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Warning: TT: undefined function: 32 Warning: TT: undefined function: 32 DATA UNA FUNZIONE, IL RAPPORTO INCREMENTALE ∆F/ ∆X È : ----> [f(x+h)-f(x)]/h UN PUNTO X0 SI DICE DI ACCUMULAZIONE PER UN INSIEME X SE: ----> ∀Iδ > 0 (piccolo) ∃x ∈X:|x-x0|<δ LA FUNZIONE ESPONENZIALE A...

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DATA UNA FUNZIONE, IL RAPPORTO INCREMENTALE ∆F/ ∆X È : ----> [f(x+h)-f(x)]/h UN PUNTO X0 SI DICE DI ACCUMULAZIONE PER UN INSIEME X SE: ----> ∀Iδ > 0 (piccolo) ∃x ∈X:|x-x0| La matrice A^T = ‖ a_i'j' ‖ di tipo n×m, ottenuta scambiando le righe di A con le colonne; IL PRODOTTO DI DUE MATRICI INVERTIBILI È: ----> invertibile e uguale a (AB)^(-1)=B^(-1) A^(-1) IL TEOREMA DI CRAMER ASSICURA CHE, DATO UN SISTEMA LINEARE DI N EQUAZIONI IN N INCOGNITE, IL SISTEMA AMMETTE UNA E UNA SOLA SOLUZIONE: ----> se la matrice dei coefficienti è non singolare; LA DIMENSIONE DI UNO SPAZIO È: ----> L’ordine comune a tutte le basi di uno spazio vettoriale finitamente generabile e che non si riduce al solo vettore nullo; DATO IL VETTORE (1,0) SI PUÒ SCRIVERE COME COMBINAZIONE LINEARE DEI VETTORI {(1,1),(0,1)} SECONDO GLI SCALARI: ---> a=1,b=-1 L’I-ESIMO VETTORE U_I DEL RIFERIMENTO B HA IN B TUTTE LE COORDINATE: ----> nulle tranne la i-esima; SE LA DIMENSIONE DI V (SPAZIO VETTORIALE DI PARTENZA) È MAGGIORE DELLA DIMENSIONE DI V' (SPAZIO VETTORIALE DI ARRIVO) UNA BASE DI V È NECESSARIAMENTE TRASFORMATA DALL’APPLICAZIONE LINEARE IN: ----> un sistema di vettori linearmente dipendenti di V'; LE IMMAGINI DEI VETTORI DI UNA BASE DELLO SPAZIO DI PARTENZA SONO ----> un sistema di generatori per imf; DATA L’APPLICAZIONE F:V → V' CON DIM V=N,DIM V'=M SI OSSERVA CHE: ----> Se l’applicazione è un isomorfismo allora m=n e la dimensione del nucleo è pari a zero, mentre quella dell’immagine è pari a m; LA RETTA PASSANTE PER IL PUNTO (5,-7) E ORTOGONALE AL VETTORE (1,2) HA EQUAZIONE CARTESIANA: ----> x+2y+9=0; L’EQUAZIONE CARTESIANA DELLA RETTA PASSANTE PER IL PUNTO (2,-1) E PARALLELA ALLA RETTA 2X+4Y-3=0 È: ----> x+2y=0. UNA FUNZIONE MONOTONA IN UN INTERVALLO [A,B] È: ----> integrabile secondo Riemann; GEOMETRICAMENTE LE SOMME INTEGRALI RAPPRESENTANO: ----> La somma delle aree dei rettangoli inscritti e circoscritti alla curva se la funzione è positiva; L’INTEGRALE DI UNA FUNZIONE È: ----> l’unico elemento di separazione degli insiemi:s(f)=sup{s(P):P partizione di [a,b]} S(f)=inf{S(P):P partizione di [a,b]} DATA UNA FUNZIONE F(X) CONTINUA IN UN INTERVALLO [A,B] IL TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE ASSICURA CHE: ----> la funzione integrale è una primitiva della funzione integranda; MEDIANTE IL METODO DI SOSTITUZIONE, PROVARE CHE L’INTEGRALE ∫1/√(5X-2) DX= ----> 2/5 √(5x-2)+c; UNA SERIE CONVERGENTE: ----> non è necessariamente assolutamente convergente; LA SOLUZIONE PARTICOLARE DELL’EQUAZIONE Y'' + Y' + Y = X È: ----> y (x)=x-1; L’INTEGRALE GENERALE, CALCOLATO CON IL METODO DELLA VARIAZIONE DELLE COSTANTI, DELL’EQUAZIONE Y''+Y= (COS^2) X È: ----> y (x) = c_1 cos x + c_2 sin x + sin^2 x + (cos^4 x)/3 - (sin^4 x)/3; DATA UNA FUNZIONE CONTINUA F: [A,B] → R IL SUO GRAFICO G È: ----> Il sostegno di una curva semplice e aperta di R^2; LA LUNGHEZZA DEI UNA CURVA CONTINUA Φ(T) : I → R^N È: ----> l'estremo superiore delle lunghezze delle poligonali inscritte, al variare di tutte le possibili poligonali; LA CURVATURA MISURA: ----> la variazione della tangente, ovvero misura quanto rapidamente la curva si allontana dalla retta tangente alla curva nel punto; LA FORMA DIFFERENZIALE DI R^3 : Ω = ((E^X) COS Y + YZ)DX + (XZ - (E^X) SIN Y)DY + XYDZ È: ----> esatta e quindi chiusa; L’INTEGRALE DI SUPERFICIE ∫_S X^2 - Y^2 + Y + 3Z^2 DS DOVE S È LA SFERA DI CENTRO L’ORIGINE DEGLI ASSI E RAGGIO R, È: ----> 4πr^4; DUE RETTE NELLO SPAZIO POSSONO ESSERE: ----> parallele, incidenti, complanari o sghembe. LA FUNZIONE F(X) = RADICE CUBICA DI X ESSA È: ----> Continua nel suo insieme di definizione, ma non derivabile. La La funzione, infatti, non è derivabile in x = 0 LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE IN UN PUNTO, GEOMETRICAMENTE È: ----> il coefficiente angolare della retta tangente nel punto al grafico della funzione; IL GRAFICO DI UNA FUNZIONE CONCAVA È POSIZIONATO; ----> Tutto al di sotto della retta tangente nel punto (x0, f(x0)) LO SVILUPPO SECONDO LA FORMULA DI MACLAURIN DELLA FUNZIONE COSENO PER N =4: ----> cos(x) = 1- (x^2/2!) + (x^4/4!) + R_4(x) CONSIDERATA LA MATRICE A=‖A_IJ ‖ _ (I=1,…,M J=1,…,N) L’ENNUPLA ORDINATA A_I =(A_I1,…,A_IN )∈ K^N SI CHIAMA: ---> i-esima riga della matrice A;

UNA MATRICE A= ‖A_IJ ‖ SI DICE SIMMETRICA SE: ----> è una matrice quadrata di ordine n che coincide con la rua trasposta A=A^T, ovvero tale che a_ij = a_ji, ∀(i,j) LA TRACCIA DI UNA MATRICE È UGUALE: ----> alla somma degli elementi della diagonale principale. IL SISTEMA DI VETTORI S={(2,2,1,1); (2,2,1,1); (0,0,0,0)} ----> è certamente linearmente dipendente perché contiene il vettore nullo; GLI SCALARI TALI CHE: (1,-2,5)=A(1,-3,2)+B(2,-4,-1)+C(1,-5,7) ----> non esistono scalari che soddisfino quella uguaglianza perché il sistema di equazioni che si ottiene è incompatibile; IL MODULO (O NORMA) DI