2. Analisi vectorial - ejercicios PDF

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ANÁLISIS VECTORIAL VECTOR: Es un ente matemático, que se representa mediante un segmento de recta orientado, dentro del espacio euclidiano tridimensional. En física, el vector, sirve para representar a las magnitudes físicas vectoriales. NOTACIÓN. Como se muestra en la figura, un vector se representa con cualquier letra del alfabeto, con una pequeña flecha en la parte superior de la letra o también con letras negritas. Y O

Z

P

P

P

A

A

 0

X

0

Y

X

A = A, se lee: vector A O: origen del vector P: extremo del vector También se denota: A A = OP ELEMENTOS DE UN VECTOR 1. Módulo. Indica el valor de una magnitud vectorial. Geométricamente es el tamaño del vector y se determina con la siguiente fórmula: En un dimensión: A En dos dimensiones:

A  ( Ax ) 2  ( Ay ) 2

A  ( Ax ) 2  ( Ay ) 2  ( Az ) 2

En tres dimensiones: 2. Dirección. Es la orientación que tiene el vector, respecto al sistema de coordenadas cartesianas. 3. Sentido. Indica hacia que lado de la dirección (Línea de acción) actúa el vector. Gráficamente se representa por una cabeza de flecha. La dirección y sentido se determina mediante el ángulo que forma el vector con respecto a los ejes de coordenadas en una, dos o tres dimensiones. En una dimensión, se mide el ángulo con respecto al eje positivo del sistema de coordenadas que puede ser o°, 90°, 180°, 270° o 360°. En dos dimensiones (o en el plano) se define mediante el ángulo que forma el vector respecto del eje (+) : se utiliza la función tangente para determinar la dirección y sentido del vector y se debe tener en cuenta en que cuadrante se encuentra el vector:

tan  

y x



y   arc tan ( ) x

1

En tres dimensiones se utiliza los cosenos directores para determinar la dirección y sentido del vector con respecto a los ejes de coordenadas:

cos  

Ax A

cos  

Ay A

cos  

Az A

CLASIFICACIÓN DE LOS VECTORES 1. Vectores colineales. Son aquellos dos o más vectores que tienen una misma línea de acción o todos ellos están contenidos en una misma recta. A

B

C

Los vectores A, B y C son colineales 2. Vectores paralelos. Son aquellos vectores que tienen sus líneas de acción respectivamente paralelas. A L1 B

C

L2 Si L1 es paralelo a L2, entonces: A es el paralelo de B y A es paralelo con el vector C 3. Vectores opuestos. Dos vectores serán opuestos cuando tienen igual dirección, igual módulo, pero sentidos opuestos. La suma de dos vectores opuestos es igual al vector nulo (Tamaño igual acero) A L1 B L2 Si L1 es paralelo con L2, o son iguales los módulos: A = B y sentidos opuestos A + B = 0 4. Vectores iguales. Dos vectores serán iguales, cuando tienen sus tres elementos respectivamente iguales. A L1 B L2 Igual dirección: L1 || L2 Igual módulo: A = B Igual sentido: 1 = 2 5. Vectores coplanares. Dos o más vectores se denominan coplanares, cuando todos ellos están contenidos en un mismo plano.

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1. Vectores concurrentes. Dos o más vectores se denominan concurrentes, cuando todos ellos tienen un mismo punto de aplicación o sus líneas de acción se intersectan en un mismo punto. 0

A B

C

A; B y C son vectores concurrentes y coplanares.

OPERACIONES CON VECTORES 1. SUMA DE VECTORES COLINEALES Y PARALELOS. Dado que todos los vectores tienen la misma dirección, entonces el vector resultante también tendrá la misma dirección, por consiguiente la suma se realiza algebraicamente teniendo en consideración los signos (sentidos)

R =A + B + C

A

= ( 2 ) + ( 5 ) + (- 4) B

=3

C 2. SUMA DE DOS VECTORES (Método del paralelogramo). Para sumar dos vectores que tienen el mismo origen, se construye un paralelogramo, trazando por el extremo de cada vector una paralela al otro. Geométricamente el módulo del vector resultante se obtiene trazando la diagonal del paralelogramo desde el origen a los vectores El vector resultante es: R =A + B Su módulo:

 B R =A+ B  A





R=

A 2 B 2  2 AB cos

Su dirección

A B R = = sen β sen α Sen  γ

3

CASOS PARTICULARES 1. RESULTANTE MÁXIMA. La resultante de dos vectores es máxima cuando forman entre sí un ángulo igual a cero, por consiguiente tienen igual dirección y sentido. Rmax = A + B 2. RESULTANTE MÍNIMA. La resultante de dos vectores es mínima cuando forman entre sí un ángulo igual a 180° por consiguiente tienen sentidos opuestos, Rmin = A - B 3. USO DEL TEOREMA DE PITAGORAS. Cuando los vectores A y B forman entre si un ángulo de 90°, la resultante de estos dos vectores se obtiene utilizando el teorema de Pitágoras.

