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PES: Grado en ADE + Grado en Derecho. Curso 2018-2019 MATEMÁTICAS PARA LA EMPRESA I (2350) Tema 2: Optimización de funciones de una variable 1. Crecimiento y decrecimiento de una función derivable 2. Máximos y mínimos relativos. Condición de primer orden. Condición de segundo orden 3. Concavidad y convexidad de una función derivable 4. Máximos y mínimos globales. Teorema de Weierstrass para funciones de una variable. Teorema de optimización de funciones cóncavas Apéndice: Esbozo de la gráfica de una función

RESUMEN DE TEORÍA Nada ocurre en el mundo que no signifique un máximo o un mínimo. L. Euler (1707-1783)

1. Crecimiento y decrecimiento de una función derivable Definiciones (funciones crecientes y decrecientes)  Una función continua y  f ( x ) es (estrictamente) creciente en un intervalo de cualquier tipo I si para puntos x , y  I se verifica que x  y  f (x)  f (y ) .  Una función continua y  f ( x ) es (estrictamente) decreciente en un intervalo de cualquier tipo I si para puntos x , y  I se verifica que x  y  f (x)  f (y ) .

Criterio de crecimiento para funciones derivables Sea y  f ( x ) una función derivable en un intervalo abierto I . Entonces: 1. f ' ( x )  0 en todos los puntos x  I  la función y  f ( x ) es creciente en I .

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2. f ' ( x )  0 en todos los puntos x  I  la función y  f ( x ) es decreciente en I.

Definición de punto crítico Los puntos donde la derivada de una función y  f ( x ) es cero se llaman puntos críticos Por tanto, los puntos críticos de una función se calculan resolviendo la ecuación f'( x) 0.

Pasos a seguir para estudiar el crecimiento de una función derivable Paso 1. Se calculan los puntos críticos de la función y  f ( x ). Paso 2. El dominio de la función se divide en intervalos abiertos donde permanece constante el signo de f ' ( x ) . Paso 3. Se halla el signo de f ' ( x ) en cada uno de los intervalos abiertos mediante un valor de prueba. Entonces, si en el valor de prueba f ' ( x )  0 , la función es creciente en el intervalo abierto y si f ' ( x )  0 , la función es decreciente.

2. Máximos y mínimos relativos. Condición de primer orden. Condición de segundo orden Definiciones (optimalidad local)

 Una función continua y  f ( x ) tiene un máximo relativo o máximo local en un punto x 0 cuando para puntos x próximos a x 0 se verifica que f ( x0 )  f ( x ) .  Una función continua y  f ( x ) tiene un mínimo relativo o mínimo local en un punto x 0 cuando para puntos x próximos a x 0 se verifica que f ( x0 )  f ( x ) .

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A los máximos y mínimos relativos o locales de una función se les denomina genéricamente extremos (u óptimos) relativos o extremos (u óptimos) locales. Condición de 1er orden

Si una función derivable y  f ( x ) tiene un extremo local en un punto x 0 , entonces x 0 es un punto crítico

Criterio de la primera derivada para extremos locales Sea x0 un punto crítico de una función derivable y  f ( x ) . Entonces: 1. Si f ' ( x )  0 en puntos x próximos por la izquierda a x0 y f ' ( x )  0 en puntos

x próximos por la derecha a x 0  la función tiene un máximo relativo en x0 . 2. Si f ' ( x )  0 en puntos x próximos por la izquierda a x0 y f ' ( x )  0 en puntos

x próximos por la derecha a x 0  la función tiene un mínimo relativo en x 0 . 3. Si f ' ( x ) tiene el mismo signo a ambos lados del punto x 0 para puntos x próximos a x0  la función no tiene extremo relativo en x 0 . Condición de 2o orden para la optimalidad local Sea x0 un punto crítico de una función y  f ( x ) derivable dos veces. Entonces: 1. Si f ' ' ( x0 )  0  la función tiene un máximo relativo en x 0 . 2. Si f ' ' ( x0 )  0  la función tiene un mínimo relativo en x 0 .

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3. Concavidad y convexidad de una función derivable Definiciones (funciones cóncavas y convexas)  Una función continua y  f ( x ) es convexa (o cóncava hacia arriba) en un intervalo de cualquier tipo I si el segmento que une dos puntos cualesquiera de la gráfica de la función está por encima de la gráfica.  Una función continua y  f ( x ) es cóncava (o cóncava hacia abajo) en un intervalo de cualquier tipo I si el segmento que une dos puntos cualesquiera de la gráfica de la función está por debajo de la gráfica.  Un punto de inflexión es un punto x0  Dom ( f ) donde una función derivable y  f ( x ) cambia de concavidad.

