Funciones de una variable PDF

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Teoria y ejercicios de funciones de una variable...

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LAS FUNCIONES DE UNA VARIABLE. FUNCIÓN LINEAL, POLINÓMICA, EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA. 1.1. FUNCIONES. CARACTERISTICAS GENERALES. 1.2. En el siglo XVII, Leibniz, uno de los inventores del cálculo, introdujo el término función en el vocabulario matemático. El concepto de función es uno de los más básicos en todas las matemáticas y es esencial para el estudio del cálculo. Definición: Una función numérica es una regla que asigna a cada número de entrada exactamente un número de salida. Al conjunto de números de entrada a los cuales se le aplica la regla se le llama dominio de la función. El conjunto de los números de salida es llamado la imagen o el rango de la función. Una variable que representa los números de entrada para una función es llamada variable independiente. La que representa los números de salida es una variable dependiente, ya que su valor depende del valor de la variable independiente. Las funciones se pueden expresar varias formas, las más comunes son: Mediante tablas: Por ejemplo se puede estudiar el crecimiento de la población mundial con el tiempo: Año 1650 1700 1750 1800 1850 1900 1950 1990

Población (millones) 600 700 750 900 1200 1700 2400 6500

La variable independiente sería al año, y la dependiente la población. El dominio de la variable independiente sería todos los valores que toma: 1650, 1700, etc. y el recorrido de la variable independiente serían todos los valores que toma ésta: 600, 700, etc. Como se puede observar hay una relación funcional entre el número de años y el número de habitantes de la Tierra que ya que para cada valor del año solo le corresponde un único valor de la población.

Mediante gráficas. En el ejemplo de antes: 7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000 0 0 1650

1700 1750

1800

1850

190

0 195

1990

Años

Mediante fórmulas . Por ejemplo: la ecuación (o fórmula), y = x + 5 Define a y como función de x. Lo cual dá una regla: Sumar 5 a x. Esta regla asigna a cada entrada x exactamente una salida x + 5, que es y. Así cuando x = 3, y = 8; si x = -7, y = -2; si x = 0, entonces y = 5. La variable independiente es x y la dependiente y. 3 -7 0

y=x+5

-

8 -2 5

En general las letras f, g, h, etc. son usadas para representar reglas de funciones. Por ejemplo, la ecuación anterior ( y = x + 5 ) define a y como una función de x, en donde la regla es sumarle 5 a la entrada. Supongamos que hacemos que f represente a esta regla. Entonces decimos que f es la función. Para indicar que f asigna a la entrada 3 la salida 8, escribimos f(3) = 8, de forma análoga, f(-7) = -2, f(0) = 5. Más generalmente, si x es cualquier entrada, tenemos la notación: f(x), que se lee “f de x”, representa al número de salida en la imagen de f que corresponde al número de entrada x en el dominio Entrada f (x)

Salida

Así la salida f(x) es lo mismo que y. Pero como y = x + 5, podemos escribir y = f(x) = x + 5 o simplemente: f(x) = x + 5 Por ejemplo, para encontrar f (2), que es la salida correspondiente a la entrada 2, reemplazamos con 2 cada x en f(x) = x + 5 f(2) = 2 + 5 = 7 Del mismo modo: f(1) = 1 + 5 = 6 f(-6) = -6 + 5 = -1 Los números de salida tales como f(2), f(1), f(-6) son llamados valores de la función. Estos valores están en la imagen de f. Recordemos que el dominio consiste en todos los números reales para los cuales la regla de la función tenga sentido, o sea, los valores que puede tomar la variable independiente. EJEMPLO 1. Determinación de dominios Encontrar el dominio de las siguientes funciones a)

f (x) =

x 2

x −1 Solución: No podemos dividir por cero, así que debemos encontrar todos los valores de x que hacen que el denominador sea cero. Éstos no pueden ser números de entrada. Entonces igualamos el denominador a cero y resolvemos: 2 2

x − 1 = 0 ⇒ x = 1 ⇒ x = ±1

Entonces, el dominio de f es todos los números reales excepto 1 y –1. En símbolos: Dom f = ℜ − {−1,1} b)

f (x) = 2x − 4

Solución:

2x − 4 es un número real si 2x-4 es mayor o igual que cero. Ya que los valores de la función deben ser números reales, entonces:

2x − 4 ≥ 0 ⇒ 2x ≥ 4 ⇒ x ≥

4

2⇒x≥2

Por lo tanto, Dom f = [ 2,+∞ )

EJEMPLO 2: Determinación del dominio y de valores funcionales

2 Sea g (x) = x − 3x + 2 . Cualquier número real puede ser utilizado como x, de modo que el dominio de g es todos los números reales. a) Encontrar g(2)

2 Solución: Reemplazando cada x por 2 en g (x) = x − 3x + 2 se obtiene 2 g (2) = 2 − 3.2 + 2 = 4 − 6 + 2 = 0 . b) Encontrar g(z)