UN SEGMENTO ORIENTATO RAPPRESENTA: ----> un numero non negativo che rappresenta la distanza tra i due punti, estremi del segmento orientato, rispetto ad una data unità di misura; NELLA DISUGUAGLIANZA DI CAUCHY-SCHWARZ |U∙V| ≤ ‖U‖ ‖V‖, ∀U,V∈V SI HA CHE: ----> l’uguaglianza vale se e solo se i due vettori sono dipendenti; IL PRODOTTO SCALARE DI DUE VETTORI È ANCHE UGUALE A: ----> u∙v=‖u‖‖v‖ cos φ UN’APPLICAZIONE LINEARE TRASFORMA IL VETTORE NULLO: ----> sempre nel vettore nullo; DUE RETTE NEL PIANO POSSONO ESSERE: ----> incidenti, parallele o coincidenti; L’EQUAZIONE X^2+Y^2+6X-2Y+12=0 ----> non rappresenta una circonferenza; LA DISTANZA TRA I DUE FUOCHI DELL’ELLISSE È: ----> |F_1 F_2 |=2c MEDIANTE LA FORMULA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE SI PROVA CHE... ----> 2 LA FUNZIONE GAUSSIANA: ----> non si annulla mai e non interseca, quindi, l’asse delle ascisse. LE SOLUZIONI DELL’EQUAZIONE DIFFERENZIALE Y' = (1-Y)/X SONO: ----> y(x) = 1 + c/x LE SOLUZIONI DELL’EQUAZIONE LINEARE DI II GRADO OMOGENEA A COEFFICIENTI COSTANTI Y''-Y'=0 SONO: ----> c_1 + c_2 e^x; LE SOLUZIONI DELL’EQUAZIONE LINEARE DEL QUARTO ORDINE Y^IV - Y''' = 0 SONO: ----> y(x) = c_1 e^x + c_2 x^2 + c_3 x + c_4; LO SPAZIO DUALE DI R^N È: ----> L’insieme di tutti i funzionali lineari da R^n a R e ha la stessa dimensione di R^n; AD OGNI FORMA DIFFERENZIALE LINEARE DEFINITA NELLO SPAZIO R^3 SI PUÒ PENSARE ASSOCIATO: ----> un campo vettoriale le cui componenti sono i coefficienti della forma differenziale; LA FORMA DIFFERENZIALE: Ω = SINXDX + COSYDY È: ----> esatta e quindi chiusa; NELLA DEFINIZIONE DI SUPERFICIE REGOLARE LA CONDIZIONE CHE I VETTORI COLONNA SONO LINEARMENTE INDIPENDENTI EQUIVALE A: ----> φ_u (u,v) ⋀φ_v (u,v)≠0 SIA F: T ⊂ R^3 → R^3 UN CAMPO VETTORIALE E S UNA SUPERFICIE LIMITATA DA T, L’INTEGRALE DI DIV F SU T MISURA : ---> il flusso totale uscente da T per unità di tempo; DATI DUE VETTORI, IL LORO PRODOTTO VETTORIALE È: ----> un vettore; IL LEGAME TRA LA CONTINUITÀ E LA DERIVABILITÀ DI UNA FUNZIONE È ESPRESSA DALLA IMPLICAZIONE: ----> f derivabile in x0 → f continua in x0 COSIDERATA LA FUNZIONE Y= (X^2-1)/(X^2+1) LA SUA DERIVATA È (DERIVATA DI UNA FUNZIONE COMPOSTA): ----> 4x/ (x^2+1)^2 I PUNTI DI MASSIMO E DI MINIMO: ----> Annullano la derivata prima IL DETERMINATE DI UNA MATRICE DI ORDINE 2 È UGUALE ----> alla differenza dei prodotti degli elementi delle due diagonali; LA MATRICE E LA SUA TRASPOSTA HANNO TRACCIA: ----> uguale perché gli elementi che sono sulla diagonale, per definizione di matrice trasposta, sono gli stessi che si trovano sulla diagonale della matrice di