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ECUACIONES E INECUACIONES CON UNA INCOGNITA

Hasta ahora resolvieron ecuaciones de primer grado con una sola incógnita de la forma ax + b = 0 (ó que se reducen a ella). Vamos ahora a resolver otro tipo de ecuaciones, que no pueden reducirse a ecuaciones de este tipo.

Ecuaciones no lineales

Ecuaciones de segundo grado

1

Se conoce como ecuación cuadrática o ecuación de segundo grado con una 2 incógnita a toda ecuación de la forma ax + bx + c = 0 (a  0, y a, b y c números reales). Los números a, b y c son los coeficientes de la ecuación.

Por ejemplo, es una ecuación de segundo grado: 2

3x + 2x –5 = 0, donde a = 3; b = 2 y c = -5. Aunque expresadas de otra manera, son también ecuaciones de segundo grado: 2

8x = 32 2

-x + x = 0 2 4x - 16 = 0 (8x – 2) ( 2x + 3) = 0 2 (2x – 3) = 16 En algunos casos es relativamente fácil resolver una ecuación de segundo grado. Revisaremos, mediante ejemplos, cómo hacerlo.

Resolver una ecuación es encontrar los valores de la incógnita que hacen verdadera la igualdad.

Ejemplo 1. Resolver (x – 2) ( x + 3) = 0 Solución Podemos observar que la expresión en el primer miembro es un producto entre números reales. Para que este producto sea igual a cero es suficiente que lo sea uno de factores. En este caso x – 2 = 0 ó x + 3 = 0. Luego, las soluciones son x = 2 ó x = -3 ya que cualquiera de estos números anula a uno de los paréntesis.

Las soluciones de una ecuación de segundo grado se llaman raíces de la ecuación cuadrática

Así es S = {2; -3} el conjunto solución de la ecuación.

1

Elizondo, Giuggiolini, Módulo 2, Articulación Media Universidad; UBA XXI, 2007 UBA XXI – MÁTEMATICA - Ecuaciones e Inecuaciones

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Ejemplo 2.

2

-x + x = 0

Solución 2

Sacando factor común “x” se tiene: -x + x = x ( -x + 1) = 0 Con lo que la ecuación se puede resolver en forma similar a la anterior. Por lo tanto, las soluciones son: x = 0

ó

x = 1.

Y S = {0; 1} 2

Ejemplo 3. 4x - 16 = 0 Solución.  La expresión en el primer miembro es una diferencia de cuadrados. Podemos escribir: 2 4x - 16 = (2x + 4) (2x – 4) = 0 Y nuevamente las raíces se encuentran al tener en cuenta que para que un producto entre dos factores sea cero es suficiente que lo sea uno de ellos. Así las soluciones son: x=-2 ó x=2 •

También se puede resolver esta ecuación de la siguiente manera: 2

4x - 16 = 0 Dividiendo por 4 ambos miembros: Sumando miembro a miembro 4, es:

2

x –4=0 2

x

= 4 2

x2  4

De donde : Por lo que

¡Cuidado! Si a es un número real

|x| = 2

y esto es cierto si

cualquiera

a2  | a |

x = 2 ó x = - 2.

Con lo que se llega a la misma solución. Luego es S = { -2; 2} 2

Ejemplo 4: x + 4 = 0 Solución 2 Si se escribe la expresión anterior en la forma x = - 4 se puede afirmar que esta ecuación no tiene soluciones reales pues no existe ningún número real que elevado al cuadrado sea negativo. 2

Ejemplo 5. (2x – 3) = 16 Solución Tomando raíz cuadrada en ambos miembros de la igualdad es:

(2 x  3 )

2

 16 2

Esto es posible hacerlo ya que estamos seguros que (2x – 3)  0. La igualdad anterior puede escribirse como |2x –3| = 4 ya que

a

2

 a .

2

Ver anexo Valor Absoluto UBA XXI – MÁTEMATICA - Ecuaciones e Inecuaciones

2

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Luego es: 2x – 3 = 4 ó 2x - 3 = - 4 ya que si |a| = 4 a puede ser 4 ó a puede ser –4. Entonces si

2x  3  4

es

2x  3   4

7 2 1 x  2

x 

es

2

Vemos si son soluciones de la ecuación dada (2x-3) = 16 2

Si

x

7 ; 2

 7   2.  3   2 

Si

x

-1 ; 2

 -1   2.  3   (-1- 3) 2  (-4) 2  16  2 

 (7 - 3) 2  4 2  16 2

Como verifican la ecuación dada, el conjunto solución de la ecuación es

7 - 1 S  ;  2 2 

En los ejemplos anteriores fue posible hallar las soluciones de las ecuaciones planteadas recurriendo a propiedades conocidas de la igualdad y de los números reales. Otros casos pueden ser más difíciles de resolver ya que no aparece claro cómo despejar la incógnita pues ésta aparece con distinto grado en los términos de la ecuación. Por ejemplo en:

2

x + 6x + 9 = 4

2

Ejemplo 6. x + 6x + 9 = 4 Solución ¿Es posible escribir la expresión en alguna de las formas anteriores? En realidad sí ya que el primer término de la igualdad es el desarrollo de (x + 3) Veamos: 2 (x + 3) = (x + 3) .(x + 3)

2

Escribiendo el cuadrado como producto.

