Sistema de ecuaciones e inecuaciones PDF

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Investigación operativa apuntes sobre temas de clases muy interesantes de 4 to semestre de administración de empresas...

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05 SISTEMAS DE ECUACIONES Y SISTEMAS DE INECUACIONES En esta Unidad aprenderás a: j Plantear y resolver sistemas de ecuaciones lineales: recordando los métodos de resolución clásicos. j Discutir sistemas lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas estudiando sus respectivos coeficientes. j Iniciar el estudio de sistemas lineales de tres ecuaciones con tres incógnitas

j Aplicar el método de Gauss para su resolución. j Aplicar dicho método para discutir sistemas lineales de tres ecuaciones. j Resolver sistemas no lineales sencillos.

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SISTEMAS DE ECUACIONES Y SISTEMAS DE INECUACIONES

j 5.1 Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas

y x Fig. 5.1.

Importante La fórmula e 5 vt no es lineal en las variables v y t, pues su producto hace que el término v ? t sea de grado 2. En cambio, 2x 1 2y 5 50 sí es lineal.

Más datos… Un sistema es equivalente a otro si ambos tienen las mismas soluciones.

Una ecuación con dos incógnitas permite describir cómo reacciona una de ellas si variamos la otra. Así, por ejemplo: • La fórmula de la cinemática, espacio 5 velocidad ? tiempo (e 5 v ? t), refleja distintas combinaciones de velocidades y tiempos que se pueden emplear en recorrer un espacio determinado. Por ejemplo, 200 km pueden hacerse a una velocidad de 100 km/h en 2 horas; o a 80 km/h, en 2,5 horas. • Las dimensiones de un rectángulo cuyo perímetro sea de 50 m pueden variar desde uno estilizado de 5 x 20 m a otro cuadrado de 12,5 m de lado (Fig. 5.1.). Son distintas longitudes que verifican la ecuación 2x 1 2y 5 50, llamando x a la base e y a la altura del rectángulo. • Las ecuaciones con dos incógnitas de grado uno se llaman lineales. La forma reducida de esta ecuación lineal es ax 1 by 5 c, siendo a, b los y coeficientes y c el término independiente. La solución de una ecuación con dos incógnitas es todo par de 1 valores de las mismas que verifican la igualdad. En general, estas ecuaciones tienen infinitas soluciones que coinciden con los puntos de una recta. Así, por ejemplo, la ecuación 22x 1 y 5 1 se cumple para los pares (21, 21), (0, 1), (1, 3), (2, 5), …, y para todos los puntos de la recta representada en la Figura 5.2. Fig. 5.2.

x 1

Un par de ecuaciones lineales con dos incógnitas que se consideran simultáneamente forman un sistema. Su forma más simplificada sería: ⎧ ax 1 by5 c ⎨ ⎩aʹ x 1 bʹ y 5 cʹ • Una solución del sistema es toda pareja de valores que asignados a las incógnitas satisfacen al mismo tiempo las dos ecuaciones. ⎧ 2x 12 y 5 3 el par x = 21, y 5 1 es solución, ya que Por ejemplo, en el sistema ⎨ 2 x 1 y 521 ⎩ 2(21) 1 2 ? 1 5 3 2(21) 1 1 5 21 Sin embargo, el par x 5 1, y 5 2 no es solución, pues satisface la primera ecuación pero no la segunda.

A. Resolución de sistemas

Más datos… En (3), la ecuación obtenida se dice que es combinación lineal de las otras dos.

Resolver un sistema es encontrar todas sus soluciones. Para ello, se ha de transformar el sistema original en otro equivalente que tenga, al menos, una ecuación con una sola incógnita, la cual se podrá despejar con las técnicas habituales. Las transformaciones que pueden hacerse en un sistema, de forma que no se alteren sus soluciones aunque sí la forma de las ecuaciones que lo componen, son: (1) Transponer números o incógnitas de un miembro a otro. (2) Multiplicar los dos miembros de una ecuación por un número distinto de cero. (3) Sumar o restar a una ecuación otra multiplicada previamente por un número. Estas transformaciones se concretan en los tres métodos clásicos de resolución de sistemas: métodos de sustitución, de igualación y de reducción.