partenza; IL LEMMA DI STEINITZ ASSICURA CHE: ----> Tutti i sistemi linearmente indipendenti hanno al più lo stesso numero di vettori di una base; SE V=K^N E B È IL RIFERIMENTO STANDARD DI K^N, ALLORA C_B È ----> l’applicazione identica; IL PRODOTTO SCALARE DI DUE VETTORI REALI È ----> la somma dei prodotti delle componenti di uguale posto dei due vettori ed è un numero reale; L’INTERSEZIONE DELLA CONICA Y=2X^2 E DELLA CONICA X^2+Y^2+2Y-9=0 RAPPRESENTA: ----> l’intersezione di una parabola con concavità rivolta verso l’alto e di una circonferenza di centro C=(0,-1) e raggio r=√10. Le due curve si incontrano in due punti (1,2); (-1,2) L’IPERBOLE RIFERITA AGLI ASSI È: ----> un’iperbole i cui assi coincidono con gli assi cartesiani e ha equazione xy=k; MEDIANTE LE PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI TRIGONOMETRICHE, PROVARE CHE L’INTEGRALE ∫COS^3X DX= ----> sin x-( sin^3 x/ 3 )+c; LA FUNZIONE RESTO È: ----> l’errore che si commette, sostituendo la funzione f con il suo polinomio di Taylor di ordine n e centro x_0; LO SVILUPPO SECONDO LA FORMULA DI TAYLOR DI CENTRO X_0 = 2 IL POLINOMIO: F(X) = X^3 - 2X^2 + 3X + 5 È: ----> 11+7(x-2)+4(x-2)^2+(x-2)^3; DATA UNA FUNZIONE F CHE AMMETTE ENTRAMBE LE DERIVATE MISTE F_XY, F_YX, CONTINUE IN UN PUNTO (X_0,Y_0 ), SI HA: ----> f_xy (x_0,y_0 )=f_yx (x_0,y_0 )

LE SOLUZIONI DELL’EQUAZIONE LINEARE DI II GRADO OMOGENEA A COEFFICIENTI COSTANTI Y''+2Y'+1=0 SONO: ----> (c_1+c_2 x) e^(-x); SE IL ∆ DELL’EQUAZIONE CARATTERISTICA È NEGATIVO, LE SOLUZIONI DELL’EQUAZIONI SONO DATE DA: ----> y(x) = c_1 (e^αx) cos βx + c_2 (e^αx) sin βx, con α = -a/2, β = √(-Δ)/2; IL ROTORE DI UN CAMPO VETTORIALE F DI R^3 È: ----> il vettore di componenti ((∂F_3)/∂y - (∂F_2)/∂z, (∂F_1)/∂z (∂F_3)/∂x, (∂F_1)/∂y - (∂F_2)/∂x) LA PRIMITIVA DELLA FORMA DIFFERENZIALE: Ω = (2E^Y - YE^X )DX + (2XE^Y - E^X )DY È: ----> f(x,y) = 2x(e^y) - y(e^x); CONSIDERATA UNA GENERICA ELLISSE CENTRATA NEL CENTRO DEGLI ASSI X^2 / A^2 +. Y^2 / B^2 E IL SUO QUARTO NEL PRIMO QUADRANTE, L’AREA DELL’ELLISSE E IL BARICENTRO DEL QUARTO DI ELLISSE SONO: ----> m(E) = πab; B = (4a/3π; 4b/3π) ASSEGNATE DUE FUNZIONI DERIVABILI, LA DERIVATA DEL LORO PRODOTTO È: ----> f'g+fg' IL TEOREMA DI BINET AFFERMA CHE IL DETERMINANTE DEL PRODOTTO DI DUE MATRICI (SEMPRE CHE IL PRODOTTO ABBIA SENSO) È: ----> uguale al prodotto dei determinanti delle due matrici, scambiati di posto; IL SISTEMA OMOGENEO AMMETTE UN’UNICA SOLUZIONE: ----> se la matrice dei coefficienti è non singolare e la soluzione risulta quella banale; LA SOMMA DI SUE SOTTOSPAZI È DIRETTA SE E SOLO SE: ----> ogni suo elemento può scriversi