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FUNCIONES...

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2/2/2021

Matemática. Guía de ejercicios resueltos / Funciones de una variable

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Determinar el dominio de una función. Representar funciones en diagramas cartesianos, a mano y con sistemas graficadores. Calcular la función inversa de una función. Componer funciones. Distinguir las diferentes funciones por sus gráficas.

Una función es una relación entre dos conjuntos -el de partida y el de llegada– que a cada elemento del conjunto de partida le asigna un único elemento del conjunto de llegada, al que se llamará “imagen”. En esta definición se destacan dos ideas: “cada elemento del conjunto de partida”, es decir, que todos los elementos del conjunto de partida deben tener asignado “un único elemento del conjunto de llegada”, lo que significa que la imagen debe existir y además debe ser única.

¿Por qué se estudian funciones en una carrera económica? Son muchas las situaciones económicas en las que se analiza cómo una variable se relaciona con otra (u otras). En muchas de ellas, se puede hallar un modelo matemático que incluya funciones. La manera más sencilla es utilizando tablas de valores, pero también se pueden expresar con fórmulas. Ejercicio 1 La tarifa de taxi en la Ciudad Autónoma de Buenos Aires es de $27,20 al momento de partir (“bajada de bandera”) más el 10% de esa cifra por cada 200 metros de recorrido, en viajes en horario diurno, sin tiempos de espera y sin salir de la ciudad. Exprese con una tabla la relación entre la tarifa y la cantidad de metros recorridos y represéntela en un diagrama cartesiano (considere múltiplos de 200 metros de recorrido).

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La tabla que se pide es de dos columnas. En la primera se ubican los elementos del “conjunto de partida” y en la segunda los del “conjunto de llegada”. Como la tarifa depende de los metros recorridos, se considerará “conjunto de partida” a la distancia que recorrió el taxi. Pero solo se utilizarán los múltiplos no negativos de 200 metros, porque únicamente allí “cae la ficha” y el “conjunto de llegada” es el de los precios que deberán abonarse.

Distancia recorrida

Precio del taxi

0

27,70

200

30,47

400

33,24

600

36,01

800

38,78

1000

41,55

1200

44,32

1400

47,09

1600

49,86

1800

52,63

2000

55,40

2200

58,17

2400

60,94

2600

63,71

2800

66,48

3000

69,25

Si el taxi recorre una distancia intermedia entre cada uno de estos “renglones” de la tabla, por ejemplo, 550 metros, deberá abonar la tarifa correspondiente a 400 metros, porque todavía “no cayó” la ficha correspondiente a los 600 metros. Gráficamente la situación se representa considerando a los elementos del conjunto de partida en el eje horizontal, y a los del conjunto de llegada en el vertical. Cada punto de la función representa un par ordenado de la tabla. Pero la representación gráfica ofrece mucha más información. Aquí sí puede verse cuánto deberá pagarse por un viaje de 550 metros.

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Como puede apreciarse en el gráfico siguiente, el punto azul corresponde a 550 metros de distancia recorrida y $33,22 que deberán abonarse.

Ejercicio 2 Un banco paga un interés del 15 % por un plazo fijo a 30 días. El mínimo que debe depositarse es de $500. Confeccione una tabla que relacione cuánto se ganará de interés, en función de la cantidad de dinero depositada. Represente en un diagrama cartesiano dicha función. En este ejercicio, el conjunto de partida es el monto del dinero que se deposita y el conjunto de llegada, la cantidad de dinero que se cobrará como interés al finalizar el período de 30 días. Nuevamente, la tabla es de dos columnas. En la primera se eligen los valores arbitrariamente, por eso se llama “variable independiente”. Los números correspondientes a la segunda columna se calculan, y por eso se llama “variable dependiente”. En este ejercicio, debe ser el 15 % de la cifra de la primera columna. Si se llama x a la variable independiente e y a la dependiente: y = x ⋅ 15100 = 0, 15 ⋅ x Resolviendo los cálculos para varias cifras, cada una de las cuales representa cuánto dinero se deposita en el banco, se obtiene la tabla de valores que pide el ejercicio. En este caso, la cantidad de dinero depositado puede ser cualquier valor (a partir del monto mínimo):

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Dinero depositado

Interés a cobrar

500

75

1000

150

1500

225

2000

300

2500

375

3000

450

3500

525

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4000

600

4500

675

5000

750

5500

825

6000

900

6500

975

7000

1050

7500

1125

8000

1200

Para la representación gráfica se consideran los valores calculados en la tabla, pero los intereses no “saltan” (como en el ejercicio 1), sino que van ascendiendo en forma continua. En el gráfico siguiente se destacó, por ejemplo, el punto (1100; 165), que corresponde a un depósito de $1100, que al cabo de 30 días cobrará $165 de interés.