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Método de sustitución Consiste en despejar una cualquiera de las incógnitas en una de las ecuaciones y sustituir su valor en la otra. x 12 y 23 5 0 Apliquemos el proceso al sistema:

1 x 2 3 y 55 2

1. Despejamos x en la primera ecuación: x 5 3 2 2y. 1 2. Sustituimos este valor de x en la segunda: (3 22 y) 23 y 55 2 3. Resolvemos esta ecuación: 3 7 1 3 7 ( 32 2 y) 2 3 y 5 5 2 y 2 3 y 55 24 y 55 2 y 5 : (24)5 2 2 8 2 2 2 14 19 7 Con este valor de y, hallamos x: x 5 3 22(2 )53 1 5 8 8 4 19 7 La solución del sistema es: x 5 ; y 5 2 . 4 8

Más datos… Si despejas la incógnita y, sustituyéndola en la segunda ecuación, puedes comprobar la obtención de una solución idéntica. La efectividad del método se basa en poder despejar una incógnita fácilmente.

Método de igualación Este método consiste en despejar e igualar la misma incógnita en ambas ecuaciones. A continuación se resuelve la ecuación resultante. En el sistema

x2y54 vamos a despejar la incógnita x en las dos ecuaciones: 2x 1 8y 5 22 x541y 2x 5 22 2 8y

x541y x 5 21 2 4y

Igualamos los segundos miembros: 4 1 y 5 21 2 4y Como x 5 4 1 y

5y5 25

y5 21

x5 3.

La solución del sistema es x 5 3, y 5 21. Si se hubiera despejado la incógnita y en ambas ecuaciones, el resultado hubiese sido el mismo.

Método de reducción Este método busca la eliminación de una incógnita en alguna de las ecuaciones. Para ello: 1. Se multiplican las ecuaciones por sendos números de modo que se consigan igualar, en valor absoluto, los coeficientes de una de las incógnitas. 2. Se suman o restan ambas ecuaciones para eliminar esa incógnita. ⎧ x 2y 5 4 Por ejemplo, si en el sistema ⎨ 2x 18 y 5 22, a la segunda ecuación le restamos el doble ⎩ de la primera (E2 22E1), queda: x 2 y54 ⎧⎪ ⎧ x 2 y 54 ⎧ x 2y 5 4 ⎨ ⎨ ⎨ ⎪⎩[2 x 18 y 5 ⫺2 ]22 [ x 2 y5 4 ] ⎩ y 521 ⎩10 y 5210 cuya solución es ya inmediata, pues sustituyendo en E1: x 2(21) 5 4 Por tanto, la solución del sistema es x 5 3, y 5 21.

x 5 3.

Más datos… Si a una ecuación se le suma o resta la otra multiplicada por un número, el sistema resultante es equivalente al primero.

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B. Clasificación de sistemas Los sistemas que tienen solución se llaman compatibles. Si la solución es única se llaman compatibles determinados. Si tienen infinitas soluciones se llaman compatibles indeterminados. Si un sistema carece de soluciones se dice que es incompatible. Por ejemplo, el sistema:

30x 2 20y 5 130 3x 2 2y 5 13

10 (3x 2 2y) 5 10 ? 13 3x 2 2y 5 13

3x 2 2y 5 13 3x 2 2y 5 13

es equivalente, en realidad, a una sola ecuación con dos incógnitas que, como ya sabemos, tiene infinitas soluciones; en este caso: (3, 22), (1, 25), (5, 1)… Por lo tanto, el sistema es compatible indeterminado. 2(7 x 220 y ) 50 14x 2 40 y 5 0 es incompatible, pues no Sin embargo, el sistema 7 x2 20 y 510 7 x2 20 y 510 se puede verificar que 7x 220y sea a la vez igual a 0 y a 10. Así pues, los sistemas lineales se pueden clasificar según las soluciones que tengan en:

