decir:

(gof )( x , y )=g ( f ( x , y ) ) =arccos √ x 2 + y 2−16 FUNCIONES VECTORIAL

REALES

DE

VARIABLE

Calculando el dominio de g o f MATEMÁTICA II

Es decir: 2 D gof ={( x , y ) ϵ R /f ( x , y ) ϵ D g } =

{( x , y ) ϵ R2 /√ x 2+ y 2 −16 ϵ [−1,1] }

¿ {( x , y ) ϵ R /−1 ≤ √ x + y −16 ≤1 } 2

2

2

¿ {( x , y ) ϵ R /0 ≤ x + y −16 ≤ 1 } 2

2

2

2 2 2 ¿ {( x , y ) ϵ R /16 ≤ x + y ≤17 }

3. Hallar las curvas de nivel y hacer la gráfica de esta superficie: z=f ( x , y )=x 2+ y 2 Solución:

Determinaremos las curvas de nivel, haciendo z=k, es decir familias de circunferencias.

x 2+ y 2 =k , que son

4. Hallar y representar gráficamente el dominio de la función: 2 z=f ( x , y )=ln (x + y)

Solución:

La función z=f ( x , y ) está bien definida, si se cumple, x 2+ y >0 , que nos representa la parte del plano por encima de la parábola y=−x 2 . Entonces: F VECTORIAL

RIABLE

D f ={( x , y) ϵ R / x + y >0 } 2

2

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5. Determinar f(x), si

f

y √x 2 + y 2 = y x

()

, x, y >0.

Solución:

Como

f

√

√

√

1 √ u 2+1 = |u| u2

2 2 x x y √x + y x = 1+ 2 = 1+ = , 2 haciendo u= y x y y y ( ) x

()

2

2

Entonces se tiene f ( u) = 1+

Por lo tanto: F ( x)=

√ x 2 +1 |x|

f ( x ) g ( y )−f ( y ) g(x ) g (xy ) f (xy) 3 f ( u) =u , g (u ) =u2

6. Dada la función f ( x , y )= en particular, poner

, hallar

1 f (a , ) , a

Solución:

( )

1 f ( x ) g( y )−f ( y ) g(x ) ⇒f a , = f (x , y )= a g (xy ) f (xy)

f (a ) g

( 1a )−f ( 1a ) g(a) g ( 1) f (1)

() ( ) 2

( )

f a,

1= a

FUNCIONES VECTORIAL

a3

1 1 − 3 a a− 1 a a a a 2−1 = = 2 1 ( 1 )(1) a

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CURVAS Se define como curva a la línea, sea real o imaginaria, que se llega a despegar de la dirección recta sin llegar a crear ningún ángulo. La dirección en este tipo de curva llega a cambiar de forma constante y paulatina. También se emplea el término para referir al tramo curvo que presenta una carretera, camino, vía férrea o circuito automovilístico, o sea, es la curvatura que suele presentar un determinado terreno. TIPOS DE CURVAS Curvas abiertas: Refiere a las curvas donde sus extremos nunca tienen contacto.

Curvas cerradas: Se refiere a aquellas curvas que sus extremos suelen hacer contacto, ya que vuelven al mismo punto de partida. Estas curvas se distinguen por tener una curvatura muy pronunciada, las cuales al transitar deberán de ser tomadas con mucha precaución.

Curvas de indiferencia: Se refiere al conjunto de combinaciones de bienes los cuales llegan a ofrecer al consumidor una misma utilidad. Sobre este tipo de curva el consumidor llega a ser indiferente con relación a cualquier canasta de bienes a la que se enfrente.

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Las curvas regulares: Se caracterizan por tener pendiente negativa, por no seccionarse unas a las otras, y por ser convexas al origen.

Curvas de nivel: Se trata de las líneas que son marcadas en un terreno, la cual crea una trayectoria horizontal sobre el mismo. Esta suele mostrar la intersección del terreno con una superficie de nivel. Estas curvas se pueden dibujar en un plano a la hora de representar intervalos de altura, los cuales llegan a ser equidistantes sobre un plano. Estas curvas se caracterizan por no cruzarse una a las otras, por ser siempre cerradas, por quedar la dirección de máxima pendiente siempre en ángulo recto con relación a la curva de nivel, y por mostrar un declive pronunciado cuando se acercan una a las otras.

