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20/09/2016

CÁLCULO VECTORIAL

CÁLCULO VECTORIAL

Índice 1.- Introducción: escalares y vectores. 2.- Producto escalar. 3.- Producto vectorial. 4.- Campos escalares y vectoriales. 5.- Operadores diferenciales. 6.- Operadores integrales. 7.- Teoremas de Gauss y Stokes.

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BIBLIOGRAFÍA Carril; Prieto "Física I". Cap. 1, 2, 3, 4 y 5. De Juana. "Física general". Reverté. Marder. "Campos vectoriales". Cap. 1, 2 y 3. Marsden; Tromba. "Cálculo vectorial“. Scala; Riaza; Ortiz. "Cálculo vectorial aplicado". Cap. 1, 2, 4, 5 y 6. Snider. "Análisis vectorial". Cap. 1, 2, 3, 4 y 5. Terán, F; Viñuela, U; Arribas, E. "Magnitudes. Vectores. Campos". Tebar Flores. 1990.

1. INTRODUCCIÓN: ESCALARES Y VECTORES. Magnitudes escalares: Se caracterizan por un número y su correspondiente unidad. Magnitudes vectoriales: Quedan caracterizadas por su módulo, dirección y sentido.

Vector: Segmento orientado que queda definido por: A

O

Origen Extremo Dirección Sentido Módulo

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Z Vz  V

  k  i

VX

2

cos

X

Y

Vy

  j



  cos

2

  cos

2



 1

V x  V cos  V y  V cos 

V

2

 V x2  V y2  V z2

V z  V cos 

 V  V

x

 i  V

y

 j  V

z

 k

2 . PRODUCTO ESCALAR     A  B  A B cos



B  

A

Propiedades     A  B  B  A

       C  (A  B)  C  A  C  B          ( A  B )  (  A )  B  A  ( B )  ( A  B )       ( A  B ) C  A  ( B  C )

   A  B  0 s ii  = 2   A  A  A .A  a

2

  A  B  AxB x  A yB y  A zB z

Expresión analítica  A   B 

A B

x x

 i  A  i  B

y y

 j  A  j  B

z z

 k  k

cos  

  AB A.B

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3. PRODUCTO VECTORIAL  C

   C  A B sen

 B



 A

 Dirección: perpendicular al plano formado por  Sentido: Regla de Maxwell

  Ay B

Propiedades  A

   B   B     B )  C     ( A  B )  

 ( A

 A    A  ( B  C )     A  B  A   B

     ( A  B )  C  A  C    A  B  0 s ii  = 0   A  A  0

 B 

 C

Expresión analítica  A  A  B  B

 i   A  B  Ax Bx

   x i  A y j  A zk    x i  B y j  B zk

 j

 k

Ay By

Az Bz

4. CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES. Definición de campo: En una región del espacio existe un campo cuando en cada uno de sus puntos se puede definir una determinada propiedad escalar o vectorial. Es una magnitud física  definida unívocamente en cada punto del espacio y en cada instante de tiempo.

   (x , y, z ,t ) Casos particulares

Campo uniforme:

   (x , y, z )  Cte

Campo no uniforme:

   ( x, y , z )  Cte

Clasificación atendiendo al carácter de la magnitud que define el campo Campos escalares: Campos vectoriales:

   ( x, y, z ,t )   A  A( x, y, z, t )

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CAMPOS ESCALARES. Representación: Uniendo el conjunto de todos y cada uno de los puntos en los que toma el mismo valor la magnitud escalar definida. En una dimensión se llaman líneas equiescalares y en dos dimensiones superficies equiescalares. ¡¡IMPORTANTE!! Estas superficies no pueden tener puntos comunes. Dos líneas o superficies equiescalares nunca se pueden cortar o cruzar.

 2  1   3  2  

3

2

1

Significado Regiones del espacio en las que las líneas se dibujan más próximas corresponden a zonas en las que la variación de la magnitud escalar es más acusada que en regiones donde se dibujan más separadas.

Gradiente de un campo escalar ¿Cómo estudiar la variación de un campo escalar  (t), cuando nos desplazamos de un punto a otro? Si = (x)

Su variación queda determinada por su derivada

Si = (x,y,z)

Su variación se calcula a partir de la derivada direccional

Q P

R

La variación de altura por unidad de longitud depende de la dirección elegida.

Significado físico de gradiente Es un vector cuya dirección y sentido son los de máximo crecimiento del campo y cuyo módulo es igual a la derivada de la función campo en esa dirección

En el ejemplo, el gradiente de nivel está dirigido en la dirección PQ y su módulo es la variación que experimenta la altura por unidad de longitud en esa dirección

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Problema Calcular el gradiente del siguiente campo escalar

Problema Obtener el vector unitario normal en el punto de coordenadas (2,3,5), a

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Problema Encontrar las curvas de nivel del campo escalar

Los valores mayores, están representados por las zonas más claras.