in un unico modo come somma di un elemento dell’uno più un elemento dell'altro; SI CONSIDERI LA COMBINAZIONE LINEARE: A(1,-1,0,2)+B(0,2,-1,0)=0 ----> Il sistema di vittori è linearmente indipendente perché gli scalari sono nulli; IN UNA BASE DI AUTOVETTORI L’APPLICAZIONE LINEARE È DIAGONALIZZABILE E LA SUA MATRICE RAPPRESENTATIVA È: ---> una matrice diagonale che ha sulla diagonale gli autovalori corrispondenti agli autovettori della base; SE (Α,Β) SONO I NUMERI DIRETTORI DI UNA RETTA PER UN PUNTO (X_0,Y_0 ) SI HA CHE: ----> La retta è parallela all’asse delle ordinate se β=0; L’EQUAZIONE CARTESIANA DELLA RETTA PASSANTE PER IL CENTRO DEGLI ASSI E PERPENDICOLARE ALLA RETTA DI EQUAZIONE 2X+Y-1=0 È: ----> y=1/2 x CON IL METODO DI ADDIZIONE E SOTTRAZIONE, E CON IL METODO DI INTEGRAZIONE DELLE FUNZIONI RAZIONALI PROVARE CHE L’INTEGRALE ∫(X^2-5X+9)/(X^2-5X+6) DX= ----> x+3 log|(x-3)/(x-2)| +c ; DATA UNA F DERIVABILE N VOLTE IN X_0, IL RESTO R_N (X) È: ----> un infinitesimo in x_0 di ordine superiore a (x-x_0 )^n; LA SERIE DI TAYLOR DI CENTRO X_0=0 DELLA FUNZIONE F(X)=X^2+1 È: ----> 1 + x^2 LE SOLUZIONI DELL’EQUAZIONE DIFFERENZIALE Y' = -2Y SONO: ----> y(x) = ce^ (-2x); LA FORMA DIFFERENZIALE Ω= ((X-Y)DX+(X+Y)DY) / (X^2+Y^2 )^Α È CHIUSA IN R^3 - {(0,0)} SE Α È: ----> α=1; UNA FUNZIONE F CONTINUA IN UN INTERVALLO [A,B] E DERIVABILE IN ]A,B[ È MONOTONA STRETTAMENTE CRESCENTE SE E SOLO SE ----> f'(x)≥0, ∀x ]a,b[ e f'(x) non si annulla identicamente in alcun intervallo contenuto in ]a,b[ LA TRASPOSTA DI UNA MATRICE TRIANGOLARE SUPERIORE È: ----> Una matrice triangolare inferiore. CONSIDERATE A,B "MATRICI MOLTIPLICABILI,SI HA " (AB)^T=? ----> B^T A^T; DATA UNA MATRICE QUADRATA DI ORDINE N, SE IL SUO RANGO È MASSIMO, OVVERO PARI A N, LA MATRICE: ----> ha determinante non nullo ed è invertibile; IL SOTTOSPAZIO GENERATO DA S, ----> è l’intersezione di tutti i sottospazi contenenti S, ovvero il più piccolo sottospazio contenente S; DATA UNA RETTA AX+BY+C=0 I SUOI PARAMETRI DIRETTORI SONO: ----> (α,β)=(-b,a); IL TEOREMA DI CANTOR ASSICURA CHE: ----> f una funzione continua nell’intervallo chiuso e limitato [a,b] ⇒ f è uniformemente continua; MEDIANTE IL METODO DI INTEGRAZIONE PER PARTI, PROVARE CHE L’INTEGRALE: ∫LOG X DX= ----> (xlogx-x)+c; PER ESPLICITARE I COEFFICIENTI BINOMIALI PRESENTI NELLA FORMULA DEL BINOMIO DI NEWTON, SI UTILIZZA: ----> il triangolo di Tartaglia dove ogni coefficiente è uguale alla somma dei coefficienti più vicini della riga precedente. IL PROBLEMA DI CAUCHY PER LE EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL PRIMO ORDINE ESPRIME: ----> il legame