SISTEMA LINEAL

⎧ ⎪ COMPATIBLE ⎪ (con solución) ⎨ ⎪ ⎪ INCOMPATIBLE ⎩ (sin solución)

⎧ DETERMINADO ⎪ (solución única) ⎨ ⎪⎩ INDETERMINADO (infinitas soluciones)

C. Interpretación geométrica de un sistema Como ya hemos indicado, la ecuación lineal con dos incógnitas es la expresión analítica de una recta. Por tanto, un sistema de dos ecuaciones se puede interpretar como un par de rectas, cuya posición en el plano será resultado del tipo de sistema de que se trate. ⎧ ax 1by 5 c Si en el sistema ⎨aʹ x 1 bʹ y 5 cʹ llamamos r y s a las rectas representadas por la primera ⎩

Más datos… Este procedimiento puede utilizarse para discutir un sistema. Su empleo para resolverlo con suficiente precisión exige que se dibuje en papel cuadriculado para soluciones enteras o papel milimetrado si aquéllas fueran decimales.

a)

⎧ x 12 y 521 ⎨ ⎩ 2 x 23 y 55

y x +2 y =–1 x

2x–3 y =5 Fig. 5.3.

y segunda ecuación, r ; ax 1 by 5 c y s ; a’x 1 b’y 5 c’, entonces: 1. Si r y s se cortan en el punto P 5 (x0, y0) el sistema será compatible determinado y su solución es x5 x0 e y 5 y0. 2. Si r y s son rectas paralelas el sistema es incompatible. 3. Si r y s son dos rectas que se superponen, todos los puntos serán comunes y el sistema tiene un conjunto infinito de soluciones. Es, pues, indeterminado. Los pares de rectas asociados a los siguientes sistemas se representan más abajo.

b)

⎧22 x 14 y 51 ⎨ ⎩ 3 x 26 y 52

y 3x–6 y=2 x

rectas que se cortan

–2x+4 y =1

rectas paralelas

c)

y x +2 y =3

3x+6y=9 x

⎧ x 12 y 5 3 ⎨ ⎩ 3 x 16 y 59 rectas coincidentes

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j 5.2 Discusión de un sistema de dos ecuaciones Conocer de qué tipo es un sistema, sin llegar a resolverlo, se llama discutirlo. El interés de la discusión proviene de que en ocasiones nos interesará la estructura de las ecuaciones más que su solución en sí. ax1 by5 c y apliquemos el método de reducción para elimiSupongamos el sistema a’ x 1b y 5 c ’ nar la incógnita x: multiplicamos la 1ª ecuación por a’, la 2ª por a y restamos: a’ E1: a ’(ax 1 by ) 5a ’ ? c a E2: a(a’ x 1 b’ y )5a? c’ a’E1 2 aE2: (a’ b2 ab’ ) y 5a’ c2 ac’ ⎧ax 1 by 5c Si hacemos m 5 a’b 2 ab’ y n 5 a’c 2 ac’ el sistema primitivo es equivalente a ⎨ my 5 n ⎩ El estudio de la segunda ecuación nos da los posibles tipos de sistemas. En efecto si:

1. m ? 0. La segunda ecuación es my 5 n. n Entonces no hay ninguna dificultad para resolverlo, pues, despejando y5 . m Este valor se lleva a la primera ecuación y se halla x. Así pues, si m? 0 la solución es única. El sistema es compatible determinado. ⎧ x 1 y 53

⎧ x 1 y 53 ⎨ es compatible deterE21E1 ⎩⎪2 y 52

Por ejemplo, el sistema ⎨

⎩⎪2x 1 y 521

minado. Su solución es x5 2 e y 5 1. 2. m 5 0 y n ? 0. La segunda ecuación es 0y 5 n que para cualquier valor de y nunca llegará a verificarse: el sistema no tiene solución y será incompatible. ⎧ x 1 y 53

Por ejemplo, el sistema ⎨

⎪⎩2x 12 y 53

⎧x 1 y 53 ⎨ es incompatible. E212E1 ⎩⎪0523

3. m 5 0 y n 5 0. La segunda ecuación es 0y 5 0, que admite todo valor posible de y como solución; luego el sistema sería compatible indeterminado. ⎧ x 1 y 53

