Integrales Funciones Vectoriales PDF

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Apuntes de clases de ingeneria en transportes, son utiles para apuntes y despejar algunas dudas que surgen durante el aprendizaje. Entonces resultan sumamente utiles....

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FACULTAD DE CIENCIAS BIOQUÍMICAS Y FARMACÉUTICAS – U.N.R.- 2017 INTEGRALES de FUNCIONES VECTORIALES Introducción:  Sea C una curva suave definida por la función vectorial v : [a ; b]→ 2 , con  v( t)  f ( t ).i  g (t ). j con f e g funciones continuas  t  [a;b], las primitivas (o antiderivadas) de v son funciones vectoriales y la integral indefinida es una familia de funciones vectoriales.   Dado que las funciones componentes de v son funciones escalares, la integral indefinida v de puede obtenerse a partir de las integrales indefinidas de sus funciones componentes. Luego:  v( t ).dt   f (t ).dt .i    g (t ).dt  .j  La integral definida de la función vectorial v en [a;b] es un vector y puede obtenerse integrando cada una de sus funciones componentes y luego evaluando en los extremos. Haciendo extensivos los Teoremas Fundamentales del Cálculo Integral para funciones vectoriales y aplicando a continuación la Regla de Barrow: b

b  v( t ).dt  R(t ) a  R(b )  R (a ) a

 Donde R es una primitiva de v , es decir R´( t )  v (t ) b b

t[a;b]. Reemplazando llegamos a:  R´( t ).dt  R( t ) a  R( b )  R( a ) a

Es decir que el resultado de integrar la razón de cambio instantánea deR cuando t varía desde a hasta b es el cambio total de R para ese mismo intervalo. INTEGRAL de FUNCIONES VECTORIALES – CAMBIO TOTAL * Si r  r ( t )  ( x( t ); y( t )) , es la función de posición de un objeto que se mueve en el plano con t t1 ; t2 , entonces su velocidad es v ( t )  r´( t ) . Por lo tanto, t2 t2 t2 t2 t2 v ( t ). dt r ´( t ). dt ( x ´( t ); y ´( t )). dt ( x ´( t ). dt ;         y´( t ).dt )  t1 t1 t1 t1 t1 ( x ( t2 )  x ( t 1 ); y ( t 2 )  y ( t1 ))  ( x ; y )   r [ t 1 ;t 2 ]

es el “cambio total de posición” ó “desplazamiento total” ( ∆x; ∆y ) entre t1 y t2 Conocida la función velocidad, ¿Se puede determinar cuál es la posición del móvil en cada instante? NO. Falta la condición inicial. 

v ( t ).dt   r´( t ).dt  ( x´( t ); y´( t )).dt  ( 

x´( t )dt ;

y´( t ).dt ) 

( x ( t ) A; y ( t )  B )

Una partícula comienza su movimiento siendo su posición inicialr ( 0 )  ( 1;0 ) con una velocidad v ( t )  ( 2.t ; sen( t )). Determina la velocidad inicial, posición y aceleración en cada instante. 

v ( t ).dt 

r´( t ).dt

( t 2  A ; cos( t )  B )

( 2.t ; sen ( t )).dt  (

A=1;B=1

2 t .dt ;

sen ( t ).dt ) 

r ( t )  ( t 2  1; cos( t )  1 )

1

1) Evaluar las siguientes integrales: 1

a )  r( t ) dt

si r( t )  ( 2t ; t 1 )

b)  r( ) d

si r( )  ( cos  ; sen  )

c)  r( t) dt

si r( t)  ( 5 ; t ; t  1 )

0 

0 8 3

2) Encontrar r(t) si r ' (t)  t 2 i  4 t 3 j - t 2 k

r(0)  j

y

3) Determinar los vectores velocidad y posición de una partícula que tiene la aceleración y la velocidad y posición inicial dadas: a ) a( t) - 10 k

v(0)  ( 1 ; 1 ; - 1 )

b) a ( t )  i  2 j  2 t k c) a ( t) t i  t2 j  cos2 t k

r( 0)  ( 2 ; 3 ; 0 )

v( 0)  0

r(0)  i  k

v(0)  i  k

r(0)  j

4) Una partícula en movimiento comienza con un a posición inicial r(0)  (1;0;0) con una 2 2 velocidad v( t )  ( 2 t  1 ; 3 t - 1 ; t  1 ) Determinar velocidad inicial, posición y aceleración en el tiempo y aceleración inicial.

