Sistema de Ecuaciones Homogeneas PDF

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algunos axiomas de Matemática Básica...

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Matemá tica Si st emadeEcuaci onesLi neal esHomogeneas Sistema de m Ecuaciones

Objetivos.

Estudiar sistemas de ecuaciones lineales homogéneas (son aquellas ecuaciones lineales que tienen constantes iguales a cero). Mostrar que la solución general de estos sistemas se puede escribir como una combinación lineal de n − r vectores, donde n es el número de las incógnitas y r es el número de los renglones no nulos en la forma escalonada.

Requisitos.

Eliminación de Gauss-Jordán, matrices escalonadas reducidas, o pseudoescalonadas reducidas, construcción de la solución general de un sistema de ecuaciones lineales.

Definición. (sistema de ecuaciones lineales homogéneas) Se dice que un sistema de ecuaciones lineales es homogéneo si todos los términos independientes son nulos. Simbólicamente un sistema homogéneo de m ecuaciones por n incógnitas es de la forma:

a11 x1  a12 x 2    a1n x n 0 a x  a x   a x 0  11 1 12 2 1n n   am1x1  am 2 x 2    amn xn 0

o bien ai1 x1  ai 2 x2 0ai1xi 2 (i 1, 2,3,..., m ) Si representamos el sistema anterior matricialmente será:

AX . 0

 a11 a12 a  21 a22      am 1 am 2

 a1n   x1   0     a2 n   x2   0                amn   xn   0 

Resol uci óndesi st emashomogéneos. Para verificar la compatibilidad del sistema debemos aplicar el teorema de Rouchè- Frobenius.

 a11 a12 a a22 21 1  Siendo el caso del sistema homogéneos la A      am1 am 2

 a1n  a2 n 

  amn

b1  b2     bm 

Si analizamos la característica o rango vemos que siempre se va a verificar que:

Car A Car A1 h Conclusión: Un sistema homogéneo siempre tiene solución. No existen sistemas homogéneos incompatibles. Vemos que una solución del sistema es

x1 x2 x3  xn 0

Debido a que un sistema homogéneo siempre tiene la solución trivial, analizaremos cuales son las posibilidades:

Regl adeCr ámer . Se dice que un sistema de ecuaciones lineales es un sistema de Crámer si tiene el mismo número de ecuaciones que de incógnitas y el determinante de la matriz de los coeficientes no es nulo.

Los sistemas determinados.

de

Crámer

son

siempre

compatibles

y

La resolución de un sistema de ecuaciones lineales puede efectuarse mediante la llamada regla de Crámer que afirma:

Observación: "En un sistema de Crámer, cada incógnita puede obtenerse mediante el cociente de dos determinantes. El numerador es el determinante de la matriz de los coeficientes en el que se ha sustituido la columna correspondiente a la incógnita a despejar por la columna de los términos independientes y el denominador es el determinante de la matriz de los coeficientes".

En efecto: Sea el sistema de Crámer siguiente, de n ecuaciones con n incógnitas:

 a11 x1  a12 x2    a1n xn b1  a x  a x    a x b  11 1 12 2 1n n 2    am1 x1  am 2 x2    amn x n bn que escrito matricialmente quedaría así:

 a11   a21     am1

a12 a22  am 2

 a1n   x1   b1       a 2n   x2   b2               amn   xn   bn 

Entonces, sistema a11 a12 la asolución bdel b1  será: a1n 1n 11

a 21 a22  a2 n     a a  amn x1  m1 m 2 A

a21 b2  a2 n     a b n  amn x2  m1 m 2 A

 a21 b2     a b n  x3  m1 m 2 A b11

b1

b1 b2  bn

donde

A

es el determinante de la matriz de coeficientes.

Ej empl o: Resol verelsi gui ent esi st emadeecuaci onesl i neal es:

3x  y  2 z 10  4 x  3 y  4 z 21 2 x  y  2 z 9  Primero de todo calculemos el valor del determinante de la matriz de coeficientes:

3 A 4 2

1 3 1

2 4 18  8  8  12  12  8  2  0 2

Al ser este determinante diferente de cero, podemos asegurar que se trata de un sistema de Crámer. En este caso, las soluciones son: Términos independientes del sistema

10 1 2

x

21 3 4 9 1 2 2

60  36  45  54  40  42 2   1 2 2

3 10 2 4 21 4 x

2

9

2

2

126  80  72  84  108  80 6   3 2 2

3 1 10 4 3 21 x

2 1 9 81  42  40  60  63  36 4   2 2 2 2

Observemos que la columna de los términos independientes se sustituye en la columna correspondiente a la incógnita a determinar. De este m

o, la solución del sistema es:

x 1 y 3 z 2 Mét ododel aMat r i zI nver sa Sabiendo calcular la matriz inversa y multiplicando matrices también es posible resolver un sistema de ecuaciones lineales, siempre y cuando éste sea de Crámer (es decir, tenga igual número de ecuaciones que de incógnitas y el determinante de la matriz de coeficientes no sea nulo). Veamos cómo: Sea el siguiente sistema de Crámer, de n ecuaciones con n incógnitas:

a11 x1  a12 x2    a1n x n b1 a x  a x   a x b  11 1 12 2 1n n 2   am1x1  am 2 x 2    amn xn bn