= x.(x + 3) + 3 ( x + 3) 2

= x + 3x + 3x + 9

Distribuyendo. Distribuyendo nuevamente.

2

= x +6x + 9

Asociando y sumando los términos semejantes. 2 2 De este modo podemos reemplazar a x + 6x + 9 por la expresión (x + 3) en la ecuación dada y escribir: 2 x + 6x + 9 = 4 2 (x +3) = 4 Y se resuelve en forma análoga al ejemplo 5. 2 ( x  3)  4

x 3  2 x 3 2

x 3 -2 de donde x  - 1 ó x   5

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ó

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Si se reemplazan estos valores en la ecuación dada, se ve que son solución. 2 Para x = -1 es (-1) +(-1).6 + 9 = 1 – 6 + 9 = 4 2

Para x = -5 es (-5) + (-5).6 + 9 = 25 –30 + 9 = 4 Entonces S = {-5; -1} El procedimiento usado se basa en las propiedades trabajadas en el anexo de números reales: 2

2

2

(m + n) = m + 2mn+ n 2

2

(m - n) = m - 2mn + n

2

Otras ecuaciones de segundo grado no pueden reducirse a ninguno de los casos anteriores. Por ejemplo 2

2x –12 x + 10 = 0 Para resolverlas utilizamos la fórmula

x1,2 

 b  b 2  4 ac 2a 2

donde a es el coeficiente de x ; b es el coeficiente del término lineal x y c es el término independiente y x 1,2 son las posibles soluciones de la ecuación dada. 2

Ejemplo 7. Resolver la ecuación 2x –12 x + 10 = 0 Solución: Teniendo en cuenta que a = 2; b = -12 y c = 10 reemplazamos en la fórmula anterior:

x1,2 

 ( 12) 

( 12) 2  4.2. 10 12   2.2

Entonces es x1 

12  8 5 4

x2 

144  80 12  64 12  8   4 4 4 12 - 8 1 4

Así el conjunto de soluciones de la ecuación dada es S = { 1; 5} lo que puede verificarse

Número de soluciones de una ecuación de segundo grado Según los ejemplos tratados, una ecuación de segundo grado puede tener una, dos o ninguna solución. Al trabajar con la fórmula resolvente, este hecho puede conocerse analizando el radicando 2 b – 4ac, llamado discriminante. Luego, teniendo en cuenta que z está definida en los reales sólo cuando z  0, 2 analicemos el discriminante b – 4ac. 2

•

Si b – 4ac > 0

•

Si b – 4ac = 0

2

la ecuación tiene dos soluciones reales y distintas. la ecuación tiene una sola solución real. Diremos que es una raíz doble o de multiplicidad 2.

•

2

Si b – 4ac < 0

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la ecuación no tiene soluciones reales. 4

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Ejemplo 8. Analizamos el discriminante en cada uno de los siguientes casos

2

2

2x – 8x + 6 = 0

2

x + 6x + 9 = 0 2

2

b – 4ac = (-8) –4.2.6 = 16

b – 4ac = 6 – 4.1.9 = 0

2

b – 4ac = 2 –4.3. 1 = -8

Como el discriminante es mayor que 0 se puede afirmar que la ecuación tiene dos soluciones reales.

Como el discriminante es igual a 0 se puede afirmar que la ecuación tiene una raíz doble o de multiplicidad 2.

Como el discriminante es menor que 0 se puede afirmar que la ecuación no tiene soluciones reales.