delle soluzioni dell’equazione differenziale con il tempo; UN CAMPO GRADIENTE È: ----> mpo di R^3 uguale al gradiente di una qualche funzione di R^3; IL RISULTATO DEL SEGUENTE LIMITE È: LIM X → +∞ (2E^X + 5)/(6-4E^X) ----> applicando 1 volta il teorema di l’Hospital - 1/2 IN UNA MATRICE QUADRATA DI ORDINE N FORMANO LA DIAGONALE PRINCIPALE GLI ELEMENTI DI POSTO IJ TALI CHE: ---> i=j IL DETERMINANTE DI UNA MATRICE QUADRATA IN CUI DUE COLONNE SONO TRA LORO PROPORZIONALI È: ----> nullo;

L’UNIONE DI UN NUMERO FINITO DI SOTTOSPAZI DI UNO SPAZIO VETTORIALE È: ----> in generale non è un sottospazio dello spazio generale, ma lo è il sottospazio generato; UN SOTTOSPAZIO VETTORIALE: ----> è esso stesso uno spazio vettoriale con le operazioni indotte dallo spazio vettoriale; UNA BASE DI UNO SPAZIO VETTORIALE È: ----> un sistema di generatori linearmente indipendenti; DATO UN VETTORE U E UNO SCALARE A IL VETTORE A∙U HA: ----> stessa direzione di u e anche stesso verso se a>0, verso opposto se a ha dimensione due ed è rappresentato da W^⊥={(z-t,-1/3 z,z,t):z,t∈R} DATA UN’APPLICAZIONE LINEARE F:V → V' ----> ker f,imf sono rispettivamente sottospazi di V e V’; DATA UNA RETTA AX+BY+C=0 I COEFFICIENTI A,B, DELLA X E DELLA Y RISPETTIVAMENTE, HANNO IL SIGNIFICATO DI: ----> componenti di un vettore ortogonale alla retta; L’EQUAZIONE CARTESIANA DELLA RETTA PASSANTE PER I PUNTI (1,-1); (-1,2) È: ----> 3x+2y-1=0; IL DOMINIO DELLA FUNZIONE F(X)=√(Y-X^2 ) È: ----> Le coppie dei punti (x,y) del piano che si trovano al di sopra della parabola di equazione y=x^2; LA SOLUZIONE DELL’EQUAZIONE DI BERNULLI Y'=1/2Y - 1/Y SONO: ----> y(x) = 2 + ce^x; SIA Φ LA CURVA CHE HA COME SOSTEGNO IL GRAFICO Γ DELLA FUNZIONE F(X) = X^(3/2) PER X∈[1,4], LA LUNGHEZZA DELLA CURVA È: ----> L(φ) = 8/27 (10^(3/2)-(13/4)^(3/2)) IL DIFFERENZIALE DELLA VARIABILE INDIPENDENTE È UGUALE: ----> all’incremento della variabile stessa; LO SVILUPPO DI LAPLACE PER IL CALCOLO DEL DETERMINANTE DI UNA MATRICE QUADRATA DI ORDINE N DICE; ----> che il determinante è uguale al prodotto degli elementi di una qualunque linea della matrice per i rispettivi complementi algebrici; SI CONSIDERI IL SISTEMA W={(1,1,1,1); (2,2,1,1);(1,1,2,2)} ESSO È: ----> linearmente dipendente perché il terzo è combinazione lineare dei primi due; SI CONSIDERINO I SOTTOSPAZI DI R^5 GENERATI DA U=. W=. LA DIMENSIONE DI U E W È: ----> dim U=2, dim W=2 UNA BASE DELL’INTERSEZIONE DEI DUE SOTTOSPAZI È DATA DA: ----> {(3,-3,2,1)} L’ELLISSE HA ECCENTRICITÀ: ----> e 2π; IL CRITERIO DI LEIBNIZ ASSICURA CHE LA SERIE ARMONICA ALTERNATA È: ----> convergente. UN’EQUAZIONE