Desigualdades, Axiomas DE Orden, Iintervalos, Inecuaciones DE Primer Grado PDF

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RESUMENES DE MATEMATICAS...

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DESIGUALDADES Supongamos que 𝑎 y 𝑏 son dos puntos sobre la recta real y se dan tres situaciones: a) Los dos puntos coinciden, gráficamente tenemos: 𝑏 -∞

𝑎

Entonces se concluye

+∞

𝑎 =𝑏

b) Si 𝑎 se encuentra a la izquierda de 𝑏, se dice que “ 𝑎 es menor que 𝑏", su gráfica es: 𝑎

𝑏

−∞

+∞

Entonces se escribe que

𝑎 𝑏

el signo de relación " > " se lee

“es mayor que”, también se puede expresar como: 𝑏 < 𝑎 , en este caso las expresiones 𝑎 > 𝑏 y 𝑏 < 𝑎 son equivalentes. NOTA. También existen dos signos de relación más que son: i) El signo de relación " ≤ " que se lee “es menor o igual a”, se define como 𝑎 ≤ 𝑏 si y solo si 𝑎 < 𝑏 ó 𝑎 = 𝑏, en este caso se dice " 𝑎 es menor o igual que 𝑏". ii) El signo de relación " ≥ " que se lee “es mayor o igual a”, se define como 𝑎 ≥ 𝑏 si y solo si 𝑎 > 𝑏 ó 𝑎 = 𝑏, en este caso se dice " 𝑎 es mayor o igual que 𝑏".

iii) Existe una correspondencia de uno a uno entre los números reales y los puntos que están sobre una recta real, se puede hablar de los puntos: −2, −1, 0, 1, 2, que se puede escribir como: − 2 < −1 < 0 < 1 < 2. Gráficamente en la recta numérica los puntos tenemos: −2

−1

0

1

2

−∞

+∞

iv) Supongamos que 𝑎 < 𝑏 y 𝑥 está entre 𝑎 y 𝑏, representando gráficamente: 𝑎

𝑥

−∞

𝑏 +∞

𝑎 𝑏 tiene el sentido contrario de 𝑐 < 𝑑. AXIOMAS DE ORDEN. Para el estudio de los axiomas de orden recordemos que, en el conjunto de los números reales, existe un subconjunto cuya notación es ℝ+ , se llama el conjunto de los números reales positivos tal que: 𝑂1 ) ∀ 𝑎 , 𝑏 ∈ ℝ+ se cumple: a) 𝑎 + 𝑏 ∈ ℝ + . b) 𝑎𝑏 ∈ ℝ+ .

𝑂2 ) ∀ 𝑎 ∈ ℝ, se cumple una y solo una de las tres condiciones: a) 𝑎 ∈ ℝ + . b) − 𝑎 ∈ ℝ+ . c) 𝑎 = 0. A partir de estos axiomas se deducirán todas las propiedades relacionadas al orden en los números reales. DEFINICIÓN. – Un número real 𝑎 se dice negativo si − 𝑎 es positivo. NOTA. – 1. El número cero no es ni positivo ni negativo. 2. Si 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, decimos “ 𝑎 es menor que 𝑏", su notación es "𝑎 < 𝑏" si y solo si " ( 𝑏 − 𝑎) ∈ ℝ+ ó 𝑏 − 𝑎 > 0", una notación equivalente es: b> a, que se lee " 𝑏 es mayor que 𝑎". También se usan las siguientes notaciones " 𝑎 ≤ 𝑏" que se lee “𝑎 es menor o igual que 𝑏", lo que significa que 𝑎 < 𝑏 ó 𝑎 = 𝑏, una notación equivalente es: 𝑏 ≥ 𝑎 , que se lee “ 𝑏 es mayor o igual que 𝑎". 3. Se tienen las siguientes equivalencias: a) 𝑎 ∈ ℝ+ sí y solo si 𝑎 > 0. b) − 𝑎 ∈ ℝ+ sí y solo si 𝑎 < 0. c) 𝑎 > 𝑏 sí y solo si 𝑎 − 𝑏 > 0. d) 𝑎 ≥ 𝑏 sí y solo si 𝑎 > 𝑏 ó 𝑎 − 𝑏 = 0 e) 𝑎 ≥ 𝑏 sí y solo si 𝑎 − 𝑏 ≥ 0. f) 𝑎 > 𝑏 sí y solo si 𝑏 < 𝑎. g) 𝑎 ≤ 𝑏 sí y solo si 𝑏 ≥ 𝑎. Con estas observaciones y notaciones, los axiomas de orden 𝑂1 𝑦 𝑂2 podemos escribir como: 𝑂1′ : Si 𝑎 > 0 y 𝑏 > 0 entonces 𝑎 + 𝑏 > 0 ∧ 𝑎𝑏 > 0. 𝑂2′ : Si 𝑎 ∈ ℝ, 𝑎 satisface una y solo una de las tres condiciones siguiente: 𝑎 > 0, 𝑎 < 0 , 𝑎 = 0. NOTA. –