Curvas geométricas: Se trata de las curvas que pueden ser construidas a través de arcos, las cuales son trazadas haciendo uso del compás y siguiendo un segmento de puntos. FUNCIONES VECTORIAL

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Estas curvas pueden ser de varios tipos, como son las cónicas, la hélice, espiral, óvalo, ovoide, etc. TIPOS DE CURVAS DE NIVEL Curva de configuración: Estas suelen representar la forma del relieve sin hacer mención a la altitud, pues carecen de soporte para dar medidas precisas. Curva clinográfica: Esta suelen representar el valor medio de todas las pendientes con relación a diversos puntos de un terreno, donde se toma en cuenta las alturas. Curva de depresión: Este tipo de curvas hace uso de líneas pequeñas o discontinuas que llegan a indicar las zonas de depresión topográfica. Curva de pendiente general: Esta llega a señalar la inclinación que tiene el terreno a través de la distancia que presentan las curvas de nivel. Curva maestra: En este tipo de curva sus cotas llegan a ser múltiples de la equidistancia. Tipos de curvas geométricas Ovoide: Tipo de curva que está conformada por dos arcos de circunferencia de la misma medida y con dos que son desiguales. Suele ser plana y cerrada, y siempre muestra un eje de simetría.

Ovalo: Se trata de una curva plana y cerrada, la cual consta de cuatro arcos de circunferencia, los cuales están iguales dos a dos. Estos suelen presentar dos ejes de simetría, los cuales se llaman eje menor, que se trata del eje vertical; y eje mayor, que corresponde al eje horizontal.

Espiral: Se refiere a la curva que se crea con un punto que se mueve de manera uniforme en todo lo largo de una recta, manteniendo su giro en torno a uno de sus extremos. Esta curva al igual que las anteriores es plana y abierta, donde el punto A se mueve hacia el punto B, al mismo tiempo el segmento AB gira en torno al punto A.

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Curvas cónicas: Son las curvas que se forman a través de las secciones producidas por un plano, desde que se corta la superficie que corresponde a un cono recto. Las secciones pueden ser de varios tipos: Sección hiperbólica.

Sección parabólica.

Sección circular.

Sección elíptica.

I nt erpr et aci ón geomét ri cadel aderi vadadeuna f unci ón vect ori al Supongamos que r ( t )

sea el vector posición del punto P y

posición del punto Q, entonces vector secante a la curva C.

r ( t + Δ t ) el vector

PQ se puede considerar como un r ( t + Δ t ) − r (t ) =  z P •

r’(t) Q

r(t) r(t+∆t)

C t y

x

r t

Si

Δ t > 0 el vector 1 1 PQ (r ( t + Δ t ) − r (t )) =  Δt Δt

t+∆t

t

Tiene la misma dirección y sentido que el vector

1  PQ , entonces cuando Δ t → 0 el vector Δ t se aproxima a un vector que está en la recta tangente a la curva C en el punto P. Si Δ t < 0 con un razonamiento

 PQ

similar se llega a la misma conclusión. Por lo que al vector r '( t ) se lo denomina vector tangente a la curva C en el punto P, siempre que r '( t ) exista y r '( t ) ≠ 0 .

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La recta tangente a la curva C en el punto P es la recta que contiene a P y tiene la dirección del vector r '( t ) . También se puede considerar el vector tangente unitario

Fórmula de cálculo de r ´(t) Sea la función vectorial

t ∈I

tal que

T (t ) =

r '( t ) | r ' ( t )|

r (t ) = f ( t ) i + g (t ) j + h (t ) k = ( f (t ) , g ( t ), h ( t ) ) con

f , g y h son funciones derivables en I entonces: r ' (t ) = f ' (t ) i + g ' (t ) j + h '(t ) k = (f ' (t ) , g ' (t ), h ' (t ) )

Demostración:

r ( t + Δ t) − r ( t ) Δt→0 Δ t 1 r '(t )= lim [(f ( t + Δ t ) , g ( t + Δ t ) , h ( t + Δ t ) ) − ( f ( t ) , g (t ) , h ( t ) ] Δt → 0 Δ t 1 r '(t )= lim [ f ( t + Δ t ) − f ( t ) , g ( t + Δ t ) − g ( t ) , h ( t + Δ t ) − h ( t )] Δt→ 0 Δ t f ( t + Δ t)− f ( t ) g ( t + Δ t) − g ( t ) h ( t + Δ t)−h ( t ) , lim , lim r '(t )= lim Δt→ 0 Δ t Δt→ 0 Δ t Δt→ 0 Δ t r '(t )= ( f ' (t ) , g ' (t ) , h ' (t ) ) r '(t ) = lim