Cuando una relación asigna un único elemento del conjunto de llegada a no todos los elementos del conjunto de partida, se puede definir una función restringiendo el conjunto de partida para considerar únicamente los elementos que sí tienen imagen. Se define así el dominio de una función: el conjunto de los elementos pertenecientes al conjunto de partida que sí tienen imagen. https://static.uvq.edu.ar/mdm/matematica/unidad-1.html

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Ejercicio 3 Encuentre el dominio de la función del ejercicio 2. En este caso, como ya se comentó, se puede depositar cualquier suma, a partir de un mínimo de $500. Por lo tanto, el dominio de esta función es: Dom = [500; + ∞) Ejercicio 4 Determine el dominio de la funciónf(x) = 3x 3 − 3x 2 + 5x − 1 En la función de este ejercicio, la regla de asignación es un polinomio. Cada una de las operaciones tiene siempre un único resultado, para cada valor de la variable independiente x. Por ese motivo, todos los valores reales de la variable x tendrán una imagen única. Es decir, el Dom = R Ejercicio 5 2 Determine el dominio de la función f(x) = x+2x −2x Para que la relación de este ejercicio cumpla con las condiciones requeridas para ser función se debe definir su Dominio, que es el conjunto de números que tienen imagen. Como la regla de asignación es una división entre dos polinomios y no se puede dividir por cero, la variable no puede tomar valores que hagan que el polinomio divisor se anule. Esta condición se puede simbolizar con la fórmula:

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x 2 − 2x ≠ 0

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En el primer miembro de esta desigualdad, se escribió el polinomio del denominador de la función. Ahora, es necesario resolver esta desigualdad para encontrar los valores de x que no pertenecen al Dominio de la función. Para hallar la solución se pueden elegir, por lo menos, dos caminos: factorizando el polinomio, o utilizando la fórmula de la resolvente de la ecuación de segundo grado, también conocida como fórmula de Bhaskara. En este caso, se verán las dos maneras. 1. Factorizando el polinomio En este caso, hay dos términos que comparten un factor: x. “Sacando” ese factor común, se obtiene: x ⋅ (x − 2) ≠ 0 Se expresó, entonces, el polinomio como un producto. Para que un producto no sea igual a cero, no deberán ser 0 ninguno de los factores. x ≠ 0yx−2 ≠ 0 De la segunda expresión se despeja x: x≠2 Por lo tanto, hay dos valores que deben extraerse del conjunto de los números reales para definir el Dominio: Dom = R − {0; 2}

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Los valores que se extraen del conjunto ℜ se escriben entre llaves, para indicar que se trata de una diferencia entre dos conjuntos: el de los reales y el que tiene dos elementos, en este caso, el 0 y el 2.

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2. Utilizando la fórmula de la resolvente de la ecuación de segundogrado.

En se puede consultar qué son y cómo se resuelven las ecuaciones de segundo grado.

En la ecuación x 2 − 2x ≠ 0 se deben distinguir los números a, b y c. a = 1 ya que hay una x2 b = - 2 porque x aparece multiplicada por este valor. Como no hay un término independiente, c = 0. Estos valores se reemplazan en la fórmula de la resolvente: x = −b ±

√b 2 − 4ac2a

x = −( − 2) ±

√( − 2)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 02 ⋅ 1 = 2 ± √42

Resolviendo esta última expresión, se obtienen dos valores: x = 0 y x = 2 que son los que hay que extraer del conjunto de los números reales, ya que ambos anulan al denominador.

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Por lo tanto, se llega al mismo resultado que en 1): Dom = R − {0; 2}

Generalizando lo realizado hasta aquí, se puede decir que cuando se busca el dominio de una función cuya regla de asignación es una división, del conjunto de los números reales se deben extraer aquellos valores de x que anulan el denominador, porque ellos no tendrían imagen. https://static.uvq.edu.ar/mdm/matematica/unidad-1.html

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Ejercicio 6 Determine el dominio de la función f(x) = ln (2x 2 + 4x − 16) En este caso, la regla de asignación es un logaritmo natural. Es decir:

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si f(x) = ln (2x 2 + 4x − 16) , entonces, e f(x) = 2x 2 + 4x − 16 por la definición de logaritmo natural.

