Apuntes, leccion 1 - continuidad de funciones reales PDF

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Continuidad de Funciones Reales...

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CONTINUIDAD DE FUNCIONES REALES Funciones reales de una variable real.

Continuidad en un punto. Consideremos una función: f : D ⊆    y a ∈ D. Se dice que la función f es continua en a , si: ∀  0 ∃  0 tal que, si x ∈ D, |x − a|   entonces |fx − fa|   Si además a ∈ D, la definición anterior equivale a lim x→a fx  fa. Es decir, para que f sea continua en un punto a ∈ D ha de existir el límite de la función en a, estar definida en a y coincidir el límite con fa. Si una función no es continua en un punto, se dice que es discontinua en dicho punto.

Tipos de discontinuidad. (i).- Discontinuidad evitable. Una función f : D ⊆    tiene una discontinuidad evitable en el punto a si: ∃ lim x→a fx pero ∄fa, o bien: ∃ lim x→a fx pero lim x→a fx ≠ fa. Observación. Si f tiene una discontinuidad evitable en el punto a, f se puede hacer continua en a con una manipulación adecuada: bien definiendo fa  lim x→a fx si no lo estaba, o bien modificando la definición de f en a haciéndola coincidir con el límite.

(ii).- Discontinuidad no evitable. Una función f : D ⊆    tiene una discontinuidad no evitable en el punto a si ∄ lim x→a fx. Pueden ocurrir tres casos: (a).- lim x→a fx   (b).- ∃ lim x→a  fx y ∃ lim x→a − fx, pero limx→a  fx ≠ lim x→a − fx. (De primera especie o de salto) (c).- Al menos uno de los límites laterales no existe. (De segunda especie o esencial).

Ejemplos 1.- Estudiar la continuidad de fx 

3x−2 x−1

en los puntos x  0 y x  1.

2.- Estudiar, según los valores de p, la continuidad de fx 

x |x|

si x ≠ 0

p

si x  0

en x  0

3.- Estudiar la continuidad de fx 

x sin x1 si x ≠ 0 1

si x  0

en los puntos

x0 y x

Continuidad lateral. Consideremos una función: f : D ⊆    y a ∈ D. Se dice que la función f es continua por la izquierda en a , si:

∃ lim x→a − fx y

lim x→a − fx  fa

Analogamente, se dice que la función f es continua por la derecha en a , si: ∃ lim x→a  fx y

lim x→a  fx  fa

Propiedades de las funciones continuas en un punto. Consideremos dos funciones f : D 1 ⊆    y g : D 2 ⊆    continuas en a ∈ D 1 ∩ D 2 . Entonces: 1.- f  g es continua a. 2.- fg es continua a. 3.- Si ga ≠ 0, se tiene que

f g

es continua en a.

4.- Si f es continua en a y g lo es en fa, se tiene que g ∘ f es continua en a.

Ejemplo. Si fx  3x − 1 y gx  ln x. Estudiar la continuidad de las funciones: f, g, f  g, fg, f g

, g ∘ f, f ∘ g, en los puntos x  2 y x  1.

Continuidad en un conjunto. Consideremos una función: f : D ⊆    y A ⊂ D. Se dice que la función f es

continua en A si lo es en todos sus puntos.

Observación. Si el conjunto A de la definición anterior es un intervalo cerrado a, b, f es continua en a, b si lo es en todos los puntos del interior, es continua por la derecha en a y es continua por la izquierda en b. Ejemplos. 1.- Estudiar la continuidad de fx 

2.- Estudiar la continuidad de fx 

3.- Estudiar la continuidad de fx 

x 2 −1 x−1

5 − x si −1 ≤ x ≤ 2 x 2 − 1 si

2x≤3

x 2 −2x−3 x−3

si x ≠ 3

3

si x  3

4.- Estudiar, según los valores de p, la continuidad de fx 

5.- Estudiar, según los valores de p, la continuidad de fx 

fx 

6.- Estudiar la continuidad, según los valores de p, de sin x1 si x ≠ 0 p

si x  0

x |x|

si x ≠ 0

p

si x  0

1 x

si x ≠ 0

p si x  0

x sin x1 si x ≠ 0

7.- Estudiar la continuidad de fx 

f  g,

1

si x  0

8.- Si fx  3x − 1 y gx  ln x. Estudiar la continuidad de las funciones: f, g, fg,

f g

, g ∘ f, f ∘ g.