(

)

¿Cuándounaf unci ón esdi f er enci abl e? ´x ) es diferenciable en f¿

Una función ´x ) en f¿

´x 0

´x 0 si existen las derivadas parciales de

y además se verifica:

Pl anot angent eyr ect anormalaunasuper fici e DEFINICIÓN DE PLANO TANGENTE Y RECTA NORMAL FUNCIONES VECTORIAL

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Sea F diferenciable en un punto P(xo,yo,zo) de la superficie S dada por F(x,y,z) = 0 tal que ∇F (x o , y o , z o )≠0. 1.- Al plano que pasa por P y es normal a PLANO TANGENTE AS EN P.

∇F (x o , y o , z o )

2.- A la recta que pasa por P y tiene la dirección de lama RECTA NORMAL A S EN P.

se llama

∇F (x o , y o , z o )

se le

TEOREMA.ECUACI ÓN DEL PLANO TANGENTE Si F es diferenciable en tangente

(x o , y o , z o),

A la superficie dada por F(x , y , z )=0 en

entonces una ecuación del plano (x o , y o , z o)

es:

F x(x o , y o , z o )(x−x o)+F y(x o , y o , z o)( y− y o )+F z (x o , y o , z o)(z−z o)=0

Problemas resueltos:

1. Hallar la ecuación del plano tangente al hiperboloide z2 – 2x2 – 2y2 = 12 en el punto (1,-1,4). Solución

z2 – 2x2 – 2y2 = 12 →

z2 – 2x2 – 2y2 – 12 = 0

Definiendo: F(x,y,z) = z 2 – 2x2 – 2y2 – 12 = 0 FUNCIONES VECTORIAL

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• Fx(x,y,z) = - 4x Fx(1,-1,4) = - 4(1) = - 4 • Fy(x,y,z) = - 4y Fy(1,-1,4) = - 4(-1) = 4 • Fz(x,y,z) = 2z Fz(1,-1,4) = 2(4) = 8

Fx(xo,yo,zo)(x-xo) + Fy(xo,yo,zo)(y-yo) + Fz(xo,yo,zo) = 0 Fx(1,-1,4)(x - 1) + Fy(1,-1,4)(y + 1) + Fz(1,-1,4)(z - 4) = 0 - 4(x – 1) + 4(y + 1) + 8(z – 4) = 0 - 4x + 4 + 4y + 4 + 8z – 32 = 0 - 4x + 4y + 8z – 24 = 0

→

x – y – 2z + 6 = 0

Para hallar la ecuación del plano tangente en un punto a una superficie dada por z = f(x,y), se define la función F mediante F(x,y,z) = f(x,y) – z, entonces; la ecuación del plano tangente en el punto (xo,yo,zo) es: fx(xo,yo)(x – xo) + fy(xo,yo)(y – yo) – (z – zo) = 0

2. Hallar la ecuación del plano tangente al paraboloide z = 1 -

1 2 (x +4 y 2) 10

en el punto (1,1,1/2).

Solución

De z = 1 -

1 2 2 (x +4 y ) , se tiene: 10

fx(x,y) =

−x −1 → fx(1,1) = 5 5

fy(x,y) =

−4 −4 y→ fy(1,1) = 5 5

Empleando: fx(xo,yo)(x – xo) + fy(xo,yo)(y – yo) – (z – zo) = 0

( )

−1 4 1 (x−1 ) − ( y−1 )− z − =0 5 5 2 1 3 4 1 1 4 1 4 →− x + − y+ −z + =0→− x− y−z + =0 2 5 5 2 5 5 5 5 FUNCIONES VECTORIAL

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3. Hallar un conjunto de ecuaciones simétricas para la recta normal a la superficie dada por xyz = 12 en el punto (2,-2,3). Solución

• Haciendo: F(x,y,z) = xyz-12 • Gradiente = ∇F ( x , y , z ) =F x ( x , y , z ) i+ F y ( x , y , z ) j+ F z (x , y , z ) k=¿ ¿ yzi + xzj + xyk •