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CAMPOS VECTORIALES. Representación: Se debe indicar, además del módulo, la dirección y sentido de la magnitud vectorial. Esto se hace mediante las líneas de campo, definidas como líneas tangentes en todos sus puntos a los vectores campo en cada punto.  F2  F1

P1

P2

P3

 F3 

P4 F4

El número de líneas de campo por unidad de superficie da idea del valor del módulo de la magnitud vectorial. A menor separación mayor es el valor del módulo de dicha magnitud. RELACIÓN ENTRE CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES

A todo campo escalar derivable se le puede asociar un campo vectorial que es el campo de su gradiente.

Campo de velocidades de un fluido turbulento

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5. OPERADORES DIFERENCIALES. Divergencia de un vector Supongamos un campo vectorial que atraviesa una superficie S inmersa en una región del espacio de volumen v. Se define la divergencia de dicho vector como:    1    F  lim v 0

v

 F  ds s

En coordenadas     F 0

Casos particulares

    F 0     F 0

Sumidero de campo Fuente de campo Campo solenoidal

Significado físico: Tendencia de un campo vectorial a diverger o a expansionarse desde un punto determinado

Expansión de un campo vectorial

La animación muestra el flujo de un campo vectorial, usando animación mediante texturas. La dirección del campo de velocidades se indicada por la correlación en las texturas. Cuando los patrones de la textura están animados, se mueven en la dirección del campo de velocidades. Este campo vectorial tiene una fuente en el origen, y el campo se de velocidades se expande, diverge del origen.

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La animación muestra una fuente de partículas. Las partículas aparecen en el centro del cono, y después bajan el cono bajo influencia de la gravedad. El campo vectorial de las velocidades de las partículas, se dirige hacia fuera del centro del cono, diverge del centro del cono.

Sumidero de un campo vectorial

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Problema Dado el campo vectorial divergencia del campo.

, obtener la

 Sea F : D  R 3  R 3 un campo vectorial diferenciab definido como  F x , y , z   xz,  y2 ,2 x2 y





    2x2 y  z  2 y   F   xz    y2  x y z









   F   x, y, z  z  2 y

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Rotacional de un vector Supongamos un campo vectorial continuo y derivable, y supongamos una superficie A en la que se ha trazado una curva cerrada que delimita un área S sobre A. Si se contrae c hasta coincidir con el punto P, podemos escribir

P

c

S

   1  F  dr  F  lim s 0 sc



A

En coordenadas

Si el campo vectorial es conservativo

   ∇×F = 0

Campo irrotacional

Significado físico: P

Tendencia de un campo a girar o formar remolinos en torno a un punto.

Problema Dado el campo vectorial rotacional del campo.

, obtener el

 Sea F : D  R 3  R 3 un campo vectorial diferenciable, definido como  F  x , y , z   xz ,  y 2 , 2 x 2 y



iˆ   F  x xz



ˆj  y y2

kˆ   2x 2 , x  4xy , 0 z 2x 2 y





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6. OPERADORES INTEGRALES. Circulación de un vector Supongamos un vector que realiza un desplazamiento diferencial . Se define la circulación elemental como   dC  F  d r En el seno de un campo vectorial podemos ir de un punto A a otro punto B a lo largo de infinitas curvas. Para cada una de ellas, la circulación del vector será, en general, distinta  F

A

B

 dr

Caso particular: potencial de un campo Partiendo de la relación entre campos escalares y vectoriales, habrá casos en los que podamos escribir : Función potencial  En estos casos se dice que la función vectorial Fderiva de un potencial

Cálculo de la circulación en este caso

 La circulación de Fes independiente del camino escogido

Circulación a lo largo de una curva cerrada

Un campo vectorial que deriva de un potencial se dice que es un campo conservativo.

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Problema Dada , obtener el trabajo realizado por dicha fuerza, al desplazar una partícula material desde el punto A(0,0,1) hasta B(1,1,3), a lo largo de la recta que une A con B. Z

?C

B A

C

Y

X

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Problema Considerar el campo vectorial , determinar: a. Si el campo vectorial es conservativo. b. En caso de que el campo sea conservativo, determinar la función escalar (energía potencial), de la cual deriva el campo dado.

Flujo de un vector a través de una superficie Supongamos una superficie S, en la que hay definido un campo vectorial Descomponiendo dicha superficie en pequeños elementos diferenciales caracterizados por el vector

 ds

 F

ds

Significado físico

Cantidad neta de líneas de campo que atraviesan una superficie >0

Fuente de campo

En función del signo ...