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AD OGNI FORMA DIFFERENZIALE LINEARE DEFINITA NELLO SPAZIOSI PUÒ PENSARE ASSOCIATO:un campo vettoriale le cui componenti sono i coefficienti della forma differenziale; CONSIDERATA LA COPPIA DI PUNTI (A, B) IL VETTORE APPLICATO NEL PUNTO A E DI SECONDO ESTREMO B SI RAPPRESENTA CON: un segmento orienta...

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AD OGNI FORMA DIFFERENZIALE LINEARE DEFINITA NELLO SPAZIO SI PUÒ PENSARE ASSOCIATO: un campo vettoriale le cui componenti sono i coefficienti della forma differenziale; CONSIDERATA LA COPPIA DI PUNTI (A, B) IL VETTORE APPLICATO NEL PUNTO A E DI SECONDO ESTREMO B SI RAPPRESENTA CON: un segmento orientato; CONSIDERATA LA MATRICE I CUI ELEMENTI SONO TUTTI NULLI E CONSIDERATA UNA MATRICE ALE CHE ABBIA SENSO IL PRODOTTO O. A COSA È UGUALE IL SUDDETTO PRODOTTO? alla matrice O con elementi nulli CONSIDERATA LA MATRICE O I CUI ELEMENTI SONO TUTTI NULLI E CONSIDERATA UNA MATRICE A TALE CHE ABBIA SENSO IL PRODOTTO A O. A COSA È UGUALE IL SUDDETTO PRODOTTO?

alla matrice O con elementi tutti nulli DATA UN’APPLICAZIONE QUESTA È LINEARE: se conserva le combinazioni lineari dei vettori di una fissata base dello spazio vettoriale (condizione sufficiente); DATA UNA FUNZIONE (X)CONTINUA IN UN INTERVALLO [A, B]IL TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE ASSICURA CHE: La funzione integrale è una primitiva della funzione integranda DATA UNA FUNZIONE F (X) CONTINUA IN UN INTERVALLO [A, B]IL TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE ASSICURA CHE

la funzione integrale è una primitiva della funzione integranda; DATA UNA FUNZIONE F (X) CONTINUA IN UN INTERVALLO [A, B]IL TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE ASSICURA CHE la funzione integrale è una primitiva della funzione integranda; DATA UNA MATRICE QUADRATA DI ORDINE N, SE IL SUO RANGO È MASSIMO, OVVERO PARI A N, LA MATRICE: ha determinante non nullo ed è invertibile DUE PRIMITIVE DELLA STESSA FUNZIONE: differiscono per una costante; GEOMETRICAMENTE LE SOMME INTEGRALI RAPPRESENTANO La somma delle aree dei rettangoli inscritti e circoscritti alla curva se la funzione è positiva; IL (PRIMO) TEOREMA DELLA MEDIA ASSICURA l’integrale della funzione, diviso (b - a) è compreso tra il valore minimo e massimo della funzione; IL CRITERIO DI LEIBNIZ ASSICURA CHE LA SERIE ARMONICA ALTERNATA È: convergente IL DETERMINANTE DI UNA MATRICE QUADRATA IN CUI DUE COLONNE SONO TRA LORO PROPORZIONALI È: nullo; IL DETERMINATE DI UNA MATRICE DI ORDINE 2 È UGUALE: alla somma dei prodotti degli elementi delle due diagonali IL MODULO (O NORMA) DI UN SEGMENTO ORIENTATO RAPPRESENTA: un numero non negativo che

