Práctica 2 - Sistema generador, base del espacio vectorial, y subespacio vectorial. PDF

Preview

Summary

Sistema generador, base del espacio vectorial, y subespacio vectorial....

Description

Matemàtiques I

n

Pràctica 2: Espai vectorial R (II): Sistema de generador i base de l’espai vectorial. Subespai vectorial

Objectiu: • •

Repassar els conceptes de sistema generador i base de l’espai vectorial n R . n Distingir si un subconjunt d’ R és subespai vectorial i, en cas afirmatiu, calcular-ne bases i la seva dimensió.

Exercicis: 3

1. Donat el conjunt de vectors d’ R

{(2, 1, 1), (1, 0, 1), (3, 0, −2)}, 3 verifiqueu que formen base d’ R . Calculeu els components del vector (5, 2, −1) en aquesta

base.

3

2. Coneixem dos dels tres vectors que formen una base d’ R :

{(−1, 4, 3) , (2, −1, 1) , (a, b ,c)}

i sabem també que els components del vector (5, 1, 4) quan l’expressem en aquesta base són (1, 3, 1). Podem saber quin és el vector (a, b ,c) que falta per completar la base? 3. Els vectors {(1, −3, 2) , (5, 2, −1), (7, 13, −8), (13, −5, 4)} 3 3 formen un sistema de generadors d’ R ? Són linealment independents? Són base d’ R ?

4. Determineu el valor del paràmetre a ∈R per tal que els vectors

{(2, 1, 1) , (-4, 0, -2) , (-1, 5 ,a)} 3

siguin base d’ R . 5. Estudieu si els conjunts següents són subespais vectorials:

{( x, y, z ) ∈ R 3 / x + 2 y − z = 4} . S = {( x, y ) ∈ R 2 / x 2 − y 2 = 0 }.

a) S = b)

⎧

c) S = ⎨( x, y ) ∈ R /

⎩

2

x− y ⎫ = 0⎬ . x+ y ⎭

{( x, y ) ∈ R 2 / 2x − y = 0}. S = {( x, y , z ) ∈ R 3 / y = 2 x , z = x + 3 y} .

d) S = e)



-1-

Matemàtiques I 6. Els següents conjunts són subespais vectorials. Calculeu una base i la dimensió de cada un d’ells:

{( x, y ) ∈ R 2 / x − 5 y = 0}. S = {( x, y , z ) ∈ R 3 / 2 x + 3 y = 0} . S = {( x, y, z , t , u ) ∈ R 5 / x − y − z + u = 0, x + y − t = 0, x − 2t + u = 0} .

a) S = b) c)

És possible obtenir una base diferent a la que heu calculat? Raoneu la resposta.

Solucions:

7 5

1. Els components del vector (5, 2, −1) en aquesta base són λ1 = 2, λ2 = − , λ3 = 2. a = 0, b = 0, c = − 2 .

3 3 3. No són sistema de generadors d’ R , ni linealment independents, ni base d’ R .

1 2

4. a ≠ − . 5. a) b) c) d) e)

No és subespai vectorial. No és subespai vectorial. No és subespai vectorial. Sí és subespai vectorial. Sí és subespai vectorial.

6. a) Una possible base és

{(5,1)} . La seva dimensió és 1.

⎧⎛ −2 ⎞ ⎫ , 0 ⎟ , (0, 0,1)⎬ . La seva dimensió és 2. ⎩⎝ 3 ⎠ ⎭ c) Una possible base és {(1, 0, 2,1,1) , ( 0,1,1,1, 2)} . La seva dimensió és 2.

b) Una possible base és ⎨⎜ 1,

Sí és possible obtenir bases diferents, per exemple: a) Una base d’ S és qualsevol vector no nul proporcional a

⎧⎛ −3 ⎫ ⎞ ,1,0 ⎟ , ( 0,0,1) ⎬ . ⎠ ⎩⎝ 2 ⎭

b) Base S = ⎨⎜

{

}

c) Base S = (1, −1,1,0, −1) , ( 0,1,1,1, 2) .



-2-

( 5,1) .

4 . 5...