Por ejemplo, el sistema ⎨

⎩⎪2x 12 y 56

⎧ x 1 y 53 ⎨ es compatible indeterE222E1 ⎩⎪050

minado. Sus soluciones son todos los pares de números que cumplen que x 1 y 5 3. Por ejemplo, (2, 1), (4, 21) o (0, 3). En conclusión: 1. Si m ? 0 (que equivale a

a b ? , ver margen) el sistema inicial es equivalente a: a’ b ’

⎧ax 1 by 5 c ⎨ my 5 n y es compatible determinado. ⎩

b c a 2. Si m 5 0 y n ? 0 (que equivale a 5 ? ) el sistema inicial se transforma en a ’ b ’ c’ ⎧ax 1 by 5 c ⎨ 0 y 5 n y es incompatible. ⎩ ⎧ax 1 by 5 c c a b , que es 3. Por último, si m 5 n 5 0 (o sea 5 5 ), el sistema queda ⎨ a’ b ’ c ’ ⎩ 0 y5 0 compatible indeterminado.

Más datos… Como m 5 a’b 2 ab’: Si m 5 0 a b 5 . a ʹ bʹ a b Si m ? 0, entonces ? . a ʹ bʹ Y si n 5 a’c 2 ac’ 5 0, se tiene: a c 5 . aʹ c ʹ a c Luego, cuando n ? 0, ? aʹ cʹ • En el caso 3. todos los coeficientes son proporcionales.

a’b 5 ab’, luego

• En 2, son proporcionales los coeficientes de la x y de la y pero no los términos independientes.

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E J E M PLO 1 Estudia, sin llegar a resolver, de qué tipo es cada uno de los siguientes sistemas: ⎧ x 12 y 53 ⎧22x 1 4 y 51 ⎧ x 12 y 521 b) ⎨ a) ⎨ c) ⎨3 x 1 6 y 5 9 2 3 5 3 6 2 ⎩⎪ ⎩ x 2 y5 ⎩⎪ x 2 y 5 Transformamos cada uno de los sistemas por el método de reducción: x 1 2 y 521 x 12 y 521 E 2 2 2? E 1 a) 2 x 2 3 y 55 27 y 57 1 El sistema es compatible determinado, pues los coeficientes de x y de y no son proporcionales, ? 2 : el sistema 2 −3 tiene solución única.

b) En este caso

22 x 14 y 51 3 x 26 y 5 2

3E1 1 2E2

2 2 x 1 4 y 51

0 y 57 1 22 4 El sistema es incompatible 5 ? como delata la ecuación imposible 0·y5 7. 3 26 2 x 12 y 53 3 x 1 6 y 59

c)

E 2 2 3E 1

x 12 y 5 3 0y 50

1 2 3 El sistema es compatible indeterminado (los coeficientes de ambas ecuaciones son proporcionales 5 5 ), sólo 3 6 9 queda una ecuación.

E J E M PLO 2 ⎧ x 1 y 51 Discute, en función de los valores del parámetro a, el sistema: ⎨3 x 2ay 5 4. ⎩ Para discutirlo, hay que estudiar las relaciones entre los coeficientes y los términos independientes de ambas ecuaciones. 1 1 • Si ? , que sucede cuando a ? 23, el sistema será compatible determinado. 3 2a 1 1 1 • Si 5 ? , que sucede cuando a 5 23, el sistema será incompatible. 3 2a 4 Por tanto: si a ? 23, el sistema tiene solución única. Si a 5 23, el sistema no tiene solución.

AC T I V I D AD E S

1>

Discute, sin llegar a resolver, la compatibilidad de los siguientes sistemas: ⎧2 x1 y52 ⎧ 4x 22y 5 21 b) ⎨ a) ⎨ ⎩⎪ x 2 y5 1 ⎩ 22x 1 y 5 5 ⎧ x 22 y 53 c) ⎨ ⎪⎩24 x 18 y 5212

R: a) Incompatible;

2>

4x1by5 5 , calcula los valores que 22x1y54 debe tomar b para que el sistema sea: Sea el sistema

a) Compatible determinado. b) Indeterminado. R: a) b ? 22; b) Nunca.

b) Compatible determinado;

c) Indeterminado.