2 Solución: Reemplazando cada x por z en g (x) = x − 3x + 2 se obtiene 2 g (z) = z − 3.z + 2 . c) Encontrar g(z2)

2 Solución: Reemplazando cada x por z2 en g (x) = x − 3x + 2 se obtiene 2 2 2 4 2 g (z2) = (z ) − 3.(z ) + 2 = z − 3.z + 2 . 1.3. COMBINACIÓN DE FUNCIONES. Existen diferentes formas de combinar dos funciones para crear una nueva función. Supongamos que f y g son funciones dadas por: 2

f (x) = x , g(x) = x + 2

Sumando f(x) y g(x) se obtiene: 2

f (x) + g(x) = x + x + 2

Esta operación define una nueva función llamada suma de f y g, denotada f + g. Su valor funcional en x es f(x)+g(x).Esto es:

2 (f + g )(x) = f(x) + g(x) = x + x + 2 Por ejemplo:

2 (f + g )(2) = 2 + 2 + 2 = 4 + 2 + 2 = 8

En general, para cualesquiera funciones f y g, definimos la suma f+g, la resta f – g, el producto f. g y el cociente f/g como sigue:

(f + g)(x)=f (x)+g (x) (f - g)(x)=f (x) - g (x) (f . g)(x)=f (x) .g (x) f

(x) = f (x)

gg(x) 2 Así para f (x) = x , g(x) = x + 2 , tenemos: 2

(f + g)(x)=f (x)+g (x)= x + x + 2 2 2 (f - g)(x)=f (x) - g (x)= x − (x + 2) = x − x − 2 3 2 2 (f . g)(x)=f (x) .g (x)= x .(x + 2) = x + 2x f (x) = f (x) x para x ≠ −2 = g(x) x + 2 g

Composición También podemos combinar dos funciones aplicando primero una función a un número y después la otra función al resultado

2 Por ejemplo, supongamos f (x) = x , g(x) = x + 1, x = 2. Entonces g(2) = 2+1 = 3. Así, g envía la entrada 2 a la salida 3: g 2 3 Después, hacemos que la salida 3 se convierta en la entrada para f. f(3) = 32 = 9, así que f envía 3 al 9. f 3 9 Aplicando primero g y después f, enviamos el 2 al 9. g f 2 3 9 En general: dado x en el dominio de g, aplicando g a x, obtenemos el número g(x), que debemos suponer está en el dominio de f. Aplicando f a g(x) obtenemos f(g(x)), se lee “f de g de x”. Esta operación de aplicar g y aplicar f al resultado define una función llamada composición denotada por f o g. Esta función asigna al número de entrada x el número de salida f(g(x)).

g x

f g(x)

f(g(x))

fog Definición Si f y g son funciones, la composición de f con g es la función f o g definida por: (f o g)(x) =f(g(x))

2 De f (x) = x , g(x) = x + 1, obtenemos: (f o g)(x) = f(g(x)) = f(x + 1) = (x + 1)2 Por ejemplo: (f o g)(2) = (2 + 1)2 = 9, como vimos anteriormente. De la misma forma definimos: (g o f)(x) =g(f(x)) EJEMPLO 3: Composición Sean f(x) = x y g(x) = 2x+5. Encontrar a) (f o g)(x) b) (g o f)(x) Solución: a) (f o g)(x) = f(g(x)) = f (2x + 5) = 2x + 5 b) (g o f)(x) =g(f(x)) = g ( x ) = 2. x + 5 Nota importante: Por lo general (f o g)(x) ≠ (g o f)(x). Además no confundir f(g(x)) con (fg)(x), que es el producto f(x).g(x). Aquí: f(g(x)) = 2x + 5 f(x).g(x) = x .(2x + 5)

1.3. FUNCION LINEAL. Definición: Una función f es una función lineal si y solo si f(x) puede ser escrita en la forma: f ( x) = m x + b donde m y b son números reales. Dada la forma de las funciones lineales x puede tomar cualquier valor real, en consecuencia el dominio de éstas funciones será el conjunto de todos los reales, en símbolos sería: Dom f = ℜ La representación gráfica de una función lineal corresponde a una recta. Como 2 puntos determinan una recta, para representar gráficamente una función de éste tipo, basta fijar 2 puntos y la recta que pasa por ellos es la recta buscada.