rappresenta la distanza tra i due punti, estremi del segmento orientato, rispetto ad una data unità di misura; IL PROBLEMA DI CAUCHY PER LE EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL PRIMO ORDINE ESPRIME: Il legame delle soluzioni dell’equazione differenziale con il dato iniziale; IL PRODOTTO RIGHE PER COLONNE DI DUE MATRICI È: Associativo e distributivo rispetto alla somma di matrici; IL PRODOTTO SCALARE DI DUE VETTORI REALI È la somma dei prodotti delle componenti di uguale posto dei due vettori ed è un numero reale; IL RISULTATO DELL’INTEGRAZIONE DEFINITA È: un numero; IL SOTTOSPAZIO GENERATO D S, <S> è l’intersezione di tutti i sottospazi contenenti S, ovvero il più piccolo sottospazio contenente S; IL TEOREMA DI CANTOR ASSICURA CHE: una funzione continua nell’intervallo chiuso e limitato (a, b) f è uniformemente continua; IL TEOREMA DI CRAMER ASSICURA CHE, DATO UN SISTEMA LINEARE DI N EQUAZIONI IN N INCOGNITE, IL SISTEMA AMMETTE UNA E UNA SOLA SOLUZIONE: se la matrice dei coefficienti è non singolare; IN UNA BASE DI AUTOVETTORI L’APPLICAZIONE LINEARE È DIAGONALIZZABILE E LA SUA MATRICE RAPPRESENTATIVA È una matrice diagonale che ha sulla diagonale gli autovalori corrispondenti agli autovettori della base

L’INTERSEZIONE DI UNA QUALUNQUE FAMIGLIA DI SOTTOSPAZI DI UNO SPAZIO VETTORIALE È: un sottospazio dello spazio vettoriale; L’UNIONE DI UN NUMERO FINITO DI SOTTOSPAZI DI UNO SPAZIO VETTORIALE È: in generale non è un sottospazio dello spazio generale, ma lo è il sottospazio generato LA BILINEARITÀ DEL PRODOTTO SCALARE SIGNIFICA CHE: è lineare rispetto ad entrambe le componenti; LA CURVATURA MISURA la variazione della tangente, ovvero misura quanto rapidamente la curva si allontana dalla retta tangente alla curva nel punto; LA DIMENSIONE DI UNO SPAZIO È:

L’ordine comune a tutte le basi di uno spazio vettoriale finitamente generabile e che non si riduce al solo vettore nullo; LA DIMENSIONE DI UNO SPAZIO È: L’ordine comune a tutte le basi di uno spazio vettoriale finitamente generabile e che non si riduce al solo vettore nullo; LA FUNZIONE GAUSSIANA: non si annulla mai e non interseca, quindi, l’asse delle ascisse. LA FUNZIONE RESTO È: l’errore che si commette, sostituendo la funzione f con il suo polinomio di Taylor di ordine n e centro LA MATRICE E LA SUA TRASPOSTA HANNO TRACCIA:

uguale perché gli elementi che sono sulla diagonale, per definizione di matrice trasposta, sono gli stessi che si trovano sulla diagonale della matrice di partenza LA PRIMITIVA DELLA FUNZIONE F(X)= COS X è: f(x) = sin x LA PROPRIETÀ ADDITIVA DELL’INTEGRALE, SE SI INTERPRETANO GLI INTEGRALI DEFINITI DI FUNZIONI POSITIVE COME AREE DI REGIONI PIANE DICE CHE: L'area dell’unione di due regioni piane, prive di punti in comune, è uguale alla somma LA SOMMA DI SUE SOTTOSPAZI È DIRETTA SE E SOLO SE: ogni suo elemento può scriversi in un unico modo come somma di un elemento dell’uno più un elemento dell'altro; LA TRACCIA DELLA MATRICE IDENTICA DI ORDINE 4 È PARI A: 4 LA TRACCIA DI UNA MATRICE È UGUALE: alla somma degli elementi della diagonale principale. LA TRASPOSTA DI UNA MATRICE TRIANGOLARE SUPERIORE È: Una matrice triangolare inferiore. LE IMMAGINI DEI VETTORI DI UNA BASE DELLO SPAZIO DI PARTENZA SONO un sistema di generatori per im LO SVILUPPO DI LAPLACE PER IL CALCOLO DEL DETERMINANTE DI UNA MATRICE QUADRATA DI ORDINE N DICE; che il determinante è uguale al prodotto degli elementi di una qualunque linea della matrice per i rispettivi complementi algebrici;

