Derivadas DE Funciones Vectoriales DE Variable REAL PDF

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Análisis Matemático II DERIVADA DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL Definición. Sea f : I 

una función vectorial, se define su derivada f '(t ) como f '(t )  lim t  0

f ( t   t)  f ( t ) t

siempre que este límite exista. Interpretación geométrica de la derivada de una función vectorial  Supongamos que f ( t ) sea el vector posición del punto P y f ( t   t ) el vector posición del punto Q, entonces f ( t   t )  f ( t)  PQ se puede considerar como un vector secante a la curva C.

1 1  f ( t   t )  f (t)  PQ tiene la misma dirección y sentido t t

 Si t  0 el vector

que el vector PQ , entonces cuando t  0 el vector

1 PQ se aproxima a un vector t

que está en la recta tangente a la curva C en el punto P.  Si t  0 con un razonamiento similar se llega a la misma conclusión. Por lo que al vector f '( t ) se lo denomina vector tangente a la curva C en el punto P, siempre que f '( t ) exista y f '( t )  0 . z P

f’(t) Q

La recta tangente a la curva C en el punto P es la recta que contiene a P y tiene la dirección del vector f '( t ) .

f(t) f(t+∆t)

C(t) y

x

También se puede considerar el vector f '( t ) tangente unitario T (t )  . f '( t )

f t

t+∆t

t

Teorema. Fórmula de cálculo de f '( t ) Sea la función vectorial f ( t)  f1 ( t) i  f2 ( t) j  f3 ( t) k  ( f1 ( t) , f2 ( t), f3 ( t) ) con t I tal que f , g y h son funciones derivables en I entonces: f '( t)  f1 '( t) i  f2 '( t) j  f3 '( t) k  ( f1 '( t) , f2 '( t), f3 '( t) ) Mgt. Mirtha Torres Salguero

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Análisis Matemático II Demostración: f ( t   t)  f ( t )  f '(t )  lim t t 0

1  f1 ( t   t) , f 2 ( t   t) , f3 ( t   t)    f1 ( t) , f2 ( t ) , f3 ( t )   t 0  t 1  lim  f1 ( t   t)  f1 ( t ) , f2 ( t   t)  f2 ( t ) , f3 ( t   t) f3 ( t )   t 0  t  lim

 f ( t   t )  f3 ( t )  f ( t   t )  f1 ( t ) f ( t   t) f2 ( t ) , lim 2 , lim 3   lim 1  t  t 0  t 0 t t   t 0    f 1 '(t ) , f 2 '(t ) , f 3 '(t )  Ejemplo: Sea f (t )   cos t , sen t , t  con t  R , vimos que su representación gráfica es una hélice. f '(t )    sen t , cos t , 1    

f '(0)    sen 0 , cos 0 , 1    0, 1, 1 

f '(0)  1 1   0 , ,  f '(0)  2 2  Las ecuaciones paramétricas de la recta tangente a la hélice en el puntoP (1, 0, 0 ) son T(0 ) 

x 1   y  t con t  R z t 

Reglas de derivación Sean r 1 y r 2 funciones vectoriales derivables, c un escalar y f una función real derivable. Entonces

b.

d r 1 (t ) d r 2 (t ) d r 1 (t )  r 2 (t )   dt dt dt d r1 ( t) d c r 1 ( t)  c dt dt

c.

d dt

d.

d r1 ( t)  r 2 ( t)  dt

a.

e. f.

 





 f ( t)  r (t )   d f ( t)  r (t )  f (t )  d r 1









dt d r 1( t)

1

dt d r 1 (t )

2

(t )

dt

 r 2 (t )  r 1 (t ) 

d r 2 (t )

d r 1( t )  r 2 (t )   r 2 (t )  r 1 (t )  dt dt d r1 ( f (t )) d r 1( f ( t) )   f ' (t ) dt dt



dt dr 2 ( t) dt



Observación. c) “.” indica el producto entre una función real y una función vectorial; en d) “•” indica producto escalar entre funciones vectoriales y en e) “x” es el producto vectorial entre funciones vectoriales. Mgt. Mirtha Torres Salguero

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Análisis Matemático II EJERCICIOS 1) Derivar  F(t) = ( 𝑐𝑜𝑠 2 3𝑡, cos 𝑡𝑠𝑒𝑛𝑡 , ln(3𝑡 + 9))  

F(t) = ( √𝑡 3 − 6𝑡 , 2 , 𝑡𝑎𝑛𝑡) 𝑡 −3𝑡 F(t) = ln(t-1) , 1/ t+2 , sec(πt) 3

1−√𝑡

2) Derivar:

3) Encontrar la ecuación de la recta tangente en cada caso:  X= 4 cost , y = 3sent ; t ∈ [0,2𝜋] en el punto (4, 0 )  F(t) = (tcost ,tsent,t/2π ) en el punto (0, 0 , 0 )  F(t) = ( tcost, 4sent , t2 ) en el punto ( -π, 0 , 𝜋 2 ) 4) Calcule la derivada de la función vectorial.