Para más información sobre los logaritmos naturales, se puede consultar:

Como 2x 2 + 4x − 16 es una potencia de e, su resultado debe ser positivo. Por lo tanto, al buscar el dominio de esta función, se deberán considerar todos los valores de x que hagan positivo el resultado de ese cálculo. En símbolos: 2x 2 + 4x − 16 > 0 Para resolver esta inecuación, se factoriza el polinomio. En general, un polinomio de grado dos, puede factorizarse de la siguiente manera: a ⋅ x 2 + b ⋅ x + c = a ⋅ (x − x 1) ⋅ (x − x 2)

(1)

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En la que x1 y x2 son las raíces del polinomio.

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En “Trinomio de segundo grado” hay ejemplos resueltos de este tema.

Utilizando la fórmula de la resolvente de la ecuación de segundo grado, se encuentran las raíces x1 y x2. En este ejercicio, es a = 2, b = 4 y c = -16. x = −b ±

√b 2 − 4ac2a

x = −4 ±

√42 − 4 ⋅ 2 ⋅ ( − 16)2 ⋅ 2 = − 4 ± √16 + 1284 = −4 ± 124

De donde se obtienen x1 = 2 y x2 = -4. Reemplazando estos valores en la fórmula (1), queda: 2x 2 + 4x − 16 = 2 ⋅ (x − 2) ⋅ [x − ( − 4)] = 2 ⋅ (x − 2) ⋅ (x + 4) Y esta última expresión deberá ser mayor a cero: 2 ⋅ (x − 2) ⋅ (x + 4) > 0 Se tiene, entonces, una multiplicación cuyo resultado es mayor a cero. ¿Cuándo es mayor a cero el resultado de una multiplicación entre dos factores? Recordando la “regla de los signos”, se obtiene la respuesta: cuando ambos factores son positivos o ambos negativos. Por lo tanto, se tienen dos alternativas: 1. Cuando ambos factores son positivos: x - 2 > 0 y también x + 4 > 0. De la primera inecuación, deberá ser x > 2 y de la segunda, x > -4. Representando estas situaciones en una recta numérica, se observa que suceden ambas condiciones a la vez cuando x > 2:

Entonces, el intervalo de números reales (2; + ∞) está incluido en el dominio. 2. Cuando ambos factores son negativos: x - 2 < 0 y también x + 4 < 0. De la primera inecuación, deberá ser x < 2 y de la segunda, x < -4. Representando estas situaciones en una recta numérica, se observa que suceden ambas a la vez cuando x < -4:

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Entonces, el intervalo de números reales ( − ∞; − 4) está incluido en el dominio. Por lo tanto, de 1) y 2), se deduce que el dominio de esta función es: Dom = ( − ∞; − 4) ∪ (2; + ∞)

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Este dominio se expresó como una unión entre intervalos de números reales. También se puede expresar como Dom = ℜ − [ − 4; 2], es decir, del conjunto de los números reales se resta el intervalo cerrado de reales [-4;2].

KEjercicio propuesto I

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Generalizando este resultado, se puede afirmar que el dominio de una función logarítmica es el conjunto de números reales que hace positivo el argumento del logaritmo.

Determine el dominio de las siguientes funciones: 3 2 a. g(x) = 2x+1x −x −2x b. h(x) = + √3x − 6 Respuestas: a. Dom = ℜ − { − 1; 0; 2} b. En este caso, la regla de asignación de la función es una raíz cuadrada, para poder calcularla, su argumento deberá ser positivo o nulo. Por eso, el Dom = [2; + ∞].

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En el profesor colombiano Julio Ríos Gallego explica este tema. En todos sus videos desarrolla contenidos que pueden resultar muy útiles en el estudio de esta materia. Son muy claros y, aunque a veces utiliza una terminología diferente a la de este curso, son para recomendar.

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Ejercicio 7 Dadas las funciones f(x) = 2x 2 + 3x − 1 y g(x) = 4x − 1 se pide que encuentre: a. f (3) = b. g (4) = c. (gof) (x) = d. (fog) (x) = Las dos primeras partes se resuelven de manera muy sencilla, reemplazando la x por la cifra correspondiente y resolviendo los cálculos: a. f (3) = 2 · 32 + 3 · 3 - 1 = 2 · 9 + 9 - 1 = 18 + 9 - 1 = 26 b. g (4) = 4 · 4 - 1 = 16 - 1 = 15 Las partes c) y d) corresponden a composición de funciones. c. Se puede pensar a la composición de funciones como una línea de producción, en la que la materia prima pasa sucesivamente por dos máquinas:

A cada una de esas máquinas se las puede pensar como funciones. Entra “materia prima” que en el caso de las funciones es x. Cuando esa materia prima “sale” de la primera máquina, ya no es lo mismo... ahora es f (x), es decir, el número que se obtiene al hacer la cuenta f con el número x. Esto es lo que entra en la segunda máquina como “materia prima procesada”. Ahora, en la “máquina” g no entra x, sino f (x). Y lo que de ella sale es (gof) (x) = g [f (x)].