Las desigualdades: 𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐 dan lugar a la desigualdad compuesta: 𝑎 < 𝑏 < 𝑐, que se lee “ 𝑏 es mayor que 𝑎 y 𝑏 es menor que 𝑐”, es decir si 𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐 es equivalente a: 𝑎 < 𝑏 < 𝑐. TEOREMAS. Sean 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ, entonces: 1. Si 𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐 entonces 𝑎 < 𝑐 2. Si 𝑎 < 𝑏 entonces 𝑎 + 𝑐 < 𝑏 + 𝑐. 3. Si 𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑐 > 0 entonces 𝑎. 𝑐 < 𝑏. 𝑐. 4. Si 𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑐 < 0 entonces 𝑎. 𝑐 > 𝑏. 𝑐 5. Si 𝑎 < 0 ∧ 𝑏 < 0 entonces 𝑎 . 𝑏 > 0 6. Si 𝑎 < 0 ∧ 𝑏 > 0 entonces 𝑎 . 𝑏 < 0 7. ∀ 𝑎 ∈ ℝ, 𝑎 ≠ 0 entonces 𝑎2 > 0. NOTA. – Los resultados de los teoremas son verdaderos, si reemplazamos los símbolos: " < 𝑦 > " por ≤ y " ≥ ". TEOREMA. 1. Si 𝑎 > 0 entonces 𝑎 −1 > 0 2. Si 0 < 𝑎 < 𝑏 entonces 0 < 𝑏 − 1 < 𝑎 − 1 3. Si 𝑎 < 0 ∧ 𝑏 < 0 entonces 𝑎 + 𝑏 < 0. 4. Si 0 < 𝑎 < 𝑏 , 𝑛 ∈ ℝ+ entonces 0 < 𝑎 𝑛 < 𝑏 𝑛 . 𝑛

𝑛

5. Si 0 < 𝑎 < 𝑏 , 𝑛 ∈ ℤ+ entonces 0 < √𝑎 < √𝑏. 6. Sean 𝑎 , 𝑏 ∈ ℝ, si 𝑎 < 𝑏 entonces ∃𝑐 ∈ ℝ: 𝑎 < 𝑐 < 𝑏. 7. Si 𝑎 < 𝑏 + 𝜀, ∀ 𝜀 > 0 entonces 𝑎 ≤ 𝑏. 8. Si 𝑎 ∈ ℝ: 0 ≤ 𝑎 < 𝜀, ∀ 𝜀 > 0 entonces 𝑎 = 0. INTERVALO. DEFINICIÓN. – Sean 𝑎 , 𝑏 ∈ ℝ con 𝑎 < 𝑏, se definen los siguientes tipos de intervalos. INTERVALO CERRADO. –

DEFINICIÓN. – Un intervalo cerrado de origen en 𝒂 y de extremo 𝑏 es el conjunto de los 𝑥 ∈ ℝ: 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 , su notación es [𝑎 , 𝑏] = {𝑥 ∈ ℝ: 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 }, la representación en la recta numérica real.

INTERVALO ABIERTO. – DEFINICIÓN. – Un intervalo abierto de origen en 𝒂 y de extremo 𝑏 es el conjunto de los 𝑥 ∈ ℝ: 𝑎 < 𝑥 < 𝑏, su notación es ]𝑎 , 𝑏 [ = {𝑥 ∈ ℝ: 𝑎 < 𝑥 < 𝑏 }, la representación en la recta numérica real.

INTERVALO SEMIABIERTO A LA DERECHA DEFINICIÓN. – Un intervalo semiabierto a la derecha de origen en 𝒂 y de extremo 𝑏 es el conjunto de los 𝑥 ∈ ℝ: 𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏, su notación es [𝑎 , 𝑏 [ = {𝑥 ∈ ℝ: 𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏}, la representación en la recta numérica real.