LO SVILUPPO DI LAPLACE PER IL CALCOLO DEL DETERMINANTE DI UNA MATRICE QUADRATA DI ORDINE N DICE che il determinante è uguale al prodotto degli elementi di una qualunque linea della matrice per i rispettivi complementi algebrici; PER ESPLICITARE I COEFFICIENTI BINOMIALI PRESENTI NELLA FORMULA DEL BINOMIO DI NEWTON, SI UTILIZZA il triangolo di Tartaglia dove ogni coefficiente è uguale alla somma dei coefficienti più vicini della riga precedente SE A UNA MATRICE SI SOSTITUISCE UNA LINEA CON UNA SUA COMBINAZIONE LINEARE DI LINEE AD ESSA PARALLELE, IL DETERMINANTE È: uguale a quello della matrice di partenza; SE LA DIMENSIONE DI V (SPAZIO VETTORIALE DI PARTENZA) È MAGGIORE DELLA DIMENSIONE DI V1 (SPAZIO VETTORIALE DI ARRIVO) UNA BASE DI V È NECESSARIAMENTE TRASFORMATA DALL’APPLICAZIONE LINEARE IN: un sistema di vettori linearmente dipendenti di V1 ; UN SOTTOSPAZIO 2 DIMENSIONALE È RAPPRESENTATO IN UN AMBIENTE 5 DIMENSIONALE DA: un sistema di 3 equazioni linearmente indipendenti; UN SOTTOSPAZIO VETTORIALE: è esso stesso uno spazio vettoriale con le operazioni indotte dalla spazio vettoriale; UN’APPLICAZIONE LINEARE CONSERVA SEMPRE la dipendenza dei vettori; UN’APPLICAZIONE LINEARE TRASFORMA IL VETTORE NULLO: sempre nel vettore nullo;

UN’EQUAZIONE DIFFERENZIALE DEL PRIMO ORDINE ESPRIME: un legame tra la funzione e la sua derivata;

UNA BASE DI UNO SPAZIO VETTORIALE È: un sistema di generatori linearmente indipendenti; UNA FUNZIONE CONTINUA IN UN INTERVALLO [a , b] È: integrabile secondo Riemann; UNA FUNZIONE MONOTONA IN UN INTERVALLO [A, B ] È: integrabile secondo Riemann; UNA MATRICE SI DICE QUADRATA DI ORDINE N SE: il numero delle righe è uguale al numero delle colonne e questo numero è pari a n; UNA SERIE CONVERGENTE: non è necessariamente assolutamente convergente;

3 LA CONVERGENZA UNIFORME DI SUCCESSIONI DI FUNZIONI CONTINUE HA LEGAMI MOLTO STRETTI CON L' INTEGRALE DI RIEMANN. QUALE DEI SEGUENTI È IL TEOREMA CHE RENDE VALIDA LA PRECEDENTE AFFERMAZIONE:

SIA (FN) UNA SUCCESSIONE DI FUNZIONI CONTINUE SU UN INTERVALLO [A, B], CHE CONVERGE UNIFORMEMENTE A G. ALLORA VALE: LIMITE DELL'INTEGRALE DA A A B DI FN(T) DT = INTEGRALE DA A A B DI G(T) DT . 4 DICIAMO CHE DUE FUNZIONI F E G SONO ORTOGONALI IN L 2 (A, B) QUANDO:

=0. 5 LA CONVERGENZA IN C^0([A, B]), DINFINITO) È LA CONVERGENZA UNIFORME

VERO. 6 DETERMINARE IL RAGGIO DI CONVERGENZA E L INSIEME DI CONVERGENZA DELLA SERIE DI POTENZE ∞∑N=1 XN/NA, DOVE A È UN NUMERO REALE POSITIVO.

IL RAGGIO DI CONVERGENZA È R = 1 PER OGNI VALORE A > 0. 7 LE DERIVATE PARZIALI SONO UTILI NELLA RICERCA DEI PUNTI DI MASSIMO E DI MINIMO DELLE FUNZIONI DI DUE VARIABILI.