5) En cada uno de los siguientes ejercicios: i) dibuje la curva representada por la función vectorial ii) dibuje los vectores velocidad y aceleración para el valor de t indicado.

6) Una partícula se mueve a lo largo de la curva f (t)  (t 4 5t;2 t  t 2; t 4  t3) , para t = 2. Hallar la velocidad y la aceleración de la partícula. 7) Sea C una curva de ecuación vectorial f (t )  (1  2t; t 2 ;2 e2(t 1) ) Hallar la ecuación de la recta tangente a C en el punto donde el vector f '(t) es paralelo a f(t). 8) Dados los vectores f (t)  (t; t 2; t 3 ) y g(t)  (1; t;1  t) calcular el coseno del ángulo .g (t ) y Dt  f (t )  g (t )  cuando t = 1, donde formado por los vectores : a t

a

Mgt. Mirtha Torres Salguero

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Análisis Matemático II  t t ) describe la trayectoria de una 9) La imagen de la función vectorial f (t)  (e ; e partícula que se mueve en el plano XY. a) Trace la gráfica de la trayectoria de la partícula. b) Dibuje los vectores velocidad y aceleración para t = 1. c) Halle la ecuación vectorial de la recta tangente a la curva imagen de f en el punto A(e; e -2). 1

2( 1)

10) Sean las curvas C1 y C2 dadas por las funciones vectoriales:  1 t 2  2t  1  t C1 : f (t )   ; 4  t;3  e t1  ; 2t  1;1 e2   y C2 : g( t)    2   2  a) Halle el punto de intersección de las curvas. b) Calcule la medida del ángulo que forman las curvas y en su punto de intersección. 11) Sean las curvas f (t)  (et ; e2 t ;1 e t ), g(t)  (1 t,cos t, sent) . Hallar en el punto de intersección el ángulo de intersección correspondiente. 12) Hallar el punto de intersección de las curvas dadas por: a)

t  f (t )   t ; ; ln t  ; g  3 

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 

;

1  ; ln(t  1) t 1 

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Análisis Matemático II INTEGRACIÓN DE FUNCIONES VECTORIALES Definición.- Una función vectorial F: R → Rn es integrable cuando lo son todas sus componentes, se define: 𝑏

𝑏

𝑏

∫ 𝐹 (𝑡)𝑑𝑡 = (∫ 𝐹1 (𝑡)𝑑𝑡 , 𝑎

∫ 𝐹2 (𝑡)𝑑𝑡 , 𝑎

𝑎

𝑏

∫ 𝐹3 (𝑡)𝑑𝑡, 𝑎

𝑏

… , ∫ 𝐹𝑛 (𝑡)𝑑𝑡 )

PROPIEDADES 𝑏 1. Si F: R → Rn es continua en [𝑎, 𝑏] en tonces existe ∫𝑎 𝐹(𝑡)𝑑𝑡

𝑎

2. Si F: R → Rn es continua en R y g(t) = ∫𝑎 𝐹(𝑢)𝑑𝑢 entonces g es derivable y g’(t)= F(t) ; ∀ 𝑡

t∈ R.

3. Si F: R → Rn tiene derivada continua sobre [𝑎, 𝑏] y si 𝐹 ′ (𝑡) = 𝐹 (𝑡) allí, entonces: 𝑏

∫ 𝐹 (𝑡)𝑑𝑡 = 𝐹󰇍󰇍󰇍(𝑏) − 𝐹 (𝑎)

𝑎

4. Si tanto F como ‖𝐹‖ son integrables en [𝑎, 𝑏] entonces 𝑣

𝑏

‖∫ 𝐹 (𝑡)𝑑𝑡 ‖ ≤ ∫‖𝐹(𝑡)‖ 𝑎

𝑎

Ejemplo. El valor de la integral 𝝅 𝟒

∫(sent, cost, sect)dt = (−cost, sent, ln|sect + tant|]𝟎𝝅/𝟒

𝟎

𝝅 𝟒

= (−

√2 √2 , , ln(√2 + 1) − (−1, 0, 0) 2 2

∴ ∫(sent, cost, sect)dt 𝟎

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= (−

√2 √2 + 1, , ln(√2 + 1) 2 2

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Análisis Matemático II EJERCICIOS Evalúe el valor de cada integral.

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