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j 5.3 Sistemas de tres ecuaciones con dos incógnitas Resolución e interpretación geométrica Estos sistemas no suelen presentarse en la práctica. Surgen de problemas con más datos de los necesarios. No obstante, los estudiamos porque nos ayudarán a reforzar las ideas anteriores.

Más datos…

⎧ ax 1by 5 c ⎪ La forma más simple de un sistema de este tipo es: ⎨ a ʹx 1 b ʹy 5 c ʹ . ⎪ aʹʹ x 1 bʹʹ y 5 c ʹʹ ⎩

El par (x0, y0) es solución del sistema si verifica simultáneamente las tres ecuaciones. Esto es: ax 01 by05 c

Estos sistemas son compatibles (tienen solución) cuando la solución del sistema formado por cualquier par de ecuaciones verifica también la otra. Esto significa que una ecuación es combinación lineal de las otras dos. En otro caso el sistema sería incompatible. La posibilidad de un sistema con infinitas soluciones, indeterminado, sólo ocurriría cuando las tres ecuaciones coincidieran. Es decir, representasen la misma ecuación, aunque con apariencia diferente. Aclaramos la situación con dos ejemplos: 3 x 1 y 523 1 0 a) El sistema x 23 y 5 lo resolvemos tomando las dos primeras ecuaciones 4 2 x 1 y 52 3 3 3 x1 y52 3 1 3 , cuya solución es: x0 5 2 e y0 5 2 . Estos valores también satisfacen la 1 2 2 x2 y5 0 3 ⎛ 1⎞ 4 ⎛ 3 ⎞ tercera ecuación, pues 2?⎜ 2 ⎟ 1 ? ⎜ 2 ⎟ 523 . ⎝ 2⎠ 3 ⎝ 2 ⎠ Por tanto, el sistema es determinado y su solución son los valores anteriores (Fig. 5.4a.) ⎧x 22 y 521 ⎪ b) Sin embargo, el sistema ⎨ x 1 3 y 52 es incompatible, no tiene solución, ya que las ⎪22 x 1 y 55 ⎩ ⎧ x 22 y 521 1 3 nos dan la solución x0 5 , y0 5 , que no ecuaciones primera y segunda ⎨ 5 5 ⎩ x 13 y 5 2

cumple la última ecuación. (Fig. 5.4b.) a)

y 3x + y = –3

x – y/3 = 0

b)

y –2x + y = 5 x – 2y = –1

x

x x + 3y = 2

2x + 4y/3 = –3

Fig. 5.4.

a ʹx 0 1b ʹy 0 5c ʹ . aʹʹ x 01 b ʹʹ y 0 5 c ʹʹ

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j 5.4 Sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas Con estos sistemas ampliamos en una dimensión más los problemas de dos ecuaciones y dos incógnitas. Ello nos permitirá resolver problemas con mayor información y complejidad. La forma estándar de estos sistemas es la siguiente: a11x 1 a12y 1 a13z 5 b1 a21x 1 a22y 1 a23z 5 b2 a31x 1 a32y 1 a33z 5 b3 Las incógnitas son x, y y z; los coeficientes, aij, y los términos independientes, bi, son números reales. • Una solución del sistema es cualquier terna de valores x0, y0 y z0 que satisfacen simultáneamente las tres ecuaciones. • Resolver un sistema es encontrar todas sus soluciones. Para resolver estos sistemas podríamos emplear los métodos expuestos para los sistemas de dos ecuaciones pero, en general, resultarían demasiado laboriosos. No obstante, en todos los casos, para concluir el proceso hay que recurrir al método de sustitución que nos permite encontrar una solución a partir de las otras.