VERO. 8 DETERMINARE LO SVILUPPO DI TAYLOR DI SECONDO GRADO CENTRATO NELL ORIGINE DELLA SEGUENTE FUNZIONE: F(X, Y) = SEN X SEN Y

F(X, Y) = XY + O(X2 - Y 2).

1 LEBESGUE COSTRUÌ UN' INTERA TEORIA DELLA MISURA, SULLA BASE DELLA QUALE COSTRUÌ:

LA DERIVATA CURVA DI LEBESGUE.

2 SIA DATA LA FUNZIONE F(X) DI CLASSE C∞ IN UN INTORNO DI X. LA SERIE DI TAYLOR AD ESSA ASSOCIATA PUÒ NON CONVERGERE E, SE CONVERGE, PUÒ NON CONVERGERE ALLA FUNZIONE F.

VERO. 9 IL DETERMINANTE DELLA MATRICE A DEI COEFFICIENTI ASSOCIATA ALL'EQUAZIONE DI UNA CONICA SI CHIAMA:

DISCRIMINANTE 10 LE CONICHE NON DEGENERI SI CLASSIFICANO COME DI SEGUITO RIPORTATO:

IPERBOLE, PARABOLA, ELLISSI 11 UNA FUNZIONE VETTORIALE F = (F1, . . . , FM) HA LIMITE SE, E SOLO SE, OGNI SUA COMPONENTE FJ HA LIMITE REALE PER OGNI J = 1, . . . , N

VERO 12 CONSIDERIAMO UNA FUNZIONE DI PRODUZIONE K = F(L, M), CHE METTE IN RELAZIONE LA QUANTITÀ DI FATTORI PRODUTTIVI LAVORO L E CAPITALE M IMPIEGATI NEL PROCESSO PRODUTTIVO E LA QUANTITÀ DI

PRODOTTO K OTTENIBILE DA ESSE

LA DERIVATA PARZIALE DELLA FUNZIONE DI PRODUZIONE RISPETTO A L MISURA LA VARIAZIONE DEL PRODOTTO K DOVUTA AD UNA VARIAZIONE DELLA QUANTITÀ DI LAVORO L IMPIEGATA E VIENE DEFINITA COME PRODUTTIVITÀ MARGINALE DEL LAVORO (PML) 13 SE F È DIFFERENZIABILE IN X0, ALLORA F …

È CONTINUA IN X0 14 LA REGOLA DEI PRODOTTI A CATENA DICE CHE:

LA DERIVATA DELLA COMPOSIZIONE DI DUE FUNZIONI È PARI ALLA DERIVATA DELLA PRIMA COMPOSTA CON LA SECONDA, PER LA DERIVATA DELLA SECONDA 15 SE UNA FUNZIONE F(X) É DERIVABILE IN X APPARTENENTE AD I E LA FUNZIONE G(Y) È DERIVABILE NEL Y = F(X) ALLORA LA DERIVATA DELLA FUNZIONE COMPOSTA È UGUALE A F'(G(X)) * G'(X)

VERO 16 L EQUAZIONE DELLA RETTA TANGENTE NEL PUNTO (X0, F(X0)) È:

Y = F'(X0)(X-X0) + F(X0) 17 QUALE DELLE SEGUENTI QUATTRO TERNE DI AFFERMAZIONI È ESATTA:

1. NON È DIFFICILE, CONOSCENDO LA DERIVATA IN UN PUNTO, RICAVARE L EQUAZIONE DELLA SUA TANGENTE PER QUEL PUNTO E TRACCIARLA. 2. L INSIEME DELLE TANGENTI SEGUE LA CURVA DELLA FUNZIONE, ACCOMPAGNANDOLA E METTENDO IN EVIDENZA IL SUO ANDAMENTO CRESCENTE O DECRESCENTE. 3. DALL ANALISI DEL GRAFICO DELLA DERIVATA SI POSSONO QUINDI TRARRE UTILI INFORMAZIONI SULL ANDAMENTO DELLA PRIMITIVA 18 DATA LA FUNZIONE F(X, Y) = X^2 + 3XY^2-2\SQRT{XY} + 1, DETERMINARE L'EQUAZIONE DEL PIANO TANGENTE AD ESSA NEL PUNTO P(1/2, 1/2)