DIFFERENZIALE DEL PRIMO ORDINE ESPRIME: ----> un legame tra la funzione e la sua derivata; LA SOLUZIONE PARTICOLARE DELL’EQUAZIONE Y'' - 2Y' + Y = SIN X+COS X È: ----> y (x)= 1/2 (cosx-sinx ); INTERSECANDO L’EQUAZIONE DELLA SFERA CON IL PIANO COORDINATO XY SI OTTIENE: ----> l’equazione della circonferenza , giacente sul piano xy, con centro l’origine e raggio GEOMETRICAMENTE IL TEOREMA DI LAGRANGE ASSICURA CHE: ----> la pendenza della retta tangente nel punto c è uguale alla pendenza della retta passante per gli estremi della curva e secante la stessa LA FUNZIONE LOGARITMO È: ----> Strettamente monotona crescente x > 0 CONSIDERATA LA COPPIA DI PUNTI (A,B), IL VETTORE APPLICATO NEL PUNTO A E DI SECONDO ESTREMO B SI RAPPRESENTA CON: ----> un segmento orientato; L’EQUAZIONE X^2+3XY+2Y^2+1=0 SECONDO LA CLASSIFICAZIONE METRICA RAPPRESENTA: ----> Un’iperbole perché la matrice M_33 ha determinante negativo; LA CONICA X^2-2Y=0 HA NEL PUNTO P=(2,2) ----> y=2x-2; IL RISULTATO DELL’INTEGRAZIONE DEFINITA È: ----> un numero; IL (PRIMO) TEOREMA DELLA MEDIA ASSICURA CHE: ----> l’integrale della funzione, diviso (b-a) è compreso tra il valore minimo e massimo della funzione; RIFERENDOSI AGLI INTEGRALI NOTEVOLI, SI PROVA CHE: ∫COS X/SIN X DX= ----> log|sin x |+c. IL DOMINIO D={( X,Y) ∈ R^2 :0 ≤ X ≤ 2, 0 ≤ Y ≤ √(2X-X^2 )} È: ----> normale rispetto all’asse delle ascisse; L’INTEGRALE DI FLUSSO È: ----> ∫_S (f∙n) dS e misura il flusso, per unità di tempo attraverso S nella direzione di n I VETTORI (1,1),(0,1) SONO: ----> Sono una base perché sistema linearmente indipendente massimale. SIANO B=(U_1,U_2,…,U_N ), B'= (V_1,V_2,…,V_N ) BASI ORDINATE DI UNI SPAZIO VETTORIALE V. LA MATRICE DEL CAMBIAMENTO DI BASE DA B A B' ----> ha come i-esimo vettore colonna è dato dalle componenti del vettore u_i nella base B'; CONSIDERATA LA COPPIA DI PUNTI (A,B), IL VETTORE APPLICATO NEL PUNTO A E DI SECONDO ESTREMO B È CARATTERIZZATO DA: ----> Da un modulo (o norma), una direttrice, un verso; DATA LA FUNZIONE PERIODICA F(X) DI PERIODO 2Π, TALE CHE F(X)=X,∀X∈[-Π,Π [. I SUOI COEFFICIENTI DI FOURIER SONO: ---> a_0=0; a_0=0 ∀k; b_k=(-1)^(k+1)∙(2/k)

L’INTERSEZIONE DI UNA QUALUNQUE FAMIGLIA DI SOTTOSPAZI DI UNO SPAZIO VETTORIALE È: ----> un sottospazio dello spazio vettoriale; UN’APPLICAZIONE LINEARE CONSERVA SEMPRE: ----> la dipendenza dei vettori; SI CONSIDERI L’INTERSEZIONE DELLA PARABOLA CON L’ASSE DELLE ASCISSE SE IL ∆=0 ----> L’unico punto di intersezione è il vertice della parabola e quindi il vertice ha coordinate V=(b/2a,0) IL GRADIENTE DELLA FUNZIONE F(X,Y)=3X+2Y NEL PUNTO È: ----> (3,2); VALGONO LE SEGUENTI