Resolucion Grafica DE Inecuaciones DE UNA Variable PDF

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RESOLUCION GRAFICA DE INECUACIONES DE UNA VARIABLE INECUACION DE UNA CUADRATICA CON UNA RAIZ NOMBRE: NANDO CUELLAR MATERIA: CALCULO I MAT101 FECHA: 30/09/2020

POTOSI- BOLIVIA

INDICE Resumen Introducción Primera Sección -

Números Reales

-

Desigualdad e Inecuaciones Historia

-

Desigualdad

-

Propiedades de la Desigualdad

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Intervalos

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Inecuaciones de Segundo Grado

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Inecuaciones Irracionales

-

Grafico

Segunda Sección -

Metodología y Análisis

-

Solución Analítica

-

Solución Grafica

Conclusiones Bibliografía Anexos

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RESUMEN Resulta fácil llegar a la solución grafica de una inecuación, si respetamos todas las propiedades de cualquier tipo de inecuación. INTRODUCCION La resolución grafica es un método el cual nos permite tener una solución inmediata a cualquier tipo de inecuación, pero para lo cual aprenderemos todas las propiedades de las inecuaciones que se usan para la resolución de inecuaciones ya sea analítica o grafica.

PRIMERA SECCION

NUMEROS REALES. - Los números reales son cualquier número que corresponda a un punto en la recta real y pueden clasificarse en números naturales, enteros, racionales e irracionales. En otras palabras, cualquier número real está comprendido entre menos infinito y más infinito y podemos representarlo en la recta real. Los números reales son todos los números que encontramos más frecuentemente dado que los números complejos no se encuentran de manera accidental, sino que tienen que buscarse expresamente. Los números reales se representan mediante la letra R. DESIGUALDAD E INECUACIONES

HISTORIA. No se sabe exactamente el origen de las inecuaciones, pero se cree que se originaron poco después de las ecuaciones (1700aC. – 1700dC.) debido al surgimiento de un problema en el cual la respuesta podía ser más de una absoluta, sino que podía contener un grupo de números. Una inecuación es una expresión matemática la cual se caracteriza por tener los signos de desigualdad; Siendo una expresión algebraica nos da como resultado un conjunto en el cual la variable independiente puede tomar el valor cualquiera de ese conjunto cumpliendo esta desigualdad

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DESIGUALDAD. – Es la relación que establece que dos cantidades tienen diferente valor, los signos que se utilizan para designar desigualdades son:

¿ que se lee : mayor que ¿ que se lee : menor que

≥ que se lee: mayor igual ≤ que se lee: menor igual Toda cantidad positiva “a” se considera mayor que cero (a > 0) y toda cantidad negativa “b” es menor que cero (b < 0). PROPIEDADES DE LA DESIGUALDAD. – 1) Si a ambos miembros de una desigualdad se suma o se resta una misma cantidad, el sentido de la desigualdad no se altera. Sea:

a> b; tambien :a ± m> b± m

2) Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por una misma cantidad positiva, el sentido de la desigualdad no varía. Sea: a> b; tambien :am > bm 3) Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por una misma cantidad negativa el sentido de la desigualdad se invierte. Sea: a> b; se tiene : am < bm 4) Si se suman miembro a miembro dos o varias desigualdades del mismo sentido, el resultado es una desigualdad del mismo sentido. Sea:

{c>a>bd ; sumando:a+ c >b+d

5) Si se multiplican o dividen miembro a miembro dos o varias desigualdades del mismo sentido, cuyos miembros son positivos, se obtiene una desigualdad del mismo sentido. Sea:

;multiplicando :ac > bd {a>b c>d

6) Si a ambos miembros de una desigualdad se elevan una misma potencia impar, el sentido de la desigualdad no varía. Sea: a>b; setiene : a2 m+1 >b 2 m+1

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7) Si a ambos miembros de una desigualdad se elevan a una misma potencia par, siendo los dos miembros negativos, se obtiene una desigualdad de signo contrario. Sea: a > b; setiene : a2 n < b2 n si : a < 0; bb; setiene : 2m +1√ a> 2 m+1√ b INTERVALOS La relación de orden en los números reales permite definir algunos subconjuntos de números reales que tienen una interpretación geométrica sencilla en la recta real y que se utilizan en las inecuaciones y funciones.