Z = 3/4 X + 1/2 Y 19 IL POLINOMIO Q = X^2+3XY−6Y^2 :

È UNA FORMA QUADRATICA IN DUE VARIABILI 20 SE A È UNA MATRICE SIMMETRICA ALLORA LA FORMA QUADRATICA Q = X^T AX È:

SEMIDEFINITA NEGATIVA SE, E SOLO SE, OGNI AUTOVALORE DI A È NON POSITIVO ED ALMENO UNO È ZERO 21 SIA DATA LA FORMA QUADRATICA Q(X, Y) = 5X^2 + 4XY + 2Y^2 . LA MATRICE ASSOCIATA È ...

DEFINITA POSITIVA 22 SIA D = {(X, Y)APPARTENENTI AD [A, B] × IR : ALFA (X) MINORE O UGUALE Y MINORE O UGUALE A BETA(X)} UN DOMINIO NORMALE RISPETTO ALL'ASSE X …

NORMALE VUOL DIRE PERPENDICOLARE E NELLA DEFINIZIONE PRECEDENTE LE RETTE DI EQUAZIONE X = A ED X = B SONO PERPENDICOLARI ALL'ASSE DELLE X DA CUI IL NOME DOMINIO NORMALE RISPETTO ALL'ASSE X 23 DATO IL CERCHIO D DI CENTRO (R, 0) E RAGGIO R, CON R>0, CALCOLARE GLI INTEGRALI SULL’INSIEME D DELLA FUNZIONE F(X, Y) = RADQ(X^2 + Y^2)

32R^3/9 24 SIA U UN APERTO DI R^2 , E DICIAMO (X, Y) IL SUO GENERICO PUNTO. CAMBIARE LE COORDINATE IN U SIGNIFICA PASSARE A NUOVE COORDINATE U, V LEGATE ALLE VECCHIE DA UNA RELAZIONE DEL TIPO

X = Φ1(U, V) Y = Φ2(U, V) 25 DATO UN QUADRATO QΕ DI LATO Ε MOLTO PICCOLO CON UN VERTICE IN (U0, V0) …

TRAMITE UN CAMBIAMENTO DI VARIABILI Φ ESSO VIENE TRASFORMATO IN UN POLIGONO AΕ A LATI CURVILINEI 26 SI CALCOLI IL SEGUENTE INTEGRALE TRIPLO: INTEGRALET DI Z-RADQ(1-Y^2) DXDYDZ, {T=(X,Y,Z)/X^2+Y^2 <= 1; 0 <= Z <=1}

4/3 27 CALCOLARE L'INTEGRALE TRIPLO I∭T XY DXDYDZ ESSENDO T IL DOMINIO DEL 1° OTTANTE LIMITATO DELLA SUPERFICIE Y =2, Y - X2 + 4Z2

(8√2)/21 28 CALCOLARE L'INTEGRALE DOPPIO: I = ∭T (Z+1)/(1 + X2 + Y2) DXDYDZ, T= {(X,Y,Z)/X2 + Y2 ≤ 1,0 ≤ Z ≤ 1 }

3Π/2 LOG2

29 ENUNCIARE IL TEOREMA 2 (EQUAZIONI LINEARI OMOGENEE)

SE Λ1, E Λ2, SONO COSTANTI ARBITRARIE ED Y1 (X) E Y2 (X),(%) SONO SOLUZIONI DELL’EQUAZIONE OMOGENEA L(Y(X))=0 LO SONO PURE LE FUNZIONI Λ1 Y1 (X)+Λ2 Y2 (X) 30