2

2

2

3x +2x + 1 = 0

Expresión como producto de una ecuación de segundo grado conocidas sus raíces. 2

Si x1 y x2 son las raíces de la ecuación ax + bx + c = 0 entonces es: 2

ax + bx + c = a(x - x 1) ( x - x2)

2

Ejemplo 9. Expresar como producto 2x + 5x –18 Solución Para poder escribir como producto la expresión se deben hallar las raíces de 2

2x + 5x –18 = 0. Aplicando la fórmula resolvente x1,2 

x 1, 

 b  b 2  4ac para a = 2; b = 5 y c = -18: 2a

 5  5 2  4.2 .( 18)

2

2 .2



- 5  169 4

Entonces es  5  13 4 9 x1  4

x1 

Así

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- 5 - 13 4 - 18 - 9  x2  4 2 x2 

9  9  2 2x  5x - 18  2  x   x  2 4  

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Otros tipos de ecuaciones

En general, para resolver ecuaciones de otro tipo, no están al alcance de este curso o no se dispone de fórmulas que permitan hallar las soluciones. Por ejemplo la ecuación de tercer grado 3

2

2x - 5x –x + 6 = 0. Pero si nos dan la misma ecuación en forma factorizada (2x -3) (x+1) (x - 2) = 0 podemos usar una propiedad que ya hemos usado: si un producto es cero alguno de los factores es cero. De este modo llegamos, rápidamente a las soluciones:

x1 

3 2

x 2  1

x 3 2

Conviene tener en cuenta que cuando nos dan la ecuación factorizada y queremos hallar sus raíces, no es conveniente desarrollar los productos. 2

Ejemplo 10. Resolver la ecuación (x – 5) (x – 4) (x +1) = 0 Solución Si desarrollamos el producto, aplicando sucesivamente propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la suma, tenemos: 4

3

2

x – 4x – 9x -16x + 20 = 0 llegamos a una expresión que no podríamos resolver con los conocimientos que tenemos. Pero sí podemos resolver 2

(x – 5) (x – 4) (x +1) = 0 igualando cada uno de los factores a cero. Es decir 2

x–5=0 De donde es

x1 = 5

x –4 =0

x2 = 2

x+1 =0

x3 = -2

x 4 = -1

2

(Observamos que x – 4 = 0 tiene por soluciones a 2 y a -2) Luego

S = { -2; -2: 2; 5}

La ecuación resuelta en el ejemplo es una ecuación de cuarto grado, que tiene todos sus términos.

Ecuaciones bicuadradas

Otras ecuaciones de cuarto grado tienen un aspecto similar a las de segundo grado. Son las llamadas ecuaciones bicuadradas. Su expresión general es: 4

2

ax + bx + c = 0 con a  0. Para resolverlas, comenzamos por escribirlas en la forma: 4

2

2 2

2

ax + bx + c = a(x ) + bx + c = 0 2

Y haciendo la sustitución x = z, la expresión anterior queda: 2

az + bz + c = 0 que es una ecuación de segundo grado con incógnita z.

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2

Ejemplo 11. Resolver la ecuación 4x –5x + 1 = 0 Solución 2

Reemplazando x por z, nos queda 2

4z – 5z +1 = 0. Resolvemos para la variable z, usando la fórmula resolvente (siendo a = 4; b = -5 y c = 1)

 ( 5 )  ( 5 ) 2  4 .4.1

z1,2 

2.4



5  25 - 16 8



53 8

De este modo es z1 

5 3 8

5 3 8 1  4

z2 

z1  1

z2

2

Los dos valores hallados son solución de la ecuación 4z – 5z +1 = 0. 2

Ahora debemos obtener los valores de x (ya que hicimos la sustitución x = z)

x2  1  1

2

Para z1 = 1 es x = 1  Para z 2



1 1  es x2  4 4

x2  4



x 1

1 4



 x 1 ó

x 

1 2

 x

x  -1

1 2

ó

x-

1 2

2

Entonces el conjunto solución de 4x –5x + 1 = 0 es  1 1  S  1; ; ;1 2 2  

Ecuaciones con radicales

En ocasiones la variable aparece bajo un radical. Sólo consideraremos el caso en que este sea una raíz cuadrada. Para resolverlas se debe elevar al cuadrado a ambos miembros para obtener una ecuación sin raíces cuadradas, pero esto no nos conduce a ecuaciones equivalentes por lo que las soluciones que hallemos deben ser comprobadas necesariamente en la ecuación dada. 3

x 2 5

Ejemplo 12. Resolver

Como la raíz cuadrada está definida sólo cuando el radicando es mayor o igual que cero, lo primero que vemos es cuál es el dominio de definición de esta ecuación. 3

3

Buscamos para qué números reales es x - 2  0 y encontramos que debe ser x  2 . Esto quiere decir que si encontramos algún resultado que no cumpla esta condición, el mismo no es solución de la ecuación dada. Resolvemos:

x3  2  5   3  x 2   

2

 5 2

Elevamos ambos miembros al cuadrado y teniendo en cuenta el dominio de definición operamos.

x 3  2  25 UBA XXI – MÁTEMATICA - Ecuaciones e Inecuaciones

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x - 2 + 2 = 25 + 2 3 x = 27 3

Sumamos 2 a ambos miembros Sacamos raíz cúbica en ambos miembros

x 3  3 27 x=3

Como x = 3 cumple la condición de ser mayor o igual que

3

2 , entonces la solución de la

ecuación es S = {3} Conviene verificarlo en la ecuación original

Ecuaciones con expresiones racionales

x

3

2 5.