Método de sustitución Este método consiste en despejar una incógnita en alguna de las ecuaciones y llevar su valor a las otras. Se obtiene así un sistema asociado al primero pero con una ecuación menos; esto es, de dos ecuaciones con dos incógnitas. Este segundo sistema se resuelve por el método que resulte más cómodo. La incógnita despejada inicialmente se halla por sustitución.

E J E M PLO 3

Resuelve por sustitución el sistema:

x 1 2y 1 z 5 0 2x 2 z 5 1 3x 2 y 2 2z 5 3

R: Despejando z en la segunda ecuación, z 5 2x 2 1, y sustituyendo en las otras dos, el sistema dado es equivalente 3x 1 2y 5 1 x 1 2y 1 2x 2 1 5 0 a . 3x 2 y 2 2(2x 2 1) 5 3 2x 2 y 5 1 La solución de este sistema es x 5 3 e y 5 24. Por tanto, el valor de z 5 2 ? 3 2 1 5 5. Por tanto, la solución del sistema inicial es la terna x 5 3, y 5 24 y z 5 5. (Comprueba que verifica las tres ecuaciones.)

AC T I V I D AD E S

3>

Resuelve por sustitución los siguientes sistemas: x 1 2y 5 1 2x 1 y 2 z 5 5 a) x 1 2y 1 z 5 4 b) 2x 2 z 5 1 5y 1 z 5 0 x2y51

R: a) 2, 1, 0;

b) 3, −1, 5.

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j 5.5 Método de Gauss El método de Gauss es una generalización del método de reducción ya conocido. Consisa11x 1 a12 y 1 a13z 5 b1 te en transformar el sistema inicial, a21x 1 a22 y 1 a23z 5 b2 [1] a31x 1 a32 y 1 a33z 5 b3 a11x 1 a12 y 1 a13z 5 b1 a’22 y 1 a’23z 5 b’2 en otro equivalente a él, de la forma: a’’33z 5 b’’3

Más datos…

[2]

Por tanto, se trata de eliminar la incógnita x de la ecuación segunda (E2) y las incógnitas x e y de la tercera ecuación (E3). Estos sistemas se llaman escalonados o triangulares, y se resuelven de abajo a arriba. Esto es, siguiendo el proceso: despejar z en E3; sustituir su valor en E2 y despejar y en ella; sustituir z e y en E1 y despejar x.

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Resuelve, aplicando el método de Gauss, el sistema:

x 1 4y 1 3z 5 2 1 2x 2 3y 2 2z 5 1 . 2x 1 2y 1 4z 5 2

El proceso es el siguiente: 1. Se elimina la incógnita x en las ecuaciones segunda y tercera, sumando a éstas la primera ecuación multiplicada por 22 y 1, respectivamente, quedando el sistema: x 1 4y 1 3z 5 2 1 E2 2 2E1 211y 2 8z 5 3. E3 1 E1 6y 1 7z 5 1 2. Suprimimos la incógnita y de la tercera ecuación sumando a la misma, previamente multiplicada por 11, la segunda multiplicada por 6:

11E3 1 6E2

x 1 4y 1 3z 5 2 1 211y 2 8z 5 3. 29z 5 29

3. Se resuelve el sistema escalonado empezando por la tercera ecuación: 29 5 1. Ahora, en la segunda ecuación: 29z 5 29 z5 29 211y 2 8 ? 1 5 3

211y 5 11

Para pasar de [1] a [2], puede procederse así: (1) Debe procurarse que el coeficiente a11 5 61, lo que puede conseguirse alterando la colocación de incógnitas o ecuaciones, o bien dividiendo la primera ecuación por ese a11. (2) Se elimina la incógnita x en las ecuaciones E2 y E3, realizando las transformaciones: a a E2 2 21 E1 y E32 31 E1, respeca11 a11 tivamente. Con esto, el sistema [1] es equivalente al sistema a11x 1 a12 y 1 a13z 5 b1 a’22 y 1 a’23z 5 b’2 a’32 y 1 a’33z 5 b’3 (3) Suprimimos ahora la incógnita y de la ecuación E3, para lo que hacemos la transformación a’ E32 31 E2...