Teoremas sobre funciones continuas. Teorema. Sea f una función continua en el punto a. Entonces se verifica que: Si fa ≠ 0 existe un entorno de a en el que f tiene el mismo signo que fa.

Demostración. Por ser f continua en a, lim x→a fx  fa. Lo cual es equivalente a que: ∀  0 ∃  0 tal que, si x ∈ D, |x − a|   entonces |fx − fa|   Tomando:  

fa 2

se tiene para |x − a|   que: |fx − fa| 

fa . 2

Lo que implica que: −

fa 2

 fx − fa 

Si fa  0  fx 

3fa 2

fa 2



fa 2

 fx 

3fa . 2

Luego:

 0 y si fa  0  fx 

fa 2

0

y lo anterior se cumple para |x − a|   ó lo que es lo mismo, para x ∈ a − , a  

Teorema de Bolzano. Sea f una función continua en a, b, tal que fafb  0. Entonces existe un número real c ∈ a, b tal que fc  0.

el punto medio Demostración. Supongamos que fa  0 y fb  0. Sea a 1  ab 2 de a, b. Si fa 1   0 el teorema queda demostrado. Pero supongamos que fa 1   0. Consideramos el intervalo a 1 , b 1   a 1 , b. Llamamos a 2  a 12b 1 al punto medio del intervalo a 1 , b 1 . Si fa 2   0 el teorema queda demostrado. Pero supongamos que fa 2   0. Consideramos el intervalo a 2 , b 2   a 1 , a 2 . Actuando de esta forma reiteradamente se llega a una sucesión de intervalos encajados a n , b n  tales que fa n   0 y fb n   0, además a n − b n  2b−a n . Se obtienen dos sucesiones a n  (creciente y acotada) y b n  (decreciente y acotada)  ∃ limn→ a n  c y ∃ lim n→ b n  c ′ . Por otra parte, como: limn→ a n − b n   lim n→

b−a 2n

 c − c′  0  c  c′.

Veamos por último que fc  0. Para ello veremos que no puede suceder que fc  0, ni que fc  0. Supongamos que fc  0. En este caso debe existir un entorno de c c − , c   en el que la función es positiva. Pero dentro de ese intervalo, para n suficientemente grande, existirá un intervalo a n , b n  en el que todos los valores que toma f son positivos, lo que está en contradicción con que fa n fb n   0. Llegamos a una contradicción análoga si suponemos que fc  0. Por tanto el teorema queda demostrado.

Ejemplo. Probar que todo número real positivo p ∈   − 0, tiene una raíz cuadrada positiva y otra negativa, que difieren en el signo. (Considerar la función fx  x 2 − p )

Teorema del valor intermedio o Propiedad de Darboux. Si f es una función continua en el intervalo cerrado a, b y existen ,  ∈ a, b (con    ) tales que f ≠ f, entonces f toma al menos una vez todos los valores comprendidos entre f y f

Demostración. Se define la función gx  fx − k, siendo k un valor un valor intermedio entre f y f. Es decir; f  k  f ó f  k  f. Supongamos el caso f  k  f, entonces: g  f − k  0 y

g  f − k  0

Como g es continua en a, b y gg  0 (según el teorema de Bolzano) ∃c ∈ a, b tal que: gc  0. Luego: ∃c ∈ a, b tal que: gc  fc − k  0  ∃c ∈ a, b tal que: fc  k Análogo razonamiento se hace para el caso f  k  f.

Teorema de Weierstrass. Si f es continua en a, b, entonces f está acotada en a, b y además toma al menos una vez sus valores extremos.

Ejemplo. Probar que la función fx  xsin x  1 toma el valor 2. En efecto: f− 2   0  2

y

f 2     2

Como f es continua en todo , en particular lo es en −2, 2  , y por tanto se tiene (según la propiedad de Darboux) que ∃c ∈ − 2 , 2  en que fc  2. Para calcular c: csin c  1  2  c sin c  c − 2  0

ecuación que no es algebraica (trascendente) y habría que calcularla numéricamente. Ver la siguiente gráfica:

2 1

-2

2

4

6

-1 -2 -3 -4

Continuidad Uniforme. Consideremos una función: f : D ⊆   . Se dice que la función f es uniformemente continua en B ⊆ D , si: (Condición   :   de continuidad uniforme)

∀  0 ∃  0 tal que, ∀ x 1 , x 2 ∈ B si |x 1 − x 2 |   entonces |fx 1  − fx 2 |  .