En este ejercicio es: (gof) (x) = g [f (x)] = g [2x2 + 3x - 1] https://static.uvq.edu.ar/mdm/matematica/unidad-1.html

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La “máquina” g, en este ejercicio, multiplica por 4 y resta 1 a lo que “entra” en ella. Por lo tanto, será: (gof) (x) = g [2x2 + 3x - 1] = 4 · (2x2 + 3x - 1) - 1 Solo resta distribuir y hacer cuentas: (gof) (x) = 8x2 + 12x - 4 - 1 = 8x2 + 12x - 5 es la respuesta correspondiente a c) d. Aquí, la composición es en orden inverso:

Por lo tanto, será: (fog)(x) = f[g(x)] = f[4x − 1] En la “máquina” f de este ejercicio, la “materia prima” aparece en dos términos, por lo que se reemplaza en esos dos términos el resultado de la cuenta obtenida por g: (fog)(x) = f[4x − 1] = 2 ⋅ (4x − 1) 2 + 3 ⋅ (4x − 1) − 1 Falta hacer las cuentas indicadas. En el primer término, es importante recordar cómo resolver el cuadrado de un binomio. En los siguientes pasos se distribuye y se suman los términos semejantes: (fog)(x) = 2 ⋅ (16x 2 − 8x + 1) + 12x − 3 − 1 (fog)(x) = 32x 2 − 16x + 2 + 12x − 4 Esta es la fórmula buscada. En este ejercicio no se pide que se calculen los dominios de (gof) (x) y (fog) (x). Pero como se trata de funciones polinómicas, en ambos casos, el dominio es ℜ.

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(fog) (x) = 32x2 - 4x - 2

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Ejercicio 8 A un comerciante le facturaron $400 por una caja de 10 botellas de aceite comestible. Si desea cobrar un 15 % de mark up (o margen de comercialización, que es lo que quiere ganar el comerciante), y debe pagar 21 % de IVA sobre todo el costo, calcule el precio de venta que ofrecerá a sus clientes. Desarrolle una fórmula para calcular lo mismo para otro producto con otro precio y diferente cantidad de unidades por paquete. En este caso, se puede considerar una composición de tres funciones porque son tres los pasos a seguir para encontrar el precio de venta: 1. cálculo del precio unitario que el comerciante abonó. 2. cálculo costo total, incluido el margen de comercialización 3. cálculo del precio, incluido el impuesto. Si llamamos x al precio de la caja que contiene n unidades, el primer paso se puede calcular de la siguiente manera: f(x) = xn https://static.uvq.edu.ar/mdm/matematica/unidad-1.html

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El segundo paso consiste en sumar el 15 % al precio de compra. Si llamamos x al precio de compra, el costo total sería:

(

)

g(x) = x + 15100 ⋅ x = x ⋅ 1 + 15100

= x ⋅ 1, 15 = 1, 15 ⋅ x

En el último paso se suma el impuesto al costo total. Si llamamos x al costo total, será:

(

)

h(x) = x + 21100 ⋅ x = x ⋅ 1 + 21100

= x ⋅ 1, 21 = 1, 21 ⋅ x

Falta ahora “componer” estas funciones

[ ( )] (

(hogof)(x) = h[(gof)](x) = h{g[f(x)]} = h g xn

)

= h 1, 15 ⋅ xn

(

)

= 1, 21 ⋅ 1, 15 ⋅ xn

Como la multiplicación es asociativa, esta última cuenta se puede calcular así:

(

)

1, 21 ⋅ 1, 15 ⋅ xn

()

= (1, 21 ⋅ 1, 15) ⋅ xn

= 1, 3915 ⋅ xn

Por lo tanto, la expresión que permite calcular el precio de venta al público que ofrece el comerciante conociendo el precio x del mayorista por una caja de n productos es: (hogof)(x) = 1, 3915 ⋅ xn En el caso particular del aceite comestible, por el que...