∇F (2 ,−2 ,−3 ) =(-2)(-3)i + (2)(-3)j + (2)(-2)k = 6i – 6j – 4k

• La recta normal en el punto (x o,yo,zo) = (2,-2,-3) tiene números de dirección o directores 6, - 6 y - 4 y el conjunto de ecuaciones simétricas está dada por: x − x o y − y o z−z o = = −6 6 −4 Es importante saber que el gradiente ∇F ( x , y , z ) es normal a la superficie F(x,y,z) = 0 permite resolver diversos problemas relacionados con superficies y curvas en el espacio. 4. Encontrar la recta tangente a la curva de intersección de las superficies: x2 + 2y2 + 2z2 = 20 (elipsoide) y x2 + y2 + z = 4 (paraboloide) en el punto (0,1,3). Solución

• x2 + 2y2 + 2z2 = 20 (elipsoide) Haciendo: E(x,y,z) = x2 + 2y2 + 2z2 – 20 Gradiente = ∇E ( x , y , z )=E x ( x , y , z )i+E y ( x , y , z) j+ E z ( x , y , z) k=¿ = 2xi + 4yj + 4zk ∇E (0,1,3 )=2 (0 ) i+ 4( 1 ) j + 4(3 ) k=0i + 4 j+12 k

• x2 + y2 + z = 4 (paraboloide) Haciendo: P(x,y,z) = x2 + y2 + z – 4 Gradiente = ∇P (x , y , z )=P x ( x , y , z )i +P y ( x , y , z ) j+P z ( x , y , z ) k=¿ = 2xi + 2yj + k ∇P (0,1,3 )=2 (0 ) i+2 ( 1 ) j+k =0 i +2 j +k El producto vectorial de estos dos gradientes es un vector tangente a ambas superficies en el punto (0,1,3). FUNCIONES VECTORIAL

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|

| |

i j k ∇E (0,1,3 ) X ∇P ( 0,1,3 )= 0 4 12 0 2 1

=

|

i j k i j 0 4 12 0 4 0 2 10 2

=

= 4(1)i + 12(0)j +0(2)k – 0(4)k – 2(12)i – 1(0)j= - 20i Por tanto, la recta tangente a la curva de intersección de las dos superficies en el punto (0,1,3) es una recta paralela al eje x y que pasa por el punto (0,1,3).

TEOREMA. El GRADIENTE ES NORMAL A LAS SUPERFICIES NIVEL. Si F es diferenciable en (xo,yo,zo) y ∇F (x o , y o , z o )≠0 , entonces ∇F (x o , y o , z o ) es normal a la superficie de nivel que pasa por ( x o , y o , z o ) .

EJERCICIOS PROPUESTOS

1.- Hallar una ecuación del plano tangente a la superficie z = 25 – x 2 – y2 en el punto (3, 1,15). Resp. 6x + 2y + z = 35

2.- Hallar la ecuación del plano tangente a la superficie z = e x(seny + 1) en el punto π (0, , 2). Resp. 2x – z = -2 2

3.- Hallar una ecuación del plano tangente y hallar ecuaciones simétricas para la recta normal a la superficie xy – z = 0 en el punto (-2,-3,6). x +2 y +3 z −6 = = Resp. 3x + 2y + z = - 6; 1 3 2 FUNCIONES VECTORIAL

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Vect orvel oci dad

Se define la velocidad media como el cociente entre el desplazamiento en un intervalo de tiempo y la duración de dicho intervalo

De la definición se desprende que:  

La velocidad es un vector: posee dirección y sentido, no solo un módulo (por tanto, decir que la velocidad es de 120 km/h es una información incompleta). Posee unidades de distancia dividida por tiempo, que en el sistema internacional serán m/s.

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 

La velocidad media depende del desplazamiento neto entre dos puntos, por tanto en un movimiento cíclico la velocidad media es nula, pues el punto final e inicial coinciden, independientemente de la distancia que se haya recorrido. La velocidad no es igual a espacio partido por tiempo, sino a un desplazamiento dividido por un intervalo, esto es, lo que cuenta no es el valor absoluto de la distancia o la hora que marca el reloj, sino cuánto ha cambiado la posición y cuánto tiempo se ha empleado en realizar dicho desplazamiento.

Velocidad instantánea Definición y propiedades

De forma análoga al caso del movimiento rectilíneo definimos la velocidad instantánea como el límite de la velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero (se reduce a un instante)

Matemáticamente, esto quiere decir que la velocidad instantáne...