Observaciones. 1.- La continuidad uniforme es una propiedad relativa a todo el conjunto B, es decir, es una propiedad global. El  depende sólo de , y no de ningún punto particular del conjunto B. 2.- La función f no es uniformemente continua en B ⊆ D, si se verifica la siguiente condición: Existe un  0  0 tal que, para cada   0 (cualquiera) existen algunos puntos

x 1 , x 2 ∈ B tales que |x 1 − x 2 |   y |fx 1  − fx 2 | ≥  0

3.- Hay funciones que son continuas en todos los puntos del dominio D y sin embargo no son uniformemente continuas en D.

En efecto: consideremos la función fx  x1 en el intervalo 0, 1 . f es continua 0, 1 (trivial), pero veamos que no es uniformemente continua en dicho intervalo. Fijado 1  0  10 para cualquier   0 es posible encontrar un número natural n tal que 10 n1  . Tomamos: x 1 

1 10 n

e x2 

x1 − x2 

1 10 n

1 10 n1

−

1 10 n1

y se tiene que: 

9 10 n1



1 9 10 10 n

 1 101n  

Sin embargo: fx 1  − fx 2   |10 n − 10 n1 |  −9 10n  9 10 n 

1 10

 0

Por tanto, no es uniformemente continua en 0, 1.

Teorema de Heine. Si f : D ⊆    es continua en un compacto, entonces es uniformemente continua en dicho compacto.

Observación. Si f : a, b   es continua , entonces es uniformemente continua en a. b, dado que a, b es un compato en  con la toplogía usual.

Funciones reales de varias variables reales.

Continuidad en un punto. Consideremos una función: f : D ⊆  n   y a ∈ D. Se dice que la función f es continua en a , si: (i).- ∃ fa (ii).- ∃ limx→a fx  l (iii).- fa  l

Observaciones. 1.- Si ∄ fa pero ∃ limx→a fx, la discontinuidad es evitable 2.- Por convenio, se establece que si a es un punto aislado de D entonces f es continua en a.

Ejemplos. 1.- fx, y  x 2  y 3 es continua en 0, 0 2.- fx, y 

3.- fx, y, z 

x 3 y 3 x 2 y 2

tiene una discontinuidad evitable en 0, 0.

sinxyx x 2 1

es continua en 0, 0, 0

Propiedades de las funciones continuas. Todos los conceptos, definiciones y propiedades, vistos al estudiar la continuidad de funciones de una variable son aplicables a las funciones de varias variables. (Tipos de

discontinuidad, continuidad en un conjunto, etc...). De esta manera se tiene que: Si f 1 : D 1 ⊆  n   y a ∈D 1 ∩ D 2 , entonces:

f 2 : D 2 ⊆  n   son funciones continuas en

(i).- f 1  f 2 es continua en a. (ii).- f 1 f 2 es continua en a. (iii).- Si f 2 a ≠ 0, entonces

f1 f2

es continua en a.

Teorema. Consideremos f 1 : D 1 ⊆  m   n y f 2 : D 2 ⊆  n   con Im f 1 ⊆ D 2 . Entonces si f 1 es continua en a y f 2 es continua en f 1 a, se tiene que f 2 ∘ f 1 es continua en a.

Ejemplo. La función fx, y  sinx 2  y 2 , donde: f  f 2 ∘ f 1 , siendo: f 1 : D 1 ⊆  2   definida f 1 x, y  x 2  y 2 f 2 : D 2 ⊆    definida f 2 x  sin x es continua en 0, 0.

Teoremas sobre funciones continuas. Teorema. Consideremos una función: f : D ⊆  n   y a ∈ D. Entonces: Si f es continua

en a y fa ≠ 0, existe Ea tal que ∀x ∈ E ∗ a se tiene que fa fx  0

Teorema de Bolzano. Sea f : D ⊆  n   una función continua en un conjunto conexo K ⊆ D. Si existen x 1 , x 2 ∈ K tales que fx 1 fx 2   0. Entonces existe a ∈ K tal que fa  0.

Teorema del valor intermedio o Propiedad de Darboux. Sea f : D ⊆  n   una función continua en un conjunto conexo K ⊆ D. Si existen x 1 , x 2 ∈ K tales que fx 1   m , fx 2   M y h ∈ K es un valor comprendido entre m y M , entonces ∃a ∈ K tal que fa  h

Teorema de Weierstrass. Sea f : D ⊆  n   una función continua en un conjunto compacto K ⊆ D. Entonces f está acotada en K y además toma al menos una vez sus valores extremos (inferior y superior).

