ejercicios resueltos ecuación e inecuaciones de primer grado PDF

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esto problemas nos ayudara a entender de una manera precisa ya clara sobre el tema de ecuaciones e inecuaciones de primer grado, la cual podremos visualizar ejercicios ya resueltos...

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FORMACIÓN HUMANÍSTICA EXPERIENCIA CURRICULAR DE PENSAMIENTO LÓGICO

GUÍA PRÁCTICA N° 10 ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER GRADO 1

MATERIAL INFORMATIVO ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER GRAD0 ECUACIÓN DE PRIMER GRADO Una ecuación es de primer grado, denominad a también como ecuación lineal, si todas sus variables o incógnitas tienen exponente uno. Ejemplo: 2 xy +3 x +5 y−2=9 Las ecuaciones que estudiaremos en esta sección son las ecuaciones lineales de una variable y tiene la siguiente forma: ax +b=0 ; donde a ≠ 0

MÉTODOS PARA RESOLVER ECUACIONES El único método de solución es “despejar ” la incógnita y se debe utilizar los procedimientos contrarios a los vistos. Así.

a)

Incógn

±

Incógn

Pasa a restar o sumar = Tot ± Alg

Alg

=

Tot

b)

Alg

•

Incógn

=

Tot

Tot Incógn

= Alg 2

c)

Incógn

=

Tot

•

Alg o

Alg o

INECUACIÓN DE PRIMER GRADO

DESIGUALDAD: Es una expresión que indica que una cantidad es mayor o menor que otra. INECUACIÓN: Es una desigualdad en la que hay una o más cantidades desconocidas (incógnitas) y que sólo se verifica para determinados valores de las incógnitas. Las inecuaciones también se llaman DESIGUALDADES CONDICIONALES. EJEMPLO: La desigualdad 2x – 3 > x + 5 es una inecuación porque tiene la incógnita x. Es condicional, porque es cierta para cualquier valor de x mayor que 8, pero es falsa si x es menor o igual que 8. PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES : Las propiedades básicas de las desigualdades son las siguientes: Propiedades Fundamentales:  Si a > b y b > c entonces a > c.  Si a > b entonces a+c > b+c y a-c > b-c.  Si a > b y c > 0; entonces ac > bc y a/c > b/c.  Si a > b y c < 0; entonces ac < bc y a/c < b/c. INECUACIONES SIMULTANEAS Son inecuaciones que tienen soluciones comunes. Ejemplo: ¿Para qué valores de x se verifican simultáneamente las inecuaciones 10x-15 < 0 y 5x > 3 ? Resolviendo las inecuaciones: La primera se cumple para x < 3/2; La segunda, para x > (3/5);

3

Por consiguiente, los valores mayores que 3/5 y menores que 3/2, verifican simultáne amente ambas inecuaciones. Este resultado se escribe así: 3/5 < x < 3/2 ¿ C.S.= ¿ 3 ; 3 ¿ 5 2 Interpretando gráficamente:

3 2 EJEMPLO: 6x – 10 > 3x + 5 Pasamos los términos semejantes de un lado: 6x – 3x > 5 + 10 Reduciendo términos queda: 3x > 15 Despejando x: x > 15/3 Haciendo la división obtenemos: x> 5 5 ; ∞+ ¿ El intervalo de solución es ¿ INTERVALOS: Un intervalo de números reales es un subconjunto del conjunto de los números reales, que, intuitivamente está formado por una sola pieza. Tipos de intervalos Intervalos acotados: Intervalo abierto: es aquel en el que los extremos no forman parte del mismo, es decir, todos los puntos de la recta comprendidos entre los extremos forman parte del intervalo, salvo los propios extremos.

⟨ a ,b ⟩ = {x  R /a < x < b}. Gráfica:

Intervalo cerrado: es aquel en el que los extremos si forman parte del mismo, es decir, todos los puntos de la recta comprendidos entre los extremos, incluidos éstos, forman parte del intervalo. [a, b] = {x  R /a x b} Gráfica:

4

Intervalo semiabierto: es aquel en el que solo uno de los extremos forma parte del mismo, es decir, todos los puntos de la recta comprendidos entre los extremos, incluido uno de éstos, forman parte del intervalo. Intervalo semiabierto por la izquierda , el extremo izquierdo no forma parte del inter valo, pero el derecho sí.

⟨ a ,b ] = {x  R /a < x b}, Gráfica:

Intervalo semiabierto por la derecha, el extremo izquierdo forma parte del intervalo, pero el derecho no. [a,

b⟩

= {x  R /a x < b}

Gráficamente:

Intervalos No Acotados: Es aquel inter valo que por lo menos uno de los extremos es infinito positivo o negativo: [a,

∞⟩

= {x  R /a x}

a ⟨a ,

∞⟩

= {x  R /a < x}

a

⟨ −∞; a ]

= {x  R /X a }

⟨ −∞; a ⟩

= {x  R /X < a }

a

a

5

INECUACIÓN DE PRIMER GRADO Las inecuaciones de primer grado son las que se reducen a la forma general: ax +b> 0 ax +b ≥ 0 ax +b< 0 ax +b ≤ 0

CONSEJOS PARA RESOLVER UNA ECUACIÓN E INECUACIÓN DE PRIMER GRADO 1. Suprimimos primero los signos de colección o agrupación (si los hay) en ambos miembros. 2. Eliminar denominadores (si los hay) 3. Agrupar o transponer los términos con incógnitas a un lado de la ecuación o inecuación y los términos sin incógnita al otro. 4. Efectuam os reducción de términos semejantes en cada miembro. 5. Despejar la incógnita y h allar el conjunto de solución. 6. Comprobar.

6

GLOSARIO Enunciado

:

Forma literal de un problema

Igualdad

:Relación que indica que dos expresiones tienen el mismo valor.

Dato

:Ayuda que se ofrece para resolver un problema.

Incógnita

:Desconocido. Lo que pide un problema. Se representa con letras.

Traducción

:Interpretación. Lo que se entiende de algo.

7

CASOS DIDÁCTICOS I.

Halla el conjunto solución de las siguientes ecuaciones:

A) 3(12 - x) - 4x = 2(11 - x) + 9x

B)

6 X−7 3 X−5 5 X +78 = + 28 7 4

C) (x + 5) (x + 7) = (x + 5) x

II.

Halla el conjunto solución de las siguientes inecuaciones

A) 6x – (x + 2) + 3 < 15x – 10

B)

7−3 X 5−2 X 3−X + + (x + 5) (x + 7)

6.

(x + 1)2 + x (x + 2) ≤

7.

(x + 1) (x + 5) > (x + 3) (x - 4) + 3

≤ x – 2(x + 2)

(x + 2)2 + x2

Hallar el conjunto de solución de las inecuaciones con fracciones

10

1.

x−1 −10 > 14 3

2.

3x x 3x 1 + +2< − 4 3 2 4

3.

2 x +1 3 x−5 4 x−3 x +1 + < + 5 4 3 2

4.

2 x−15 5 ≤ (2−x ) 2 3

5.

x +1 +1 x−3 ≤2 5 x −3

6.

1 x− 2 1 9 x x − ( − )≥ 0 − 3 5 3 3 6

7.

4 x−1 7 x−1 +2 +4 < 2 3

11...