Ejercicios de Inecuaciones PDF

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Ciclo Verano 2020. Guía de Ejercicios realizados por el Profesor Juan Romulo Matos ...

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MATEMÁTICA PARA LOS NEGOCIOS I INTRODUCCIÓN Las inecuaciones se diferencian de las ecuaciones, por qué no son igualdades, por la forma de resolverlos y por la solución que presentan. Para resolver una inecuación se aplican ciertos procedimientos o algunas propiedades que no se requieren en una ecuación. En una inecuación la solución es generalmente un intervalo, mientras que en una ecuación a lo más son dos valores si es una ecuación cuadrática.

INECUACIÓN LINEAL Una inecuación lineal tiene las siguientes formas:

ax ax ax ax

b  0 b  0  b 0  b 0

1

Ejemplos: 1)

2)

-2x + 1 < 9 -2x < 8 2x > - 8

3x + 5 ≤ 7x -2 3 2 9x + 5 ≤ 7x – 4 3 2 18x + 10 ≤ 21x -12 18x – 21x ≤ -12 – 10

x>-4

-3x ≤ -22

x ε < -4, ∞ >

x ≥ 22 3 x ε < 22/3, ∞ > 3)

3 x + 1 (x+5) ≤ 2 (5-2x) 4 6 3 18x + 4 (x+5) ≤ 10 – 4x 24 3 18x + 4x + 20 ≤ 10 – 4x 24 3 22x + 20 ≤ 10 - 4x 24 3 8 1

4)

2x -5 < 3x – 1 ≤ 9x + 1 3 2 2

i)

2x – 15 < 6x - 1 3 2 4x – 30 < 18x – 3 4x – 18x < - 3 + 30 - 14x < 27 14x > -27 x > -27 ………α 14

ii)

6x – 1 ≤ 9x + 2 2 2 6x -1 ≤ 9x + 2 6x – 9x ≤ 2 + 1 -3x ≤ 3 3x ≥ -3 x ≥ -1………….. β

22x + 20 ≤ 80 – 32x 22x + 32x ≤ 80 – 20 54x ≤ 60 x ≤ 60 / 54 x ≤ 10 9

iii) C.S.: α ∩ β

x ε < - ∞, 10 ] 9 - 27 14

2

-1

x ε [-1, ∞ >

5) 4x – 3 < 3x + 2 < x + 2 5 3 i)

4x – 3< 3x+2 ii) 3x + 2 < x + 6 5 5 3 20x -15x < 3x+2 9x + 6< 5x + 30 17x < 17 9x -5x < 30 - 6 x 2x - 14 2 5 4 5 5 i) x + 6 < 3x + 11 2 5 4 5 5x + 12 < 15x + 44 10 20 1 2

ii)

3x + 11 > 2x - 14 4 5 5 15x + 44 > 10x - 14 20 5 4 1

iii)

C.S. α ∩ β

6

10x + 24 < 15x + 44 15x + 44 > 40x - 56 10x – 15x < 44 – 24 15x – 40x > -56 - 44 -5x < 20 - 25x > -100 5x > -20 25x < 100 x > -4 …. (α) x < 4 …( β) 7) 5x – 3 > 2x 4 3 i)

+3

-4

4

x ε < - 4, 4 >

≥3–x 2

5x – 3 > 2x +3 4 3 5x - 3 > 2x + 9 4 3 15x – 9> 8x + 36 15x – 8x> 36 + 9 7x > 45 x > 45 x > 45 ….( α)

ii)

2x +3 ≥ 3 - x 3 2 2x + 9 ≥ 3 - x 3 2 4x + 18 ≥ 9 – 3x 4x + 3x ≥ -18 + 9 7x ≥ - 9 x ≥ -9 / 7…….( β)

iii)

C.S. α ∩ β

-9 7

INECUACIÓN CUADRÁTICA

45 7

x ε < 45, ∞ > 7

Forma general ax² + bx +c  0 ax² + bx + c  0

∆:discriminante

ax² + bx+ c < 0

∆ = b²-4ac

ax² + bx + c > 0 MÉTODO DE RESOLUCIÓN Caso I: Si el ∆ = b²-4ac < 0, la expresión cuadrática se reemplaza por el número 1 y se compara la desigualdad. Si la desigualdad resulta verdadera, la solución es todos los números reales (  ), y si la desigualdad resulta falsa, la solución es el conjunto vacío (). Caso II: Si el ∆ = b²-4ac 0,

la expresión cuadrática se iguala a cero y se resuelve la

ecuación. Los valores hallados se llevan a la recta numérica y se utiliza el método de los signos. Método de los signos (puntos críticos) 1. Los valores hallados se llevan a la recta numérica 2. Los puntos(los valores hallados) son abiertos si la desigualdad es < ó > y son cerrados si la desigualdad es  ó . 3. Se ponen los signos + ó - en forma alternada de derecha a izquierda, en los intervalos, empezando por la derecha con el signo positivo (+).