Continuidad según un subconjunto. Sea f : D ⊆  n   , Γ ⊆  n y a ∈ D ∩ Γ. Se dice que f es continua según el subconjunto Γ si: (i)-. ∃ fa (ii).- ∃ limx→a fx  l x∈Γ

(iii).- fa  l

Observaciones. 1.- En el caso de funciones de dos variables se dice que la función z  fx, y es continua en x 0 , y 0  por el "camino" y  x (según dicho subconjunto) si: ∃ limx→x 0 fx, x  fx 0 , y 0  (finito)

2.- Se dice que la función z  fx, y es continua en x 0 , y 0  respecto a la variable x, si: ∃ limx→x 0 fx, y 0   fx 0 , y 0  (finito)

Analogamente se define la continuidad respecto a la variable y.

Ejemplos.

x y2 x 2 y 4

1.- La función fx, y 

0

si x, y ≠ 0, 0

es continua según todas

si x, y  0, 0

las rectas que pasan por 0, 0, es decir, y  mx.

2.- La función fx, y 

x5 x 2 2y

es continua en 0, 1 respecto de la variable x.

Continuidad Uniforme. Consideremos una función: f : D ⊆  n  . Se dice que la función f es

uniformemente continua en B ⊆ D , si:

∀  0 ∃  0 tal que, ∀ x 1 , x 2 ∈ B si ‖ x 1 − x 2 ‖   entonces |fx 1  − fx 2 |  .

Observación. La continuidad uniforme es una propiedad relativa a todo el conjunto B, es decir, es una propiedad global. El  depende sólo de , y no de ningún punto particular del conjunto B.

Teorema de Heine. Si f : D ⊆  n   es continua en un compacto B ⊆ D, entonces es uniformemente continua en dicho compacto.

Problemas propuestos. 1.- Estudiar la continuidad de la función fx, y 

2xy x 2 y 2

Sol. Continua en  2 − 0, 0. En 0, 0 la discontinuidad es no evitable.

2.- Estudiar la continuidad de la función fx, y 

x2 x−1 2 y−1 2

si x, y ≠ 1, 1

0

si x, y  1, 1

x 2 y−1 2 x−1 2 y−1 2

si x, y ≠ 1, 1

2

si x, y  1, 1

Sol. Continua en  − 1, 1. 2

3.- Estudiar la continuidad de la función fx, y  Sol. Continua en  − 1, 1. 2

y−2 2 x−1 2 y−2 2

4.- Estudiar la continuidad de la función fx, y 

si x, y ≠ 1, 2 si x, y  1, 2

0

Comprbar que la función es uniformemente continua en el conjunto A

x, y / 0 ≤ x 2  y 2 ≤ 4 .

Sol. Continua en  2 , y uniformemente continua en el conjunto A.

5.- Estudiar la continuidad de la función fx, y  logcosx 2  y 2  Sol: Continua en: Siendo:

D

x, y / x 2  y 2  h con h ∈ H .

H  0,

 2

1  n∈N ∗  2n , 2

2n3 2



Interpretar la solución gráficamente.

6.- Estudiar la continuidad de la función fx, y  logx 2  y 2 . Sol: Continua en  2 − 0, 0.

7.- Estudiar la continuidad de la función fx, y 

x 3 y 3 x 2 y 2

si x, y ≠ 0, 0

0

si x, y  0, 0

Sol. Continua en  2 8.- La altura en kilómtros de una montaña viene dada por la expresión:

fx, y  4 − x 2 − 0. 5y 2 . con : 0 ≤ x 2  y 2 ≤ 1, donde tanto x como y están dados en kilómetros. Un alpinista escala dicha montaña partiendo del punto 1, 0. Demostrar que en algún momento el alpinista se encuentra a una altura de 3250 metros.

9.- (i).-Estudiar la continuidad de la función fx, y 

A

x2 x 2 y 2

en el conjunto:

x, y / 0  x 2  y 2  1

(ii).- Estudiar la acotación del conjunto fA y determinar si f toma sus valores extremos en A.

10.- Demostrar que la función fx, y 

A

x3 x 2 y 2

es uniformemente continua en:

x, y / 0  x 2  y 2  1

Bibliografía.

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Granero, F. (1995): Cálculo infinitesimal de una y varias variables.McGraw-Hill, Madrid. Granero, F. (1991): Ejercicios y problemas de Cálculo. Tébar Flores, Madrid. Piskunov, N. (1970): Cálculo diferencial e Integral. Montaner y Simon, S.A., Barcelona....