EJEMPLO 4: Gráfico de funciones lineales Graficar las siguientes funciones a) f( x ) = 2x + 1 (m=2 y b=1) b) g( x ) = -3x + 2 (m= -3 y b=2) (m = 0 y b= 5) c) h( x ) = 5 Solución: Para graficar estas funciones construyamos una tabla dando 2 valores cualesquiera a las x y calculando los correspondientes y. x 0 1

f(x)=2x+1 f(0)=2.0+1=1 f(1)=2.1+1=3

Graficamos:

X g(x)= -3x+2 0 g(0)= -3.0+2=2 1 g(1)= -3.1+2=-1

x h(x)=5 0 h(0)=5 1 h(1)=5

• En primer gráfico m > 0 y la recta quedó creciente. En el segundo gráfico m < 0 y la recta quedó decreciente. En el último gráfico m = 0 y la recta quedó paralela al eje x. m determina la inclinación de la recta y por eso se la llama pendiente. • A b se lo llama ordenada al origen, gráficamente puede verse como la distancia al origen del punto en que la recta corta al eje y. En general podemos decir que: El gráfico de una función lineal será: una recta creciente si m > 0 una recta decreciente si m < 0 una recta paralela al eje x si m = 0

Im f = ℜ Im f = {b}

que intersecará al eje de las “y” en el punto ( 0 , b ). EJEMPLO 5: Determinación de una función lineal Hallar la función lineal que verifica: f (1) = 4, f (-3 ) = 2 Solución: Dado que f (x) es lineal ⇒ Será del tipo f (x) = mx + b Usemos los datos: f (1) = m.1 + b = 4 f(-3) = m.(-3) + b = 2 Quedó planteado un sistema donde las incógnitas son los valores de m y b. m.1 + b = 4 m + b = 4 ⇒ Ecuación 1 ⇒ m.( − 3 ) + b = 2 − 3m + b = 2 ⇒ Ecuación 2 Resolvemos este sistema de 2 ecuaciones con dos incógnitas por el método de sustitución. De la ecuación 1 despejo b ⇒ b= 4 - m ⇒ Ecuación 3 Lo reemplazo en la ecuación 2 ⇒ -3m + 4 -m = 2 - 4m = 2 - 4 - 4m = -2 ⇒ m = -2/-4 ⇒ m = ½ (pendiente) Reemplazamos el valor de m hallado en la ecuación 3 y hallamos el valor de b ⇒ b = 4 -1/2 = 7/2

Por lo tanto, la función lineal que pasa por los puntos dados es f(x) =

1

7 2x+ 2

Determinación de la fórmula para pendiente Usaremos el procedimiento utilizado en el ejemplo anterior, pero con datos genéricos. - Datos: f (x1) = y1, f (x2 ) = y2 Dado que f (x) es lineal ⇒ Será del tipo f (x) = mx + b Usemos los datos: f(x1 )= m.x1 + b = y1 f(x2) = m.x2 + b = y2 Quedó planteado un sistema donde las incógnitas son los valores de m y b. mx1 + b = y1 Ecuación 1 m.x2 + b = y2 Ecuación 2 Resolvemos este sistema de 2 ecuaciones con dos incógnitas por el método de sustitución. De la ecuación 1 despejo b b= y1 - mx1 Lo reemplazo en la ecuación 2 ⇒ mx2 + y1 -mx1 = y2 mx2 -mx1 = y2 -y1 m(x2 -x1) = y2 -y1

m=

y −y 1 2

x2 − x1 Fórmula para hallar m EJEMPLO 6: Determinación de una función lineal Hallar la función lineal con pendiente 2 que pasa por f(-2) = 3 Solución: Ya que la función es lineal tiene la forma: f(x) = mx +b La pendiente es 2, de modo que m=2 Así: f(x) = 2x + b Ahora determinamos b. Como f(-2) = 3, en la ecuación anterior reemplazamos x por –2 y resolvemos para b

f (−2) = 2.(−2) + b 3 = −4 + b 3+4=b 7=b La función lineal buscada es f(x) = 2x + 7. EJEMPLO 7: Aplicación de funciones lineales: Unos amigos deciden irse de vacaciones durante 15 días, desean alquilar un auto y disponen de dos opciones: a) La agencia A le cobra $45 por día b) La agencia B le cobra $18 por día más 0.60 por kilómetro recorrido. Escribir para cada opción, la función que expresa el costo del alquiler del auto ( en pesos ) por un recorrido de x kilómetros. Decidir desde que recorrido es más económica la opción A que la B. Solución En primer lugar tenemos que describir la función gasto en cada opción: En la opción A le cobran 45$ por día, sabiendo que estarán 15 días de vacaciones el gasto si eligen esta opción es 45.15$ = 675 $ En la opción B le cobran 18 $ por día mas 0,6 $ por kilómetro recorrido, sabiendo que estarán 15 días de vacaciones el gasto si eligen esta opción es 18.15$ + 0,6 por kilómetro recorrido, o sea, 270$ + 0,6 por kilómetro recorrido Si llamamos x a los kilómetros recorridos entonces: Ga(x) = 675, es el gasto en función de los kilómetros recorridos si eligen la opción A Gb(x) = 270 + 0,6x es el gasto en función de los kilómetros recorridos si eligen la opción B Ahora falta decidir a partir de que recorrido es más económica la opción A que la opción B, entonces: Debo despejar x tal que Ga(x) < Gb(x) 675 < 270 + 0,6x 675 - 270 < 0,6x 405 < 0,6x ⇒ 405/0,6 < x ⇒ 675 < x Por lo tanto, si recorren más de 675 kilómetros es más económica la opción A....