Unidad 3 Funciones vectoriales de una variable real PDF

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Resumen de unidad 3 de calculo vectorial Funciones vectoriales de una variable real. Se anexan algunas aplicaciones de las funciones vectoriales y algunas aplicaciones....

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Tecnológico Nacional de México Instituto Tecnológico de Aguascalientes Departamento Ingeniería Eléctrica Electrónica Ingeniería Eléctrica CALCULO VECTORIAL UNIDAD III Funciones vectoriales de una variable real. Kevin Jair Meza Chávez. Num.Control:19150809 Docente: Jesús Espino Márquez

12 de mayo del 2021

CALCULO VECTORIAL

INDICE INDICE:: 3.1 Definición de función vectorial de una variable real................................................................ 3 Dominio .......................................................................................................................................... 3 Representación grafica ................................................................................................................. 3 3.2 Límites y continuidad.................................................................................................................. 4 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL ............................................................................. 4 CONTINUIDAD ............................................................................................................................ 4 3.3 Derivación de funciones vectoriales. .......................................................................................... 5 Propiedades.................................................................................................................................... 5 3.4 Integración de funciones vectoriales .......................................................................................... 6 Integral indefinida......................................................................................................................... 6 Integral definida. ........................................................................................................................... 6 3.5. Longitud de arco. ....................................................................................................................... 7 3.6 Vector tangente, normal y binormal. ........................................................................................ 8 Vector unitario tangente. .............................................................................................................. 8 Vector normal principal. .............................................................................................................. 8 Vector Binormal. ........................................................................................................................... 8 3.7 Curvatura..................................................................................................................................... 9 APLICACIONES ............................................................................................................................ 10 Vector velocidad, vector aceleración y la rapidez del instante t. ............................................ 10 Movimiento parabólico. .............................................................................................................. 11 Ejercicios. ......................................................................................................................................... 14

UNIDAD III. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL

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3.1 Definición de función vectorial de una variable real. Una función vectorial es una función que transforma un número real en un vector: Donde x(t), y(t) y z(t) son funciones llamadas funciones componentes de variable real del parámetro t. La función vectorial también se puede encontrar representada como 𝑓(𝑡). Por tanto, se llama función vectorial a cualquier función de la forma: 𝑟 (𝑡) = 𝑓(𝑡)𝑖, 𝑔(𝑡) 𝑗 … … … 𝑃𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑟 (𝑡) = 𝑓 (𝑡)𝑖, 𝑔(𝑡)𝑗, z(𝑡)𝑘 … … 𝐸𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜

Dominio El dominio de una función vectorial está dado por la intersección de los dominios de cada una de las funciones componentes, es decir:

Representación grafica La representación gráfica de una función vectorial es aquella curva C que describen los puntos finales de los vectores que forman parte de la función para toda t que pertenece al dominio de la función.

Un punto de la curva C tiene la representación cartesiana (x, y, z) donde: 𝑥 = 𝑓1(𝑡);

𝑦 = 𝑓2(𝑡𝑡);

𝑧 = 𝑓3(𝑡)

Las cuales se llaman ecuaciones paramétricas de C. Al asignar números reales a t se elimina el parámetro y se obtienen ecuaciones cartesianas de C.

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Ejemplo. 𝐹 (𝑡 ) = (𝑐𝑜𝑠 𝑡, 𝑠𝑒𝑛 𝑡 ), 𝑡 ∈ [0, 2𝜋] . En este caso, la trayectoria de F es la circunferencia centrada en (0, 0) de radio 1.

Ejemplo. 𝑟 (𝑡 ) = (𝑡, 3𝑡 ), 𝑡 ∈ ℝ Se expresa también con las ecuaciones paramétricas x = t, y = 3t. La imagen o trayectoria de r es una recta en el plano ℝ2 .

3.2 Límites y continuidad. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL Dada una función vectorial 𝐹 (𝑡) = 𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡), 𝑧(𝑡).

