Analisis Vectorial Ejercicios Resueltos en r2 utp PDF

Preview

Summary

Son ejercicios resueltos sobre análisis vectorial, donde se puede poner en practica lo aprendido la clase para recordar y hacer mas eficiente s examen...

Description

www.EjerciciosdeFísica.com

EJERCICIOS RESUELTOS ANALISIS VECTORIAL 1.

Hallar el coseno del ángulo que forman los

 12i  5j

vectores A

a)

16

b)

 3i  4 j

16

16

c)

65

16 55

a)

1 y 2

d)

1 y

B

a



(12, 5) (3, 2

36



2

a

B

12

cos



5

2

2

3

 4)

a



Rpta.

65

sabe

que:

b) 10

d) 8

e) 6

A

 (x  2)i  (4  x)j paralelos.

Hallar

y

x

2 1

Rpta.



2

 6x  12  8 2

el

 3j ,

valor de

m

B

 i  2j

 n,

de

 nB  C

a) 8

b) 7

d) 5

e) 4

m(2, 3)

c) 6

 n(1,  2)  ( 4,

1)

 2m  n  4  3m 2n 1    Resolviendo el sistema:

7m

0

 7 

m

 1

Sustituyendo:

 1)  n 

2(



8

Rpta.

y tal

2 2m  n  4  3m 2n 1   

 16  4x

x

Hallar

2i

Igualando componentes:

 2 4  x  x 4 2



Solución: c) 9

proporcionales debido a que son múltiplos:

x

 

el

Las componentes de ambos vectores deben ser

2x

0

forma que sea posible expresar la combinación

Solución:

x

a

Dados los vectores: A

 4i  j .

C

16

a) 12

x

a

1 y 2

4.

B  4i  xj son vectores valor positivo de “x”

x

 2a)  (a  2)(a  1) 

 3a 2  0  2  1 

lineal: mA se

2 y 3

 20

cos

Si

c)

3(

 ( 4)2

13(5)

2.

1 y 3

–2 y 3

6a  a  3a  2  0

A



b) e)

 2ai  (a  1)j valores de “a”.

2

A

cos

–2

B  0 

A



B

Por propiedad de perpendicularidad:

65

Solución: cos

 3i  (a  2)j ;

Si se sabe: A

Solución:

8

e)

3.

son perpendiculares determinar los

45

25

d)

B

y

Luego: m

4



n

5

n



6

Rpta.

1

www.EjerciciosdeFísica.com 5.

En

la

figura,

calcular

el

módulo

de

la

resultante del sistema de vectores:

7.

Dados

relación

a)

C 60º B

a) 6

11

b) 5

13

d) 6

13

e)

5

10



d) 16 u

c) 4

vectores

forman están

un

los

B?    2 sen    2 2    cot    2

B

A

 12 u

A

dos

magnitud

y

A

módulos

de

B

.

ángulo de

igual

¿En

los

qué

vectores

y A

     2 2   sec    2 2

b) cos

e)

2

c) tan

  

  2

13

Solución: Se sabe que:

Solución: Resultante total: R



3C

3



A



… (1)

B

2

B

2

 A2  B2  2AB cos 

B

2

A

 122  162  2(12)(16) cos 120º

A



A

B 

2



144

4



256



D



X

2

X



2





3

(4

13 )





6

13

 2,

5) y

b) 20 u

2

e)

2X



cos



2

S





4

1

2

5

2

5

6

3

4

1

(48)



cot

   2

2

cos

)



cos

)

(1

Rpta.

En

la

figura

expresar

c)

22 u

el

función de los vectores A y

vector

X

Y

en

B .

Y 2

A

2

25 u

X





1

a) (15

 12  20 

8



25

11B



3A

13B

b)

12

 18)

2

d)

14B

 5A

e)

14B

12

S



24 u

2

Rpta.

 3A

c)

11B

 3A

12

Solución:

X



3

B



6 Y



1

B como ejes coordenados: A



4 4 6

B



1

A

1

4 2 4

A



B

2 1 2

A



12

12

Utilizando A y

2



B

3

2

2X

(1

2

   2 2    2sen    2

Solución:

S

2

2X

2

2 cos

 6) .

C(5,

2

a) 18 u



cos

Rpta.

Hallar la superficie del triángulo formado por

los puntos A(3, 4) , B( 2

2

2

2X

1

r

R



 192

8.

d) 24 u

X

13

2

6.

2

 cos    r D 1  cos  S

Sustituyendo en (1): R

X

Dividiendo:

A

B

S



2 3

B

A

www.EjerciciosdeFísica.com Restando los vectores: X



1



Y

A



4

X

7

10.

6

14 B

Y

En

la

A y

 3A

Rpta.

12

2

a)

2

2



A

En la figura OPQR es un cuadrado, expresar vector

como

X

vectores A

y

combinación

lineal

de

2

2

B

2



 d) 2

B.

2

A

2A

 3B

3A

 2B

b)

c)

A

2



2

A

2



B

B

Sea “L” lado del cuadrado: P

Q

 2B

M

A

O

4

R

B

O

Solución: Por la ley del triángulo:

X  AB 

A

Q

A

B



N

2

 X  A B 

A



B

L

2

L.