4. Se escogen los intervalos positivos si la desigualdad es > ó , y se escogen los intervalos negativos si la desigualdad es < ó . Nota: Para aplicar el método de los signos (puntos críticos) el coeficiente del término de mayor grado debe ser positivo.

Ejercicios: Resolver: 1) x² + 3x + 4 < 0  = b² - 4 ac = 9 -4 (1)(4)  = -7 < 0 como  < 0 la expresión cuadrática se reemplaza por el 1. 1 < 0 falso x 2) x² + 2x + 3 > 0  = 4 - 4 (1)(3) =-8 Como  0 y resulta verdadero xR

3) x² -x + 3  0  = b² - 4 ac  =(-1)²-4(1)(3) = 1-12  = -11 1  0 verdadero xR 4) 2x² - 2x + 1  0  = (-2)²-4(2)(1) = -4 1  0 falso  x  5) x² + 3x + 2 > 0  = 3² - 4(1) (2) = 1

El >0, entonces la expresión cuadrática se iguala a cero x² + 3x + 2 = 0

(x+2)(x+1) = 0

+

-2

+ -1

x  < -,-2 >  < -1, > x = -1, x = -2 6) x² + x – 6  0

+

 = (1)² - 4(1)(-6) > 0

+

-3

2

x  [ -3,2 ]

(x+3)(x-2) = 0 x = -3  x = 2 7) x² + x – 12 > 0  =(1)² - 4(1)(-12) > 0

-

(x+4)(x-3) > 0

-4

3

x  < -, -4 >  < 3, >

(x+4)(x-3) = 0 x = -4 , x = 3 8) 2x² + 7x – 15  0

+

-

+

 = (7)²- 4(2)(-15) > 0 (2x-3)(x+5) = 0

x  [-5, 3 ] 2

x = 3/2 , x = -5 9) 3x² -2x – 1 < 0  = (-2)² -4(3) (-1) > 0  ( 2)  4  4(3)(  1)

x= x=

6 2  16 6

x = 1 , x = -1 / 3

+

-1 1 3 x  3

10) 2x² - 3x -2  0  = (-3)²-4(2)(-2) > 0 x

x=

 ( 3)  9  4(2)(  2) 4

3 5 4

x = 2 , x = -1/ 2 11) 3x² - x – 3 < 0

+

_-

-1 2 2 x  < - , 1 ]  [ 2,  > 2  = (-1)² -4(3)(-3) = 3 3x² -x - 3 = 0

x= x=

 (  1)  (  1)²  4(3)(  3) 6 1  37 6

+

+

1

1

37 6

x

37 6

1 6

37 1  ,

37 6

12) -2x² > x +3 -2x² -x – 3 > 0 2x² + x + 3 < 0  = (1)² - 4(2)(3) = - 23 1 < 0 falso x 13) (x+3)(x-1)  (2x-1)(x+2) x² + 2x - 3  2x² +3x -2 -x² -x -1  0 x² + x + 1  0  = (1)² -4 (1) (1)  = -3 1  0 verdadero xR 14) x² + 6x + 9  0  = (6)² - 4(1)(9) = 0 x² + 6x +9 = 0 (x+3)² = 0 x = -3

+

+

- 3 No hay intervalos negativos y el punto es cerrado, por lo que: x = -3

15) x² + 6x + 9 < 0  = 36 -36 = 0 x² + 6x + 9 = 0 (x+3)² = 0 x = -3 16) x² + 6x +9  0

+

+

- 3 no hay intervalos negativos y el punto es abierto, por lo que: x x = -3 +

+

 = 36 -36 = 0 x² + 6x + 9 = 0 (x+3)² = 0

Los intervalos son positivos y el punto es cerrado, por lo que :

xR 17) x² +6x +9 > 0  = 36-36 = 0 x² +6x +9 = 0 (x+3)² = 0 x = -3

+

+

- 3 se escogen los intervalos positivos,pero el punto es abierto, por lo que  x  R – {-3} ó x ...