Esto significa que cuando t tiende al valor de a, el vector 𝐹 (𝑡) se acerca más y más al vector ℓ󰇍. Para que exista el límite de la función, debe existir el límite de cada una de las funciones componentes. CONTINUIDAD Sea 𝐹 (𝑡): 𝐴 → ℝ𝑛 y a un punto de acumulación de 𝐴 ⊆ ℝ. Análogamente a la definición utilizada para funciones escalares diremos que 𝐹 (𝑡) es continua en a sí y solo si:

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Teorema: Una función con valores vectoriales r(t) es continua en t = a si y sólo si sus funciones componentes f , g y h son continuas en t = a.

3.3 Derivación de funciones vectoriales. Sea la función vectorial 𝐹 (𝑡) entonces diremos que 𝐹 ′(𝑡) es la derivada de dicha función y se define mediante:

Para valores cualesquiera de t para los que existe el límite. Cuando el límite existe para t = a se dice que 𝐹 (𝑡) es derivable en t = a. Teorema: Sea 𝐹 (𝑡) una función vectorial y supongamos que sus funciones componentes f, g y h son todas derivables para algún valor de t, entonces 𝐹(𝑡) es derivable en ese valor de t y su derivada está dada por:

Propiedades Supongamos que r(t) y s(t) son funciones vectoriales derivables, que f(t) es una función escalar también derivable y que c es un escalar cualquiera, entonces:

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Cuando una función vectorial definida en un intervalo abierto de ℝ es derivable indefinidamente y su primera derivada no es nula, decimos que se trata de una curva regular. El vector 𝑟’(𝑡) o 𝐹 ′(𝑡), cuando existe y es distinto de cero, se llama vector tangente a la curva C en el punto P y el vector ó

es el vector tangente unitario.

Teorema: Sean u, v funciones vectoriales derivables.

3.4 Integración de funciones vectoriales La función vectorial 𝐹 (𝑡) es una antiderivada de la función vectorial 𝑓(𝑡), siempre y cuando: Integral indefinida. Si 𝐹 (𝑡) es cualquier antiderivada de 𝑓(𝑡), la integral indefinida de esta se define como:

; Donde c es un vector constante arbitrario. Integral definida. Para la función vectorial 𝑓(𝑡), se define la integral definida de la misma:

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO INTEGRAL (Regla de Barrow) Supongamos que 𝐹 (𝑡) es una antiderivada de 𝑓(𝑡) en el intervalo [a, b] diremos:

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Teorema: Si C es la gráfica de un función F en un intervalo [a, b] y si 𝐹’ es continua en dicho intervalo, entonces C tiene una longitud L.

3.5. Longitud de arco. Ocasionalmente se expresa la longitud de una curva C por la ecuación:

La fórmula anterior sugiere que si la curva C tiene la representación paramétrica: 𝑥 = 𝐺 (𝑡); 𝑦 = 𝐻(𝑡); 𝑡 ∈ [𝑡1 , 𝑡2 ] L𝑎 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝐿 𝑑𝑒 𝐶 𝑠𝑒 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑟 𝑝𝑜𝑟:

Cuando la ecuación de la curva está dada por una función vectorial la longitud de arco de curva entre dos puntos F(a) y F(b) viene dada por la fórmula:

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3.6 Vector tangente, normal y binormal. Vector unitario tangente. Dada una curva 𝑓(𝑡), el vector unitario tangente T es otra función vectorial asociada a la curva, y está definida por:

Obsérvese que:

Vector normal principal. T es de magnitud constante, por lo tanto 𝑇 · 𝑇′ = 0. Si la dirección es lineal 𝑇’ = 0 . Si 𝑇’ ≠ 0 el vector unitario que tiene la misma dirección que 𝑇’ se llama Normal principal a la curva y se designa por 𝑁(𝑡) . Asi pues 𝑁(𝑡) es una nueva función vectorial asociada a la curva y está dada por la ecuación:

Vector Binormal. El vector binormal es un vector unitario perpendicular a 𝑇(𝑡) y 𝑁(𝑡) definido por: UNIDAD III. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL

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Los tres vectores unitarios T, N y B forman un conjunto de vectores mutuamente ortogonales de orientación derecha llamado Triedo de Frenet.