Criterio de concavidad para funciones derivables Sea y  f ( x ) una función derivable (dos veces) en un intervalo abierto I . Entonces: 1. Si f ' ' ( x )  0 en todos los puntos x  I  la función y  f ( x ) es convexa (cóncava hacia arriba) en I . 2. Si f ' ' ( x )  0 en todos los puntos x  I  la función y  f ( x ) es cóncava (cóncava hacia abajo) en I . Pasos a seguir para estudiar la concavidad de una función derivable Paso 1. Se calculan los puntos que verifican la ecuación f ' ' ( x )  0 . Paso 2. El dominio de la función se divide en intervalos abiertos donde perman ece constante el signo de f ' ' ( x ) . Paso 3. Se halla el signo de f ' ' ( x ) en cada uno de los intervalos abiertos mediante un valor de prueba. Entonces, si en el valor de prueba f ' ' ( x )  0 , la función es cóncava hacia arriba en el intervalo abierto y si en el valor de prueba f ' ' ( x )  0 , la función es cóncava hacia abajo.

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4. Máximos y mínimos globales. Teorema de Weierstrass para funciones de una variable. Optimización de funciones cóncavas Definiciones (optimalidad global)  Una función continua y  f ( x ) tiene un máximo absoluto o máximo global en un punto x 0 cuando se verifica que f ( x0 )  f ( x ) para cualquier punto x  Dom(f) .  Una función continua y  f ( x ) tiene un mínimo absoluto o mínimo global en un punto x 0 cuando se verifica que f ( x0 )  f ( x ) para cualquier punto x  Dom(f) . Los máximos y mínimos absolutos se denominan genéricamente extremos absolutos, extremos globales u óptimos.

Teorema de Weierstrass (1815-1897) Toda función continua en un intervalo cerrado y acotado menos, un máximo y un mínimo absolutos en el intervalo

tiene, al

Los máximos y mínimos absolutos de una función continua en un intervalo cerrado y acotado se pueden alcanzar únicamente en 3 tipos de puntos: Puntos críticos, extremos de intervalos o puntos de no derivabilidad de la función.

Pasos a seguir para optimizar una función continua en un intervalo cerrado y acotado [ a , b ] y derivable en el intervalo abierto ( a , b ) Optimizar una función consiste en encontrar sus máximos absolutos (maximizar) y/o sus mínimos absolutos (minimizar). Paso 1. Se hallan los puntos críticos de la función continua y  f ( x ) . Paso 2. Se evalúa la función f ( x ) en los puntos críticos y en los puntos extremos del intervalo. Paso 3. Se comparan los valores de f ( x ) obtenidos en el paso 2 y se seleccionan los puntos donde la función alcanza su mayor valor f max o su menor valor f min , según se trate de un problema de maximización o de minimización. Departamento de Métodos Cuantitativos para la Economía y la Empresa

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Teorema de optimización de funciones cóncavas Sea y  f ( x ) una función definida en un intervalo de cualquier tipo y derivable (dos veces) en el intervalo abierto y sea x 0 el único punto crítico de la función. Entonces: 1. Si la función es cóncava hacia arriba en el intervalo abierto  la función tiene en x 0 un mínimo relativo, que es absoluto. El valor máximo es f max  f ( x0 ) . 2. Si la función es cóncava hacia abajo en el intervalo abierto  la función tiene en x 0 un máximo relativo, que es absoluto. El valor mínimo es f min  f ( x0 ) .

Apéndice: Esbozo de la gráfica de una función Puntos a estudiar para esbozar la gráfica de una función y  f ( x ) : 1. Dominio y continuidad. Puntos de corte con los ejes. 2. Estudio de la primera derivada: Crecimiento y extremos relativos. 3. Estudio de la segunda derivada: Concavidad. 4. Asíntotas verticales y horizontales.

 Asíntotas verticales y asíntotas horizontales Una asíntota es una recta a la que se aproxima indefinidamente la funcióny  f ( x ) de forma que la distancia que las separa tiende a cero. Las asíntotas pueden ser verticales, horizontales y oblicuas. Las asíntotas oblicuas no las estudiamos. La recta x  x 0 es una asíntota vertical de una función y  f ( x ) cuando alguno de los límites laterales de la función y  f ( x ) en el punto x 0 es infinito. La recta y  y0 es una asíntota horizontal de una función y  f ( x ) cuando alguno de los límites en el infinito de la función vale y 0 .

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