ENUNCIARE IL COROLLARIO (PRINCIPIO D’IDENTITÀ) DEL TEOREMA (DELL’ESISTENZA E UNICITÀ) PER LE APPLICAZIONI LINEARI

SIA YS(X) LA SOLUZIONE DEL PROBLEMA DI CAUCHY, LN(Y(X))=0 OPPURE LN(Y(X))=F(X) CON I DATI INIZIALI Y(X0)=U1, Y' (X0)=U2, … ,Y(N-1) (X0)=UN E SIA YQ,(X) UNA FUNZIONE DI CN(I); CONDIZIONE NECESSARIA E SUFFICIENTE AFFINCHÉ RISULTI YQ(X)=YS(X), PER OGNI X APPARTENENTE AD I È CHE NEL PUNTO X LE DUE FUNZIONI YQ(X) ED YS(X) SIANO UGUALI INSIEME ALLE PRIME N-1 DERIVATE, OVVERO CHE SIANO VERIFICATE LE UGUAGLIANZE Y' Q(X0)=Y' S(X0) , … ,YQ(N-1) (X0)=YS(N-1) (X0). 1 - Definizione di Analisi Matematica: L'Analisi Matematica è quella disciplina che si interessa di questioni matematiche in cui sono correlati strettamente i procedimenti infiniti e i problemi di continuità - Euclide ha tutto nel suo spirito tranne la mentalità di analista, la sua parola d'ordine era antianalitica: Vero, anche se pone le basi di cio che è procedimento infinitoo continuità - Per Platone parlare di procedimenti infiniti, di continuità o di strumenti che non fossero la riga e il compasso era a dir poco blasfemo…: vero - Quando nel XIII secoloalcuni matematici si cimentano nello studio di equazioni di grado superiore al primo, si entra in un settore in cui si hanno prodromi di analisi, poiché si comincia quanto meno ad auspicare l'esistenza di qualcosa che ancora mancava: R e C, quando la soluzione non esisteva neanche come numero irrazionale…: Vero - Il calcolo che consente di determinare le tangenti a una curva, è: Il calcolo delle flussioni di

Isaac Newton - Comunque si separi la retta in due classi di punti, in modo tale che ciascun punto della prima preceda ciascun punto della seconda e tale che entrambe le classi esauriscano tutti i pinti della retta, se in tale situazione c'è un elemento della retta maggiore di tutti gli elementi della prima classe e minore di tutti gli elementi della seconda classe, si dirà che la retta è continua, se così non è la retta non sarà continua, è: L’assioma di Dedekind - Cantor ha dimostrato che: L'insieme delle parti di un insieme ha potenza superiore a quella dell'insieme stesso - Lebesgue costruì un'intera teoria della misura, sulla base della quale costruì: La derivata curva di Lebesgue - Il campo dei numeri iperreali: Esiste - Il concetto di limite: Permise l'analisi più approfondita di geometrie non euclidee e di spazi a dimensione maggiore di tre ——— 2 - Determinare il limite puntuale della seguente successione di funzioni e stabilire se la convergenza è uniforme: fn(x) = nx e−nx , x ∈ [0, 1]: converge ma non uniformemente a f(x) = 0 - Sia data la successione di funzioni fn(x)= 1 se 0 < x < 1 f(x)=0 se 1 n ≤ x ≤ 1 che converge ma non uniformemente a f(x) = 0. L'affermazione 'La funzione limite f è continua, mentre le funzioni fn sono discontinue su [0, 1]. Nonostante ciò non è possibile concludere che la convergenza non è uniforme. Infatti, si può concludere che la convergenza non è uniforme solo quando le funzioni fn sono continue e la funzione limite f non lo è.' è: Vera - Per ogni n ∈ N, n ≥ 1 siano kn = max{k ∈ N : 2k − 1 ≤ n}, In = [n + 1 − 2 kn 2 kn , n + 2 − 2 kn 2 kn]e fn: [0, 1] → R la funzione definita da fn(x) = ( 1 se x ∈ In, 0 se x ∈ [0, 1]\In: la successione (fn) non converge puntualmente in alcun punto di [0, 1] - Sia data la successione di funzioni fn(x) = nx1 + n2x 2, x ∈ [, 1] che converge ma non