Este intervalo representa todos los números comprendidos entre a y b incluidos a y b. El

[

a ,b ] = a ≤ x ≤ b

intervalo se llama cerrado. Este intervalo representa todos los números comprendidos entre a y b excluidos a y b. El

]

a ,b[ = a < x < b

intervalo se llama abierto. Este intervalo representa todos los números comprendidos entre a y b excluido a e incluido

]

a ,b ] = a < x ≤ b

b. El intervalo se llama abierto a la izquierda. Este intervalo representa todos los números comprendidos entre a y b incluido a y excluido

[

a ,b[ = a ≤ x < b

b. El intervalo se llama abierto a la derecha. Este intervalo representa todos los números mayores o iguales que a y determina un conjunto

[

a ,∞

[

=x≥a

de puntos que se llama semirrecta cerrada. Este intervalo representa todos los números mayores que a y determina un conjunto de

]

a , ∞ =[ x > a

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puntos que se llama semirrecta abierta.

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Este intervalo representa todos los números menores o iguales que a y determina un conjunto

]

− ∞ ,a ] = x ≤ a

de puntos que se llama semirrecta cerrada. Este intervalo representa todos los números menores que a y determina un conjunto de

]

− ∞ ,a [ = x < a

puntos que se llama semirrecta abierta.

INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Una inecuación de segundo grado con una incógnita es cualquier desigualdad que, directamente o mediante transformaciones de equivalencia, se pueden expresar de una de las formas siguientes: ax2+bx+c>0 con a, b y c reales y a≠0. Resolver la inecuación es encontrar el intervalo o intervalos de la recta real donde se verifica la desigualdad. Para su estudio, vamos a distinguir tres casos según sea el discriminante: - DISCRIMINANTE POSITIVO, D>0: cuando b2- 4ac > 0 la ecuación ax2+bx+c=0 tiene dos soluciones reales distintas, x1 y x2, y podemos escribir: ax2+bx+c=a·(x-x1)·(x-x2) Bastará con estudiar el signo de los tres factores para saber el signo del trinomio. -DISCRIMINANTE CERO, D=0: cuando b2- 4ac > 0 la ecuación ax2+bx+c=0 tiene una solución real doble, x1= x2, y podemos escribir: ax2+bx+c=a·(x-x1)2 Como (x-x1)2³ 0, el trinomio tendrá el signo del coeficiente a y será nulo para x = x1. -DISCRIMINANTE NEGATIVO, D 0; en otra ax + by + c < 0 y, por fin, en los puntos de la recta es ax + by + c = 0. Se trata de averiguar cuál de esas zonas (incluida o no la recta, según la desigualdad sea o no estricta) constituye el conjunto de soluciones de la inecuación. METODOLOGIA Y ANALISIS Al interpretar todos estos conceptos llegamos a tener mayor conocimiento sobre las desigualdades e inecuaciones, pero para un mayor entendimiento desarrollaremos un ejercicio en el cual aplicaremos todos los conocimientos adquiridos.

x +2 x +1≤ √ x+1 2

SOLUCION ANALITICA. – Sea:

(x+ 1) ≤ √ x+ 1 2

Haciendo un cambio de variable:

x+ 1≤ u Tenemos:

u4 = √ u2 4

u −u=0

u ( u3−1 ) =0 u=0

;

u3−1 =0

( u−1 ) ( u2 +u+1 ) =0

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u=1 ;u2 +u+1=0 2

u +u+1=0 estaecuacion tiene sol. imaginarias .

por lo tantolas soluciones son :u 1=0 ;u2=1 reemplazando las solucionesen elcambio de variable se tiene :

parau 1=0 :u ≥−1 para u 2=1: u ≤ 0 por lo tantola solucion en la rectareal es : -1

0

[

-1,0 ] = -1 ≤ x ≤ 0

SOLUCION GRAFICA:

x 2+2 x +1≤ √ x+1 Representando como función cada miembro de la inecuación tenemos:

f ( x ) =x 2 +2 x +1 ; g( x ) = √ x +1 Para

f ( x ) =x 2 +2 x +1 su grafica será:

Para:

g ( x) = √ x +1

su grafica será:

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Al graficar las dos funciones en un mismo plano cartesiano tenemos:

Al observar el grafico se ve claramente la intersección en dos puntos B(-1,0) y C(0,1) por lo tanto la solución será:

−1≤ x ≤ 0

Esto nos dice que la solución es desde menos uno hasta cero, además queda comprobado que el segundo miembro de la desigualdad es mayor igual que el primer miembro ya que la gráfica del segundo es superior al del primer miembro.

CONCLUSIONES

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Llegamos a concluir que las propiedades son muy importantes ya que estos nos dan una pauta para poder llegar a una solución posible de una inecuación ya sea teórica o gráfica. BIBLIOGRAFIA Ing. Juan Goñi Galarza., 1993, Algebra la generalización de las matemáticas curso completo de teoría y problemas, Lima, Ex catedrático de la UNI. Juan Bragado Rodríguez, 2019 inecuaciones I.E.S. Historiador Chabás ANEXOS Sitio web https://www.academia.edu/16409581/Inecuaciones

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