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FUNCIONES VECTORIALES DEFINICIÓN. Una función cuyo dominio es un conjunto de números reales y cuyo recorrido es un subconjunto del espacio n-dimensional se denomina función vectorial de una variable real. Es decir, una función de la forma

Así,

una

función

vectorial

en

el

espacio

y

en

la

variable

t

, viene dada por ()

()

()

()

Donde ( ) ( ) ( ) son funciones reales en la variable t. Por ejemplo. () (

)

En el espacio n-dimensional ()

〈

(

)

la función vectorial tiene la forma

() () ()

( )〉

Las funciones vectoriales se designarán con letras mayúsculas cursivas tales como F, G, X, Y, etc., o mediante letras minúsculas cursivas negritas f, g, etc. El valor de una función F en t se designa, corrientemente, por F(t). La función vectorial asigna a cada escalar t , un vector del espacio vectorial en el cual esta definida la función, así para la función () (

)

(

)

Cuando t= 2 , () ( () )

()

(

)

()

ESP. DANIEL SAENZ C

Página 1

Cuando t = 4 , () ( () )

(

()

)

() El dominio de una función vectorial es el conjunto de números reales correspondiente a la intersección de los dominios de las funciones que son componentes del vector que define la función así. Ejemplo. () (

)

(

)

Los dominios de las funciones componentes son. () () () luego el dominio de la función vectorial es.

() (

Ejemplo. Sea la función vectorial

)

(

)

Los dominios de las funciones componentes son. () () ()

(

)

(

)

luego el dominio de la función vectorial es.

( ESP. DANIEL SAENZ C

)

(

) Página 2

Para graficar una función vectorial se le asigna valores al parámetro t, y se evalúan las funciones componentes de la función vectorial. Se grafican los vectores resultantes y luego se unen los extremos de los vectores mediante una línea curva.

Por ejemplo, graficar la función vectorial ( ) (

) (

)

Elaboramos una tabla de datos t -4 -3 -2 -1 0 1 2

x -12 -5 0 3 4 3 0

y 0 -3 -4 -3 0 5 12

Ubicamos los vectores en el plano

ESP. DANIEL SAENZ C

Página 3

9.0 8.0 7.0 6.0 5.0 4.0 3.0 2.0 1.0

-13.0-12.0-11.0-10.0-9.0 -8.0 -7.0 -6.0 -5.0 -4.0 -3.0 -2.0 -1.0

1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 11.0 12.0 13.0 -1.0 -2.0 -3.0 -4.0 -5.0 -6.0 -7 0

Unimos los extremos de los vectores mediante una línea curva y se obtiene la grafica de la función vectorial

8.0 7.0 6.0 5.0 4.0 3.0 2.0 1.0

-12.0-11.0-10.0 -9.0 -8.0 -7.0 -6.0 -5.0 -4.0 -3.0 -2.0 -1.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

7.0

8.0

9.0 10.0 11.0 12.0 13.0

-1.0 -2.0 -3.0 -4.0 -5.0 -6.0

ESP. DANIEL SAENZ C

Página 4

Las funciones de la forma ( ) se llama una HELICE CIRCULAR y para graficarla se procede de la siguiente manera. 1) Se grafica el circulo de radia a en el plano xy 2) Se proyecta el cilindro sobre el eje z 3) Sobre las paredes del cilindro se grafica la curva que representa la hélice dependiendo de los valores que va tomando la componente algunas hélices son.

ESP. DANIEL SAENZ C

Página 5

ESP. DANIEL SAENZ C

Página 6

Determine el dominio de las siguientes funciones vectoriales y realice su grafica. 1) ( ) 2) ( ) (

√

j ) (

) (

)

3) ( ) 4) ( ) (

)

(

)

5) ( ) Se pueden realizar las operaciones definidas entre vectores con funciones vectoriales. Dadas las funciones vectoriales F y G y las funciones reales f y g. 1) La suma de las funciones vectoriales F y G , denotada por F + G es la función definida por (

)( )

() ()

2) La Resta de las funciones vectoriales F y G , denotada por F - G es la función definida por (

)( )

() ()

3) El producto punto de las funciones vectoriales F y G , denotada por F · G es la función definida por (

)( )

() ()

4) El producto cruz o vectorial de las funciones vectoriales F y G , denotada por F x G es la función definida por (

)( )

() ()

5) El producto de la función f(t) por la función vectorial F , denotada por

es la función definida por

ESP. DANIEL SAENZ C

Página 7

( )( )

()()

6) La función compuesta función vectorial F y la función g, denotada por F  G es la función definida por ( )( )

( ( ))

Ejemplo dadas las funciones vectoriales () () (

( ) ) ( )

Y la función real: () Encontrar: A) (

)( )

(

)( )

B) ( (

( )

(

)( )

(

( (

( (

(

)( ) )( )

C)

(

)( )

)

(

(

ESP. DANIEL SAENZ C

) (

)

) (

) (

)

) ((

(

)( )

)( ) )( )

) ((

)( )

(

( (

)

)( )

(

() ()

(

() () ) ( ) (

)( )

)

)

)

() ()

) (( ) (

)

) ( )(

)

)

) ( )( )

Página 8

(

)( ) (

D)

(

)( )

)( ) ( )( )

( ( ))

( )( ) ( )( )

ESP. DANIEL SAENZ C

(

( ) )

Página 9

ACTIVIDAD. A) DADAS LAS FUNCIONES VECTORIALES

() (

)

(

) (

)

() (

)

(

) (

)

()

Y las funciones de valores reales

()

Determine a) (

)( )

b) (

)( )

c) (

)( )

d) (

)( ) e) (

)( )

B) DADAS LAS FUNCIONES VECTORIALES

() (

)

(

) (

)

() (

)

(

) (

)

()

Y las funciones de valores reales

()

Determine a) ( ( (

) )( )

)( ) e) (

ESP. DANIEL SAENZ C

b) ((

) )( )

)( ) e) ((

c) ((

) (

) )( )

d)

))( )

Página 10...