Ejercicios sobre rectas en R2 PDF

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Ejercicios rectas - 2018...

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE LA MATANZA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA E INVESTIGACIONES TECNOLÓGICAS ALGEBRA Y GEOMETRÍA ANALITÍCA I EJERCICIOS SOBRE RECTAS EN R2 1) Escribir la ecuación de la recta que pasa por el punto M= (-3, 2) y que   x = 2λ a) sea paralela a la recta dada por la ecuación r1 =  y = − 3λ x  b) sea perpendicular a la recta dada porr2 : − y = −1 −4 c) y tiene ordenada al origen -1. En cada caso realizar los gráficos a)    Sabemos que la ecuación de la recta viene dada por r = λ D + P0 con P0 un punto por el que pasa la misma y D su directriz, entonces como D es paralela (proporcional) al  (2, -3) y P0 no es otro que M, r resulta r1 = λ (2, − 3) + (−3,2)

b)

 x y Multiplicando la ecuación de r2 por -1 obtenemos + = 1 forma segmentaria de la 4 1  ecuación es decir r2 tiene directriz (4,-1) y para ser perpendicular a esta debemos elegir una directriz, por ejemplo el (1,4), de manera tal que el producto escalar (-4, 1). (1,4)=0,  de esta forma r resulta r2 = λ (1, 4) + (− 3,2)

c) Como y = m x + b para la ecuación sabemos que y = m x -1 . Como el (− 3,2) debe ser un punto de la recta 2 = m (-3) -1 de donde m = 3/-3=-1, por lo que la ecuación será  r3 / y = − x − 1

2) a) Hallar y graficar las rectas perpendiculares a la recta

x −1 = y − 4que determinan con 5

los ejes coordenados un triángulo de área = 5 b) La ecuación de la recta que contiene al punto R= (-3, 1) siendo este el pie de la perpendicular trazada desde el origen de coordenadas a la recta buscada.  a) La directriz de r es (por ejemplo) v = (5,1) por lo que un vector perpendicular posible  es w = ( −1, 5) , le vamos a imponer 2 condiciones Condición de pendiente –b/a = -5/1 => b = 5 a Condición de área a.b/2 =5 de donde a 2 = 2, en consecuencia a = ± 2 y b= ± 5 2 , resultando la ecuación x y para la recta r1: + =1 y 2 5 2 x y r2: =1 + − 2 −5 2

b) como ra es perpendicular a rb y r b es proporcional al (-3,1) entonces podemos pensar al (1,3) por ejemplo como directriz de la recta ra , por lo que la misma puede expresarse como ra : (x, y) = β (1,3) + ( −3, ,1)

x y 3) Sea r : − = 1 Hallar: 4 3 a) La distancia desde el punto (-1,1) a dicha recta b) Los puntos de la recta r 1: x + y = 1 que distan 3 unidades de la recta r c) Las ecuaciones de las rectas paralelas a r que se hallen a distancia 3 de la misma. a) Recordando que la distancia de un punto a una recta de ecuación r: ax + + by + c = 0 ax1 + by1 + c con (x1, y1) las coordenadas del punto obtenemos se expresa como d = a2 +b2 3 (− 1) − 41− 12 19 d= = 5 32 + 42 b) Si R  r1 => R debe ser de la forma (x, 1-x) con x un número real arbitrario, por lo que la condición de distancia 3 nos lleva a la siguiente ecuación 3 x − 4 (1 − x) − 12 d = = 3 o lo que es lo mismo 32 + 42 31 1 7x − 16 = 15 por lo que 7x − 16 = 15 o 7x − 16 = −15esto nos lleva a x = o x = Por lo 7 7 tanto los puntos son (31/7, -24/7) o (1/7, 6/7).

c) Si r c debe ser paralela a r : 3x − 4 y + d = 0 con d a determinar podemos tomar cualquier punto de r por ejemplo el (4, 0) y pidamos que su distancia a r c sea 3 por lo que 3 4 − 4 .0 + d = 3→ 12+ d = 15 de donde d = 3 o d = − 27 d = 32 + 42 Por lo que las rectas serán r1 : 3 x − 4 y + 3 = 0 r 2 : 3x − 4 y − 27 = 0 4) Hallar m y n en reales tales que (si existen) las rectas del tipo mx + ny -2= 0 sean x y perpendiculares a la recta r : = 1 − y corte a los ejes coordenados positivos formando un 3 4 triángulo de área 6

x y + = 1 el vector directriz de r es por ejemplo el (3, -4) luego una recta 3 4 perpendicular a r será tal que la directriz de la misma sea perpendicular a la recta del gráfico, del mismo se puede ver que no hay valor posible para formar con los semiejes positivos un triángulo de área 6 (si corta a x no corta a y y otra tanto sucede si corta a y) Vamos a reformar el enunciado para que sea posible alguna solución esto es x y si r ´ : = 1 + en este caso la directriz será el (3,4), por ejemplo y una ecuación posible es 3 4 r´´: 3 x + 4 y + d = 0 a la que se impone la intersección con los semiejes positivos −d −d Esto es 3x 0 + d = 0→ x 0 = y para el otro semieje positivo 4y 0 + d = 0 → y 0 = 3 4 imponiendo la condición de área del triángulo determinado −d −d 6 = 3 4 => d 2=144 2

Si para r :...