R  A2  B 2 SUMA DE N VECTORES (Método del polígono). Consiste en construir un polígono con los vectores sumandos, manteniendo constante sus tres elementos (módulo, dirección y sentido), uniendo el origen del segundo vector con el extremo del primero, el origen del tercero con el extremo del segundo, así sucesivamente hasta el último vector. El módulo del vector resultante se determina uniendo el origen del primero con el extremo del último vector.

R =A+ B + C + D D A

C

D A C

B B POLIGONO CERRADO. Si el polígono vectorial resulta cerrado, entonces el módulo del vector resultante es igual acero. R=0 DIFERENCIA DE VECTORES. La diferencia o sustracción de vectores se expresa en términos de la suma de vectores y del opuesto de un vector. Por definición: D = A - B = A + (- B) En la figura se muestra la sustracción de vectores B

A D =A- B

-B

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VECTOR UNITARIO. Es aquel vector cuyo módulo es la unidad de medida y tiene por misión indicar la dirección y sentido de un determinado vector. El vector unitario se define como la relación del vector A entre su módulo. Vector: A = A u vector unitario: u



En dos dimensiones: En tres dimensiones:

A A

A  Axi  A y j ;

y

A  Axi  Ay j ; Az k

A  ( Ax ) 2  ( A y ) 2 ;y

A  ( A x )2  (A y ) 2  ( A z) 2

En caso general:

u 

Axi  Ay j  Az k A  Ax    Ay    Az       i    j    k (cos  )i  (cos  ) j  (cos  )k  A A ( Ax ) 2  ( Ay ) 2  ( Az ) 2  A   A 

MULTIPLICACIÓN DE VECTORES Cuando sumamos cantidades escalares, los sumandos deben tener las mismas dimensiones, y la suma tendrá igualmente las mismas dimensiones: La misma regla se aplica a la suma y diferencia de dos cantidades vectoriales. Por otra parte podemos multiplicar cantidades escalares de dimensiones diferentes y obtener un producto de dimensiones posiblemente diferentes de cualquiera de las cantidades que han sido multiplicadas, por ejemplo: distancia = velocidad x tiempo. Como los escalares, los vectores de diferentes clases pueden multiplicarse por otro para generar cantidades de dimensiones físicas nuevas. A causa de que los vectores tienen tanto magnitud como dirección, el vector de multiplicación no puede seguir exactamente las mismas reglas que las reglas algebraicas de la multiplicación escalar. Debemos establecer nuevas reglas de multiplicación para los vectores. Consideramos útil definir tres clases de operaciones de multiplicación con vectores: (1) multiplicación de un vector por un escalar, (2) multiplicación de dos vectores de modo tal que den por resultado un escalar (producto escalar) y (c ) multiplicación de dos vectores de modo tal que den por resultado otro vector (producto vectorial). Existen aún otras posibilidades que no consideraremos aquí. MULTIPLICACIÓN DE UN VECTOR POR OTRO ESCALAR La multiplicación de un vector por un escalar tiene un significado sencillo: el producto de un escalar c y un vector A, escrito c A, se define que es un nuevo vector cuya magnitud de c multiplicado por la magnitud de A. El nuevo vector tiene la misma dirección que A si c es positivo y la dirección opuesta si c es negativo. Para dividir un vector por un escalar simplemente multiplicamos el vector por el reciproco del escalar . A menudo el escalar no el un número puro sino una cantidad física con dimensiones y unidades. Ejemplos 1) Si c = 5 unidades y A = 2 i + 3 j + 5 k, el nuevo vector será: P = c A = (5) (2 i + 3 j + 5 k) = 10 i + 15 j + 25 k 5

2) Cuál es la fuerza que actúa sobre un cuerpo de masa 5 kg que tiene una aceleración de (4 i + 5 j + 6 k) m/s2 Por la segunda ley de Newton tenemos: F = m a = (5 kg) (4 i + 5 j + 6 k)m/s2 = (20 i + 25 j + 30 k)kg.m/s2 F = (20 i + 25 j + 30 k) N PRODUCTO ESCALAR O PRODUCTO PUNTO O PRODUCTO INTERNO Dados dos vectores A y B dos vectores como se muestran en la figura siguiente: B  A El escalar o producto punto o producto interno A.B se define como el producto de sus módulos por el coseno del ángulo  que forman. Por lo tanto: A.B =