Las ecuaciones racionales son aquellas expresadas como fracciones u operaciones entre fracciones en las que la incógnita está en el denominador. Habitualmente se procura transformarlas mediante operaciones algebraicas en otra ecuación que sea más fácil de resolver y que tenga las mismas soluciones de la dada.

2 x 4   x  2 x 1 x  2

Ejemplo 12. Hallar las soluciones de la ecuación Solución

Al estar la incógnita en los denominadores, buscamos el dominio de definición de la ecuación. En este caso, debemos ver para qué valores se anulan (ya que no podemos dividir por cero). Vemos que x + 1 = 0 si x = -1 y x + 2 = 0 si x = -2. Luego, el dominio de definición de la ecuación son todos los números reales distintos de -2 y de -1.

2 x 4     x 2 x 1 x 2 Igualamos a cero

x 4 2    0 x 2 x 1 x 2

Para operar en el primer miembro, buscamos común denominador:

x( x  1)  4 ( x  2)  2( x  1)  0 ( x  2 )( x  1) Y operamos

x 2  x  4x  8  2x  2 0 ( x  2 )( x  1) x2  x  6 0 ( x  2 )( x  1) 2

x –x – 6 = 0

Multiplicamos ambos miembros por (x+2)(x+1) (esto podemos hacerlo porque estamos trabajando para x  -2 y x  -1)

Logramos escribir la ecuación dada como una ecuación de segundo grado. La resolvemos utilizando la fórmula

b2  4 ac 2a En la ecuación resultante es a = 1; b = -1 y c = -6. Luego: x 1,2 

x 1,2 

 b

 ( 1) 

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(1)2  4 .1.( 6 ) 2



1

1  24 1  5  2 2 8

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Con lo que es:

x1 

1 5 3 2

y

x2 

1 5  2 2

Llegados aquí, podemos tentarnos y decir que estas son las soluciones de la ecuación dada. Pero si lo hacemos cometeríamos un error ya que x = -2 no pertenece al dominio de definición de la función. Entonces la única solución es x = 3. S = {3}

Observación: Muchas veces al hacer transformaciones en una ecuación para escribirla de manera equivalente, aparecen soluciones extrañas o se pierden algunas. Por ello, siempre debemos verificar si los valores obtenidos son realmente las soluciones de la ecuación dada.

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Inecuaciones

Al igual que con las ecuaciones, ampliamos ahora nuestro estudio a ecuaciones no lineales con una incógnita. En su resolución, usamos propiedades de los números reales, incorporamos el uso de los intervalos y de valor absoluto. Lo haremos mediante ejemplos. Ejemplo 1. Resolver (x – 1)(x +3) > 0 Solución

a. b > 0  a >0  b > 0 

En el primer miembro de la desigualdad tenemos un producto de números reales.

a0 

x +3 > 0

x – 1 < 0  x +3 < 0



Y resolvemos las inecuaciones que nos quedaron x >1 

x >-3

Los números que buscamos tienen que cumplir al mismo tiempo ser mayores que -3 y mayores que 1. Esto ocurre si es x > 1



x 0  b < 0  a0 2x – 5 > 0

Y resolvemos las inecuaciones que nos quedaron

2x   5 5 x   2

 2x  5 5  x 2

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

2x   5 5 x   2

 2x  5 5  x  2

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Encontramos las soluciones parciales

 5 5 S1    ;   2 2

S2 =



Hallamos el conjunto solución como unión de intervalos  5 5 S S 1  S 2    ;     2 2

 5 5 S   ;   2 2

2

Ejemplo 3. Sea A = {x/x(x – 1)  0} Representar A en la recta numérica y escribirlo como intervalo o unión de intervalos. Solución Para representar al conjunto A en la recta numérica y escribirlo como intervalo o unión de intervalos, debemos encontrar los elementos de A. 2 Todos los números que pertenecen a este conjunto cumplen la condición 2x(x – 4  0 .

Por lo que, para encontrar los elementos de A, hay que hallar la solución de la inecuación. Tenemos en cuenta que el producto entre dos factores es mayor o igual que cero cuando ambos son mayores o iguales que cero o bien cuando ambos son menores o iguales que cero. Planteamos 2

x(x – 1)  0 2 x0  x –1 0



2 x0  x –1 0

Y resolvemos las inecuaciones que nos quedaron 2

x0  x 1 x0

 

x2  1

Teniendo en cuenta que

x

2

2

x0  x 1 x0 

x2  1

 x , escribimos

x0  x 1



...