5) En un laboratorio de biología se cruzan moscas de la fruta (Drosophila melanogaster) con distintas características a fin de estudiar el efecto sobre la progenie. Una de ellas se escapa del frasco donde estaban y se posa en un pizarrón que había en la habitación. Suponiendo situar un sistema de referencia cartesiano ortogonal con origen ubicado en el vértice inferior izquierdo del pizarrón y ejes coordenados conteniendo a dos de los lados del mismo, la mosca estaría inicialmente posada en el punto P(0;5). A partir de esa posición comienza a moverse con velocidad instantánea dada por v( t )  ( 2 ; 8  8.t ) hasta que alcanza el borde inferior del pizarrón, momento en el cual deja de verse. Si el tiempo se mide en minutos y las dimensiones del pizarrón en decímetros: Determinar la función r que describe la posición de la mosca en cada instante

a)

explicitando dominio, ley y codominio. b)

Demostrar que la trayectoria T descripta por la mosca es un arco de parábola.

c)

Hallar el vector desplazamiento en el período de tiempo estudiado.

d)

Graficar la trayectoria de la mosca señalando el sentido de recorrido y el vector desplazamiento hallado en el ítem anterior. Indicar verdadero o falso justificando la respuesta:

e) i)

A los 2 minutos la mosca se hallaba a igual altura que al comienzo del movimiento.

ii)

La mosca tarda 5 minutos en detener su movimiento. 2

iii)

s(  )  (  ; 4.  2  5 ) con 0    5 describe también la trayectoria de la mosca.

6) Según el modelo atómico de Bohr-Rutherford, los electrones giran alrededor del núcleo atómico siguiendo órbitas circulares estables. Si situamos un sistema de referencia cartesiano ortogonal con origen de coordenadas en el centro de la circunferencia recorrida por cada  electrón, la posición de uno de ellos puede definirse por la función vectorial r , con t  0 ,    .  Siendo v ( t )   sen( 2t ), cos( 2t ) la velocidad del electrón en cada instante t y   1  r ( 0 )    , 0  2   a) Hallar la ley de la función r y graficar la trayectoria del electrón señalando el sentido de

recorrido. b) Indicar el tiempo que tarda el electrón en volver a pasar por la posición inicial.   c) Calcular el desplazamiento neto del electrón en el período  0 ,  mediante dos  2

procedimientos diferentes. 7) Una molécula no es una asociación rígida de átomos. Está demostrado que todas las moléculas están en movimiento continuo; por lo tanto un modelo molecular puede ser un sistema en el que los átomos de la molécula se representan con esferas de diferentes masas y los enlaces químicos de la misma con resortes de longitudes variables. En una molécula triatómica heteronuclear, como el ácido hipocloroso (HClO, ver gráfico adjunto a la derecha), el aumento y disminución periódica del ángulo del enlace H-O-Cl produce un cambio continuo en la distancia interatómica entre los átomos de H y Cl. Si situamos la molécula en un sistema de referencia cartesiano ortogonal de manera que: - el “átomo de oxìgeno” (O), simula quedar estático en el origen de coordenadas; - la posición del “átomo de hidrógeno” (H) podría considerarse fija en el punto (-1;0); - la posición del átomo de cloro (Cl) podría describirse por una función vectorial r y la velocidad

con

que

se

mueve

puede

modelizarse

a

través

de

la

función

 v ( t )   sen( t ) , 2. cos( t ).sen( t ) con t  o  . Sabiendo que inicialmente el Cl estaba

ubicado en el punto de coordenadas (1, 1): a) Graficar la situación inicial de la molécula de HClO en un sistema cartesiano apropiado. b) Hallar la función r que modeliza la posición de Cl en cada instante t, indicando ley, dominio y codominio de r . 3

c) Dar una parametrización de la curva C definida por r . d)

Demostrar que la trayectoria descripta por el átomo de Cl es un arco de parábola,

encontrando previamente la ecuación cartesiana de C. e) Graficar la trayectoria del Cl en el gráfico del ítem a. f) Indicar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas y justificar todas tus respuestas:

3 i) En el instante t   , el Cl se está acercando a su posición inicial. 2 ii) El tiempo T empleado en volver a alcanzar la posición inicial es T   iii) En el intervalo 0 , 2  el desplazamiento del Cl es nulo. iv) En el intervalo 0 , 2  la distancia recorrida por el Cl es nula. v) La aceleración del Cl es constante.

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