AB cos 

0  

Obsérvese que A.B es un escalar, un número, y no un vector. Casos particulares: i) Si  = 0°, entonces cos 0° = 1: A.B = A B cos 0° = A B ii) Si  = 90°, entonces cos 90° = 0: A.B = A B cos 90° = 0 iii) Si  = 180°, entonces cos 180° = -1: A.B = A B cos 180° = - A B Las propiedades del producto escalar son:  Propiedad Conmutativa: A.B = B.A  Propiedad distributiva del producto escala con respecto a la suma: A . (B + C) = A.B + A.C  Si m es un escalar: m (A.B) = (mA). B = A . (mB) = (A . B) m  Dos vectores son ortogonales cuando su producto escalar es cero: A.B = 0  Con respecto a los vectores unitarios: i.i = j.j = k.k = i i cos 0° = 1 i.j = j.k = k.i = i j cos 90° = 0  Si: A = Axi + Ayj + Azk y B = Bxi + Byj + Bzk, el producto escalar se define por: A . B = (Axi + Ayj + Azk).( Bxi + Byj + Bzk) = AxBx + AyBy + AzBz  Caso particular: Si A = Axi + Ayj + Azk, entonces. A . A = Ax2 + Ay2 + Az 2  Proyección de un vector : Sea A y B dos vectores no nulos. Sea además A = W1+ W2 , donde W1 es paralelo a A y W2 es perpendicular o ortogonal a A. i) W1 se llama la proyección de A sobre B o el vector componente de A según B, y se denota: W1= Proyección B A ii) W2 = A - W2 se llama el vector componente de A ortogonal a B 6

iii) Si A y B son vectores no nulos, entonces la proyección de A sobre B viene dado por:

A .B ) 2 B W1 = ProyecciónB A = B (

PRODUCTO VECTORIAL O PRODUCTO CRUZ O PRODUCTO EXTERNO Dados los vectores A y B como se muestra en el figura. C =Ax B

B

 A

Se define su producto vectorial o producto cruz o producto externo a otro vector C = A x B. El módulo de A x B es el producto de módulos por el seno del ángulo  que forman. La dirección de C = A x B es la perpendicular al plano que forman A y B, y su sentido es tal que A, B y C forman un triedro a derechas. Por lo tanto: C = A x B = (A B sen ) u

0  

Siendo u un vector unitario que indica la dirección y sentido del producto A x B. Si A = B, o bien si A tiene la misma dirección que B, sen  = 0, con lo que A x B = 0. Las propiedades del producto vectorial son: 1) El producto vectorial no es conmutativo: A x B = - B x A 2) El producto vectorial si es distributivo: A x (B + C) = A x B + A x C 3) Si m es un escalar: m (A x B) = (m A) x B = A x (m B) = (A x B) m 4) Con los vectores unitarios se cumple: i x i = j x j= k x k = 0 ixj=k j x i = -k jxk=i k x j = -i kxi=j i x k = -j 5) Dados: A = Axi + Ayj + Azk y B = Bxi + Byj + Bzk se encuentra que: i A x B = Ax Bx

j Ay By

k Az Bz

= (AyBz – AzBy) i - (AxBz – AzBx) j + (AxBy – AyBx) k

6) El módulo de A x B representa el área del paralelogramo de lado A y B. 1) Dos vectores son paralelos si su producto vectorial es cero: A x B = 0 PRODUCTOS TRIPLES

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Por medio de productos escalares y vectoriales de tres vectores A, B y C se pueden formar vectores de la forma: i) (A . B) C ii) A . ( B x C) se denomina triple producto escalar. iii) A x (B x C) se denomina triple producto vectorial. Se puede comprobar que: A  ( B x C) =