A L

M

O



B



A

2

B



2

(A

 B)

2

2



B



A



R

2

(A

 B)  C 

C A

A

2

 2B 4

X

En el triángulo OSP: OS

B

2

X

OS

A

A

B

2



B

2

A

U OS

X

Luego:

R

B

Vector unitario en la dirección de OS : P

Pero observe que:

2OM

S

C

e) 3A

OM

B

Solución:

2

d)

R

O

B

2

N

 2B

S

C A

2

2

X

B

3A

cuadrado.

2 2



Q

A

4 3A

4

e) P

4

un

Q

A

2



2

2

a)

es

P

2



2

c)

los

B

2

2

el

OPQR

B .

 2

b)

9.

figura

Expresar el vector C en función de los vectores

B

C

3A  4

2B



2

 2

2

A



2 2

B

Rpta.

Rpta.

3

www.EjerciciosdeFísica.com 11.

En la figura OPQR expresar el vector X

como combinación lineal de los vectores A a) 3A

 2B

M

P

 3B 3 A  2B

y B.

5X



3A

2



2B

2

Q

3A



X

2A

X

12.

Utilizando los datos de la figura hallar el

N

 3B

producto escalar de los vectores A y

B

e)

B .

Y

4 3A

Rpta.

A

4

d)

2B

5

b) 4A

c)



 2B

R

O

5 B L

En el gráfico: M

P

A

3

Solución: 2

P

Q

M

Q

A

X

0

A

5

2

X

L

N

m

B

a) 0

b) 3

d) 9

e)

c)

–3

–9

Solución: O

R

R

O

Fig. 1

OQ



B

A



Fig. 2

A





2

OM

A



2B

2

 OQ

A



A

3A





A

 3i  3 j  (3,

B

 5i  2 j  (5,

3)

2)

El producto escalar será:

2



2

OM

 2B

y B :

Hallando los vectores A

A

2

 B  (3,



3) (5, 2)

A

2B

 15  6 9

B 

Rpta.

4

OM

Además:



L

2



2

L



4

2



  

m

5

2

 OPM) por relaciones métricas: 2  5  m X  L 5 5 

En la figura 2 (

L

L

L 2

13.

en

C

Hallar

mostrado, si (A

 B)  C  6



m

8

B

C

OM

3A

L

5

 5

 2B 4

L 2

4

29 .

OM

X 2

paralelepípedo

Y

Igualando vectores unitarios: X

el

4

Z

5

6

A

10

X

www.EjerciciosdeFísica.com Solución: Solución:

Ubicando coordenadas: Y

Vector unitario en la dirección de A :

(0, 8, 0)

U (0, 8, 6)

B

(0, 4, 0)

4

(10, 8, 0)

C

Z

4i

 A

U

U

(10, 0, 0)

A



4i

2





5j

3k

 ( 5)  32 2

 5 j  3k

A

50 1

 A

5

(4i

 5 j  3k)

2

X

El vector paralelo B , será: (10, 0, 6)

 10i  8 j  6k

A

B

B

3

U 

2

 10i  6k

Vector unitario en la dirección de C : U

10i

 C

10

U

1

 C

2



B

4j

(5i

15.

 2j)

29



C

U

C

 C

(5i

 2j)

 B)  C  6 (20i

2j)



6

29

a)

5

24

el

 5 j  3k)

1

 2i  aj  3bk

Rpta.

vector

b) 16

d) 40

e) 36

b

paralelo

cuyo módulo es 3 b)

3

2 .

(4i

 5 j  3k)

(4i

 5 j  3k)

a

(4i

 5j

3k)

d)

3

. c) 27

 3b)

, b)

 a  3b  0  2

a

0 b

2

b

6  b 2

b 6

:

2

b 6  0 3  2 

b b

3   2 

a a

9 4

Finalmente de acuerdo a las alternativas: ab



27

Rpta.

4 (4i

 5j

y

 B . Además: a  b  6

5

3

e)

A

Dados los vectores:

Sustituyendo con la condición a

5

c)

Rpta.

A

b



Hallar

(4i

 5 j  3k)

5

a) 7

4a

 16)  6(29)

 4i  5 j  3k ; 2

(4i

 5 j  3k)

 2ai  j  bk ; hallar el valor de “ab ”. Si

b

A

(4i

Por condición de perpendicularidad:

 8 j) (5i 

C

14.

2

Solución:

29

29 C (100

5

B

(2, a, C

2

29

En la condición:

(A

3



3

 ( 4)2

Expresión vectorial de C :

C

 

A

3k)

5

5

www.EjerciciosdeFísica.com 16.

Hallar

el

módulo

de

la

resultante

del

a)

12

b)

15

c)

16

d)

18

e)

20

Solución: Ubicando las coordenadas:

siguiente conjunto de vectores. Z

AB

 4i  3 j

BC

 4i  3j  12k

C(0, 0, 6)

Z

C(4, 0, 12)

P

O

U

12

Y

X

U

B(0, 10, 0)

A(8, 0, 0)

A(4, 0, 0)

Solución:

B(0, 3, 0)

Y

4

3

X

BC

T

AB

Restando coordenadas: AB

 8i  10 j

Por definición de vector unitario:

BC

 10j  6k

T

AC

R R



T

T



50

P

16) 2  12 2

(

R



20

Rpta. P

17.

Hallar

sabiendo



P

 4i 

 50    3j

4i  3 j

   4)2  32 

(



T

 40i  30 j

4i

 3 j  12k

5

 16i  12k 

AB

 8i  6 j

 AB  BC  AC

R

U

el