3.7 Curvatura. En una recta, el vector unitario tangente T no cambia su dirección y por tanto 𝑇’ = 0. Si la curva no es una linea recta, la derivada 𝑇’ mide la tendencia de la tangente a cambiar su dirección. El coeficiente de variación o derivada de la tangente unitaria respecto a la longitud de arco se denomina vector curvatura de la curva. Se designa por 𝑑𝑇 /𝑑𝑠 donde s representa la longitud de arco. La regla de la cadena y la fórmula 𝑠’(𝑡) = ‖𝑓 ‘(𝑡)‖ permite relacionar el vector curvatura 𝑑𝑇 /𝑑𝑠 con la derivada 𝑇’ respecto al tiempo mediante la ecuación:

Y puesto que 𝑇’(𝑡) = ‖𝑇’(𝑡)‖𝑁(𝑡), obtenemos:

Que dice que el vector curvatura tiene la misma dirección que la normal principal 𝑁(𝑡) . El factor de escala que multiplica a 𝑁(𝑡) es un número no negativo llamado curvatura de la curva en t, y se designa por 𝑘(𝑡). Asi la curvatura de 𝑘(𝑡) definida como la longitud de la vector curvatura está dado por la formula siguiente:

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APLICACIONES Muchos de los fenómenos que existen en la naturaleza pueden ser expresados a través de fórmulas o modelos matemáticos de tal forma que si estos fenómenos reúnen las condiciones para expresarse como un vector, entonces su modelo sería una expresión vectorial, de la forma:

Vector velocidad, vector aceleración y la rapidez del instante t.

Ejemplo. Un objeto se mueve a lo largo de la curva plana 𝑟(𝑡) = (𝑡 2 − 4)𝑖 + 𝑡𝑗 a) Dibujar la trayectoria del objeto. b) Encontrar los vectores 𝑣(𝑡) y 𝑎(𝑡) para t=0 y t=2. c) Calcular ‖𝑣(2)‖ y ‖𝑎(2)‖. Solución: a) Las ecuaciones paramétricas son: 𝑥 = 𝑡2 − 4 𝑦=𝑡 → 𝑥 = 𝑦2 − 4 ≈ 𝑦 2 = 𝑥 + 4 Parábola horizontal

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b) 𝑣(𝑡) =

𝑑 𝑟(𝑡) 𝑑𝑡

=

𝑑(𝑡 2 −4) 𝑑𝑡

𝑣(𝑡) = 2𝑡𝑖 + 𝑗

𝑑𝑡

𝑖 + 𝑑𝑡 𝑗

Vector velocidad.

𝑡 = 0;

𝑣(0) = 2(0)𝑖 + 𝑗 = 0

𝑡 = 2;

𝑣(2) = 2(2)𝑖 + 𝑗 = 4𝑖 + 𝑗

𝑎(𝑡) =

𝑑 𝑟(𝑡) 𝑑𝑡

=

𝑑 2𝑡 𝑑𝑡

𝑖 +

𝑑1 𝑗 𝑑𝑡

𝑎(𝑡) = 2𝑖 + 0𝑗 𝑡 = 0;

𝑎(0) = 2𝑖 + 𝑗

𝑡 = 2;

𝑎(2) = 2𝑖 + 𝑗

c) ‖𝑎(2)‖ = √(2)2 + 02 = 2 ‖𝑣(2)‖ = √(4)2 + 12 = √17 rapidez. Movimiento parabólico. Un proyectil de masa m es lanzado al aire con una velocidad inicial 𝑣0 desde una h y un ángulo de lanzamiento 𝜃0 . Cuando se lanza un objeto en presencia solamente de un campo gravitatorio, como el de la tierra, se observa que dicho objeto se eleva, alcanza una determinada altura y cae. Las ecuaciones vectoriales que describen este tipo de movimientos son:

Este movimiento ocurre en un plano y para su estudio se puede descomponer en un movimiento en la dirección horizontal y otro en la dirección vertical. En la dirección horizontal, el movimiento es uniforme con velocidad constante y las ecuaciones que lo describen son:

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Donde 𝑥0 es la componente horizontal de la posición inicial y es la componente horizontal del vector velocidad inicial. En la dirección vertical, el movimiento es uniformemente acelerado, donde la aceleración es debida al campo gravitatorio. Las ecuaciones que lo describen son:

Donde 𝑦0 es la componente vertical de la posición inicial, 𝑣0 𝑦 es la componente vertical de la velocidad inicial y es la componente vertical de la aceleración.

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