Ax Bx Cx

Ay Az By Bz Cy Cz

ANALISIS VECTORIAL 1. Dados los vectores: a = 3i – 2j, b = - 4i + j. calcular: (a) El vector suma y su modulo, (b) El vector diferencia y el ángulo que forma con el eje OX. (c) El vector c = 2a - 3b y el vector unitario que define la dirección y sentido de c. 2. Dos vectores de 6 y 9 unidades de longitud, forman un ángulo entre ellos de a) 0, b) 90, c) 60, d) 150 y d) 180. Encontrar la magnitud de su resultante y su dirección con respecto al vector más pequeño. 3. Encontrar el ángulo entre dos vectores de 10 y 15 unidades de longitud cuando su resultante tiene 20 unidades de longitud. Dibujar la figura apropiada. 4. Dos vectores forman un ángulo de 110. Uno de ellos tiene 20 unidades de longitud y hace un ángulo de 40 con el vector suma. Encontrar la magnitud del segundo vector y la del vector suma. 5. Encontrar las componentes rectangulares de un vector de 15 unidades de longitud cuando este forma un ángulo con respecto al eje positivo de las X de a) 50, b) 130 c) 230 y d) 310. 6. Tres vectores situados en un plano tienen 6, 5 y 4 unidades de longitud. El primero y el segundo forman un ángulo de 50, mientras que el segundo y el tercero forma un angulo de 75.Encontrar la magnitud del vector resultante y su dirección con respecto al vector mayor. 7. Se tienen dos fuerzas coplanarias y concurrentes cuyos módulos son: F 1 = 5 N y F2 = 7 N, que forman respectivamente los siguientes ángulos con el eje OX: 60 0 y – 300. calcular: (a) La fuerza resultante. (b) su modulo. (c) Angulo que forma con el eje OX. 8. Se tiene tres fuerzas concurrentes cuyos módulos son F1 = 6 kgf, F2 = 3 kgf y F3 = 4 kgf, que forman respectivamente, los siguientes ángulos con el eje OX: 45 0, 300 y -600. Las tres fuerzas están en el mismo plano. Calcular el módulo de la resultante y el coseno del ángulo que forman con el eje OX. 9. Si un vector forma con los ejes X e Y ángulos de 60 0 y tiene de módulo 4 unidades. Calcular: (a) Sus componentes coordenadas. (b) Angulo que forman con el eje Z. 10. Un vector tiene por origen respecto de cierto sistema de referencia el punto O(-1, 2, 0) y de extremo P(3, -1, 2). Calcular: (a) Componentes del vector OP. (b) Módulo y cosenos directores . (c) Un vector unitario en su dirección pero de sentido contrario. 11. Dados los vectores a(2,4,6) y b(1,-2,3). Calcular: (a) El vector suma a + b, su módulos y coseno directores. (b) El vector diferencia a – b y el vector unitario que define su dirección y sentido. 12. Dados los vectores: a(1,-1,2) y b(-1,3,4). Calcular: (a) El producto escalar de ambos vectores. (b) El ángulo que forman.

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13. Demuéstrese que si la suma y diferencia de dos vectores tienen el mismo módulo, entonces son perpendiculares. 14. Hallar el vector unitario , si las coordenadas son (5, 4,7) 15. Dados los vectores a(2,1,-3) y b(1,0,-2); hállese un vector unitario que sea perpendicular a ambos. 16. Dados los siguientes vectores: a = 1/7 (2i + 3j + 6k), b = 1/7(3i – 6j + 2k), c = 1/7 (6i + 2j – 3k), demuéstrese: (a) Que sus respectivos módulos valen la unidad. (b) Que son perpendiculares entre si. (c) Que c es el producto vectorial de a por b. 17. Si el producto vectorial de dos vectores a x b = 3i – 6j + 2k y sus módulos son 4 y respectivamente, calcular su producto escalar.

√7

,

18. Dados los vectores: a(2,-1,0), b(3,-2,1) y c(0,-2,1). Calcular: (a) ( a + b) . c (b) ( a – b) x c (c) (a x b) . c (producto mixto) = abc (d) ( a . b)c (e) (a x b) x c (doble producto vectorial). 19. Dados los vectores: a(1,0,-1), b(1,3,0), c(2,-1,1) y d(0,-2,-1). Calcular: (a) ( a . b) (c . d) (b) (a x b) . (c x d) (c) (a . b) (c x d) (d) (a x b) x (c x d). 20. Definido u sistema de referencia cartesiano en el plano OXY; y en el dos vectores unitarios cualesquiera u1 y u2 que forman los ángulos α y β respectivamente con la dirección positiva del eje OX. (a) Demostrar que: u1 = cosα i + senα j y u2 = cosβ i + senβ j 21. Dados los vectores a(1,3,-2 y b(1,-1,0). Calcular: (a) Su producto vectorial. (b) El área del paralelogramo que tiene a los dos vectores como lados. 22. Calcular el volumen del paralelepípedo de la figura sabiendo que O(1,0,2), A(3,2,4), B(2,6,8) y C(2,-3,1), expresado en metros.

23. Los tres vértices de un triangulo son: A(2,1,3), B(2,-1,1) y C(0,-2,1). Calcular: (a) Área del triangulo, (b) Angulo A. 24. Tres vértices de un paralelogramo ABDC tienen por coordenadas A(2,0,2), B(3,2,0), y D(1,2,-1). Calcular: (a) Las coordenadas del vértice C. (b) Área del paralelogramo. (c) Angulo en B. 25. Deducir la ley de los cosenos de un triangulo, por medio del producto escalar. 26. Deducir la ley de los senos de un triangulo por medio del producto vectorial.

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