Escrito matricialmente quedaría así:

 a11 a  21     am1

a12 a22  am 2



a1n   x1   b1       a 2 n   x2   b2                amn   xn   bn 

esto es: A·X = B Si multiplicamos por la matriz inversa de A a la izquierda en ambos miembros de la igualdad, obtenemos:

A  1  AX   A 1B Por tanto, por la propiedad asociativa de las matrices:

 A A X 1

 A 1 B

Esto es : I· X  A  1 B Y por ser la matriz identidad (I) el elemento neutro del producto de matrices, llegamos a que:

X  A  1 .B Es decir, la solución del sistema se halla multiplicando la inversa de la matriz de coeficientes por la matriz de términos independientes.

¡Atención! No se debe olvidar que, al no ser conmutativo el producto de matrices, es necesario respetar el orden en que aparecen multiplicadas las matrices.

Ejemplo: Como ejemplo resolveremos el mismo sistema del apartado anterior y comprobaremos que se obtienen los mismos resultados. El sistema es:

3x  y  2 z 10  4 x  3 y  4 z 21 2 x  y  2 z 9 

La Matriz de coeficientes es:

3  A  4 2 

2  4 2 

1 3 1

Calculamos su inversa por el método de los adjuntos:

3 1

4 2 2

A21 

4 A12  2

4 0 2

3 A22  2

A11 

A13 

4

3

2

1

 2

A23 

1 2 0 1 2 2 2 2

3 1 2 1

 1

A31 

A 1 

A33 

 2  2  4  1 5  2 0

Por tanto, la matriz X de las incógnitas será:

 2 x   1   y 2 0 z     2

0 2 1

 2  10 

2  1   1     4  21  6  3   2       4  2  5  9     

de donde se concluye que:

x 1 y 3 z 2

2  2 4

3 A32  4

Entonces,

 2   0  2 

1 3

3

1

4

3

2  4 4 5

Solución ésta que coincide con la encontrada por la regla de Crámer.

Mat r i zEscal onada Objetivos. Estudiar las definiciones formales de matrices escalonadas y escalonadas reducidas. Comprender qué importancia tienen estas matrices para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Demostrar que cada matriz se puede transformar en una matriz escalonada al aplicar operaciones elementales de renglones

Requisitos.

Notación para entradas de una operaciones elementales con renglones de una matriz.

matriz,

Aplicaciones. Eliminación de Gauss, eliminación de Gauss– Jordan, solución de sistemas de ecuaciones lineales, cálculo del rango de matrices, construcción de bases del núcleo e imagen de transformaciones lineales.

Defini ci on ( mat r i zescal onada) . Una matriz se llama escalonada por renglones o simplemente escalonada si cumple con las siguientes propiedades: 1.

Todos los renglones cero están en la parte inferior de la matriz.

2.

El elemento delantero de cada renglón diferente de

3  2 7 5 1  está a la derecha 1 elemento 5 4  2 2 diferente  0  3 del   3delantero  0 cero 0  4 7 9  anterior.   0 1 0 7 de cero del renglón  0 0 2 0    0 0 0 1 6  0 0 0 0   0 0 0 4  Ej  ma empl osde t r cesesca onadas. i l  0 0 0 0 0 

En cada renglón diferente de cero la primera entrada diferente de cero está marcada con el color morado   7 0 0 0 0

0 0 0  0 0 0   

0

0 0 0 0 2 / 3 0 0 0 0 0     0 0 0 0 0 

3  0 4  7   0 2 0 5    0 0 0 0 

5 0  4

0   0

0 0 0 0  0 0 0 0

 5 0 0    0  2 0    0 0 4

Defini ci ón de mat r i z escal onada en t ér mi nos de l os númer osrypi . A Sea Mm n  F  .

Denotemos por r al n úmero de los

renglones no nulos de A:

r : i   1,..., m :

Ai ,* 0 ,

y en cada renglón no nulo denotemos por pi al ´índice de la primera entrada no nula:

p i : min  j   1, . . . , n : Ai, j  0

 i   1, . . . , m , A

i,*

 0 .

La matriz A se llama escalonada por renglones (o simplemente escalonada) si cumple con las siguientes propiedades:

p1  ...  p r.

Nota. Si la matriz A es escalonada, entonces sus entradas con ´ındices (i, pi), 1 ≤ i ≤ r, se llaman pivotes...