uniformemente a f(x) = 0]. Si dimostra che limn IIfn − fkII∞ = 1/2: Vero - Una serie di potenze altro non è che una particolare serie di funzioni: Vero - Ogni serie di potenze con raggio di convergenza non nullo si deriva termine a termine, e il raggio di convergenza della serie derivata è uguale a quello della serie data: E’ un Teorema - La somma di una serie di potenze di raggio di convergenza non nullo è una funzione di classe C∞: E’ un Corollario - Le Funzioni di successione e le Serie successive di Funzioni sono l'argomento di questa videolezione: Falso - Sia data la funzione f(x) di classe C∞ in un intorno di x0. La serie di Taylor ad essa associata può non convergere e, se converge, può non convergere alla funzione f: Vero La serie di Taylor di centro 0 si chiama anche: Serie di McLaurin ——— 3 - Siano fn funzioni definite su un insieme A. Si dice che la successione (fn) converge uniformemente su A ad g quando: per ogni Ɛ > 0 esiste N² > 0 tale che per n > N² si ha |fn(x) − g(x)| < Ɛ² ∀x ∈ A - La convergenza uniforme di successioni di funzioni continue ha legami molto stretti con l’integrale di Riemann. Quale dei seguenti è il Teorema che rende valida la precedente affermazione: sia (fn) una successione di funzioni continue su un intervallo [a, b], che converge uniformemente a g. Allora vale lim ∫ba fn(t) dt = ∫ba g(t) dt - Sia f(x) una funzione della variabile reale x. Si dice che f(x) `e periodica di periodo T quando: • la funzione f(x) è definita in x + T se e solo se è definita in x. E' conseguenza di questo che per ogni numero intero n, la funzione è definita in x + nT se e solo se è definita in x. • per ogni x nel dominio della funzione, si ha f(x) = f(x + T) e quindi anche f(x) = f(x + nT) per ogni numero intero n.

- Lo studio delle serie di Fourier invece va fatto nell’insieme delle funzioni: a quadrato integrabile - Diciamo che due funzioni f e g sono ortogonali in L2 (a, b) quando: <f,g> = 0 - L'energia totale ottenuta sommando le energie di tutte le posizioni è uguale alla somma delle energie delle componenti di tutte le frequenze.: è vero - Una serie convergente si dice permutabile (o che gode della proprietà commutativa) se: ogni sua serie permutata converge, con la somma diversa - Teorema: Ogni serie a termini positivi convergente è permutabile: vero sempre - La convergenza in C0([a, b]), d∞) è la convergenza uniforme: è vero - Sia {xn} una successione convergente in (X, d). Allora: il limite è unico ——— 4 - Per le serie di potenze in campo complesso valgono teoremi analoghi a quelli validi in campo reale: è vero. La regione di convergenza di una serie di potenze in C è un cerchio (centrato in z0), il cui raggio si dice raggio di convergenza della serie. All'interno di tale cerchio la serie è uniformemente e assolutamente convergente. All'esterno non converge mai. Sulla circonferenza può convergere o no, a seconda dei casi, e c'è sempre almeno un punto singolare di f(z) - Esiste una completa equivalenza tra analiticità di una funzione in un punto e sua sviluppabilità in serie di Taylor in un suo intorno: sempre vero - Se un punto regolare z = z0 è uno zero di ordine n della funzione f(z), allora: la funzione si annulla in z0, o ciò che è lo stesso, f(z0) = 0 - Un punto singolare z0 si dice singolarità isolata della funzione f(z) se esiste un suo intorno, privato di z0, in cui f(z) è analitica.: è vero - Il punto singolare isolato z0 si definisce polo della funzione f(z) se: lo sviluppo in serie di Laurent intorno a z0 possiede un numero finito n di potenze negative

- Secondo Teorema di Weierstrass: una serie di potenze è, per ogni z interno al cerchio di convergenza, derivabile termine a termine n volte (con n arbitrario) e, quindi, essa è analitica all'interno del cerchio di convergenza - Determinare il raggio di convergenza e ...