IMPLICAZIONI: ----> f ∈ C^1 ⇒ f differenziabile ⇒ f ∈ C^0 ⇒ f continua IL TEOREMA DELLA DIVERGENZA FISICAMENTE DICE: ----> che il flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie chiusa S (orientata verso l’esterno) è uguale all’integrale della divergenza del campo esteso al volume V delimitato da S UNA SUPERFICIE CARTESIANA È: ----> una superficie che ha come sostegno il grafico di una funzione f: R^2 → R; UN SOTTOSPAZIO 2 DIMENSIONALE È RAPPRESENTATO IN UN AMBIENTE 5 DIMENSIONALE DA: ----> un sistema di 3 equazioni linearmente indipendenti; DUE PRIMITIVE DELLA STESSA FUNZIONE: ----> differiscono per una costante; L’ESSERE (X_0,Y_0 ) UN PUNTO DI MASSIMO O DI MINIMO RELATIVO INTERNO AL DOMINIO D DELLA FUNZIONE DI DUE VARIABILI DOTATA DI DERIVATE PARZIALI PRIME IN (X_0,Y_0 ), CHE SI ANNULLANO NEL PUNTO; F_X (X_0,Y_0 )=F_Y (X_0,Y_0 )=0 ----> è una condizione necessaria; LA SOLUZIONE PARTICOLARE DELL’EQUAZIONE Y'' - Y' + Y = E^2X È: ----> y (x)= (e^2x)/3; UNA FORMA DIFFERENZIALE Ω: X ⊆ R^N → (R^N)* SI DICE ESATTA IN X SE: ----> esiste una funzione differenziabile f: X ⊆ R^n → R tale che df=ω; COSIDERATA LA FUNZIONE Y= (X^2-1)/(X^2+1) LA SUA DERIVATA È (DERIVATA DI UNA FUNZIONE COMPOSTA): ----> 2x/ (x^2+1) CONSIDERATA LA FUNZIONE Y = LOG (X^2+1) LA SUA DERIVAGTA È (DERIVATA DI UNA FUNZIONE COMPOSTA): ----> Parallela all’asse delle ascisse; LA RETTA TANGENTE AL GRAFICO DELLA FUNZIONE NEI PUNTI DI MASSIMO E DI MINIMO È: ----> f'(x)≥0, ∀x ]a,b[ e f'(x) non si annulla identicamente in alcun intervallo contenuto in ]a,b[ UNA FUNZIONE F CONTINUA IN UN INTERVALLO [A,B] E DERIVABILE IN ]A,B[ È MONOTONA STRETTAMENTE CRESCENTE SE E SOLO SE ----> il punto di ascissa x=-2 è un punto di minimo relativo DATA LA FUNZIONE F(X)=X^2+4X+6 ----> i-esima riga della matrice A; CONSIDERATA LA MATRICE A=‖A_IJ ‖ _ (I=1,…,M J=1,…,N) L’ENNUPLA ORDINATA A_I =(A_I1,…,A_IN )∈ K^N SI CHIAMA: ---> 4 LA TRACCIA DELLA MATRICE IDENTICA DI ORDINE 4 È PARI A: ----> nullo; IL DETERMINANTE DI UNA MATRICE QUADRATA IN CUI DUE COLONNE SONO TRA LORO PROPORZIONALI È: ----> è un sottospazio di R^n perché chiuso rispetto alla somma e al prodotto per uno scalare; L’INSIEME DEI VETTORI DI R^N CHE HANNO UNA COORDINATA FISSA UGUALE A 0. W={(X_1,X_2,…,0,…,X_N )} ----> Il sistema di vittori è linearmente indipendente perché gli scalari sono nulli; SI CONSIDERI LA COMBINAZIONE LINEARE: A(1,-1,0,2)+B(0,2,-1,0)=0 ----> un sistema di generatori linearmente indipendenti; UNA BASE DI UNO SPAZIO VETTORIALE È: ----> a=1,b=-1 DATO IL VETTORE (1,0) SI PUÒ SCRIVERE COME COMBINAZIONE LINEARE DEI VETTORI {(1,1),(0,1)} SECONDO...