INTERVALO SEMIABIERTO A LA IZQUIERDA DEFINICIÓN. – Un intervalo Semiabierto a la izquierda de origen en 𝒂 y de extremo 𝑏 es el conjunto de los 𝑥 ∈ ℝ: 𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏, su notación es ]𝑎, 𝑏] = {𝑥 ∈ ℝ: 𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏}, la representación en la recta numérica real.

NOTA. – Los intervalos anteriores se llaman intervalos finitos por ser 𝑎 𝑦 𝑏 números reales (no significa que tenga un número finito de elementos). INTERVALOS INFINITOS. Son intervalos infinitos los siguientes: INTERVALO INFINITO CERRADO A LA IZQUIERDA DEFINICIÓN. – El intervalo infinito cerrado a la izquierda se define y se denota como [𝑎 , + ∞[ = {𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 ≥ 𝑎 }, su representación gráfica es:

INTERVALO INFINITO ABIERTO A LA IZQUIERDA DEFINICIÓN. – El intervalo infinito abierto a la izquierda se define y se denota como ]𝑎 , +∞[ = {𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 > 𝑎 }, su representación gráfica es: INTERVALO INFINITO CERRADO A LA DERECHA DEFINICIÓN. – El intervalo infinito cerrado a la derecha se define y se denota como ]− ∞ , 𝑎 ] = {𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 ≤ 𝑎 }, su representación gráfica es: INTERVALO INFINITO ABIERTO A LA DERECHA DEFINICIÓN. – El intervalo infinito abierto a la derecha se define y se denota como ]− ∞ , 𝑎 [ = {𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 < 𝑎 }, su representación gráfica es:

NOTA. – 1. Si ]𝑎 , 𝑎[ = {𝑥 ∈ ℝ: 𝑎 < 𝑥 < 𝑎 } = { }. 2. Si [𝑎 , 𝑎] = {𝑥 ∈ ℝ: 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎} = {𝑎} 3. Si ]− ∞ , + ∞[ = ℝ. 4. Los símbolos + ∞ 𝑦 − ∞ no son números reales. OPERACIONES CON INTERVALOS Los intervalos son conjuntos de números reales, por lo que podemos realizar todas las operaciones de conjuntos que fueron definidos anteriormente, luego sean 𝐴 𝑦 𝐵 dos intervalos cualesquiera (finitos e infinitos) de los reales, entonces: a) La unión: A ∪ B = {𝒙 ∈ ℝ: 𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵 } b) La intersección: A ∩ B = {𝒙 ∈ ℝ: 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 } c) Diferencia de conjuntos: A − B = {𝒙 ∈ ℝ: 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∉ 𝐵 } = 𝑨\𝑩. d) Complemento de un conjunto: 𝑨𝒄 = {𝒙 ∈ ℝ: 𝑥 ∉ 𝐴} = ℝ − 𝐴. e) Diferencia simétrica entre conjuntos: A∆ 𝑩 = (𝑨 − 𝑩 ) ∪ (𝑩 − 𝑨) INACUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA VARIABLE. DEFINICIÓN. – Las inecuaciones de primer grado con una variable se define como: 1) 𝑎𝑥 + 𝑏 ≤ 0

2) 𝑎𝑥 + 𝑏 < 0; 3) 𝑎𝑥 + 𝑏 ≥ 0 4) 𝑎𝑥 + 𝑏 > 0, donde 𝑎, 𝑏, 𝑥 ∈ ℝ, 𝑎 ≠ 0. Resolver una inecuación es encontrar todos los valores reales de la variable (𝑥), para los cuales satisfaga la desigualdad. Es decir, se trata de encontrar la solución. a) 𝑆1 = {𝑥 ∈ ℝ: 𝑎𝑥 + 𝑏 ≤ 0} b) 𝑆2 = {𝑥 ∈ ℝ: 𝑎𝑥 + 𝑏 < 0} c) 𝑆3 = {𝑥 ∈ ℝ: 𝑎𝑥 + 𝑏 ≥ 0} d) 𝑆4 = {𝑥 ∈ ℝ: 𝑎𝑥 + 𝑏 > 0} Para resolver una inecuación debemos aplicar las propiedades de los números reales....