Espacio Vectorial y Transformaciones Lineales (Trabajo Impreso) PDF

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breve descripción del espacio vectorial y sus transformaciones lineales....

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I NST I T UT OT ECNOL ÓGI CODESONORA Ca mp u sNá i n a r i Al g e b r aL i n e a l < < As i g n a c i ó n1 9 > >

I D: 0 0 0 0 0 1 8 1 9 1 3 J e s u sEn r i q u eF e l i xRo j o

Gr u p o : 3 : 0 0P . M.

Ob r e g ó n , So n o r aa2 2d en o v i e mb r ed e2 0 1 7 . -

Espacio Vectorial

Un espacio vectorial real V es un conjunto de objetos, denominados vectores, junto con dos operaciones binarias llamadas suma y multiplicación por un escalar y que satisfacen los diez axiomas enumerados a continuación.

Notación. Si “x” y “y” están en V y si a es un número real, entonces la suma se escribe como

“x + y” y el producto escalar de a y x como ax. Antes de presentar la lista de las propiedades que satisfacen los vectores en un espacio vectorial deben mencionarse dos asuntos de importancia. En primer lugar, mientras que puede ser útil pensar en R2 o R3 al manejar un espacio vectorial, con frecuencia ocurre que el espacio vectorial parece ser muy diferente a estos cómodos espacios (en breve tocaremos este tema). En segunda instancia, la definición 1 ofrece una definición de un espacio vectorial real. La palabra “real” significa que los escalares que se usan son números reales. Sería igualmente sencillo definir un espacio vectorial complejo utilizando números complejos en lugar de reales. Este libro está dedicado principalmente a espacios vectoriales reales, pero las generalizaciones a otros conjuntos de escalares presentan muy poca dificultad.

Axiomas de un espacio vectorial. 1-

Si X pertenece a V y Y pertenece a V, entonces X+Y pertenece a V.

2-

Para todo X, Y y Z en V, (x+y)+z = x(y+z).

3Existe un vector |0 pertenece V tal que para todo X pertenece a V, X+0=0+X=X. 4-

Si x pertenece a V, existe un vector –x en V tal que x+(-x)=0.

5-

Si X y Y están en V, entonces x+y=y+x.

6-

Si x pertenece a V y a es un escalar, entonces ax pertenece a V.

7-

Si X y Y están en V y a es un ecalar, entonces a(x+y)= ax + ay

8-

Si X pertenece a V y a y b son escalares, entonces (a+b) x = ax+ by.

9-

Si X pertenece a V y a y b son escalares, entonces a(bx) = (ab)x.

10- Para cada vector X pertenece a V, 1x = x.

¿Qué es un vector?

Un Vector es un segmento de línea que con dirección y sentido, representa una magnitud física, forma parte fundamental de la Geometría, su representación grafica consiste en una flecha, cuya punta va dirigida en dirección a la magnitud del estudio. En estudios matemáticos avanzados, el vector tiene gran importancia, ya que se utiliza para el estudio de funciones y la resolución de problemas en las que se busca la representación numérica y grafica de una función.

Un vector posee las siguientes características:

Origen: Cuando un vector es usado, parte de un punto del cual tendrá como partirá para cumplir con su objetivo clave. Longitud: La cual es necesaria para el estudio matemático de la función en estudio, para obtenerla, es necesario calcular el módulo con los puntos de origen y llegada respectivamente elevados al cuadrado y dentro de una raíz.

Dirección: Esta se visualiza dependiendo de la orientación que tenga en el espacio. Puede ser creciente o decreciente dependiendo de la magnitud en estudio.

Sentido: Básicamente es hacia a donde apunta la punta de la flecha con la que es representado.

Un vector en estudios básicos se puede encontrar en el plano cartesiano, cuyas dos dimensiones permiten el estudio del comportamiento de puntos a fin de establecer parámetros y respuestas que den las respuestas de la función. Sin embargo, el estudio en 3D (en el espacio) se emplea vectores como ejes coordenados.

DEFINICION DE SUB ESPACIO VECTORIAL Sea H un subconjunto no vacío de un espacio vectorial V y suponga que H es en sí un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicación por un escalar definidas en V. Entonces se dice que H es un sub espacio de V. Existen múltiples ejemplos de sub espacio, sin embargo, en primer lugar, se demostrará un resultado que hace relativamente sencillo determinar si un subconjunto de V es en realidad sub espacio de V Teorema de sub espacio Un subconjunto no vacío de H de un espacio vectorial V es un sub espacio de V si se cumplen las dos reglas de cerradura: Reglas de cerradura para ver si un subconjunto no vació es un sub espacio i) ii)

Si x € H y y € H, entonces x + y € H. Si x € H, entonces αx € H para todo escalar α.

Es obvio que si H es un espacio vectorial, entonces las dos reglas de cerradura se deberán cumplir. De lo contrario, para demostrar que es un espacio vectorial, se deberá demostrar que los axiomas i) a x) de la definición cumplen bajo las operaciones de suma de vectores y multiplicación por un escalar definidas en V. Las dos operaciones de cerradura [axiomas i) y iv)] se cumplen por hipótesis, como los vectores en H son también vectores en V, las identidades asociativa, conmutativa, distributiva y multiplicativa [axiomas ii), v), vii), viii), ix) y x)] se cumplen. Este teorema demuestra que para probar si H es o no es un sub espacio de V, es suficiente verificar que: x + y y αX están en H cuando x y y están en H y α es un escalar.

PROPIEDADES DE SUB ESPACIO VECTORIAL 1). El vector cero de V está en H.2 2). H es cerrado bajo la suma de vectores. Esto es, para cada u y v en H, la suma u + v está en H. 3). H es cerrado bajo la multiplicación por escalares. Esto es, para cada u en H y cada escalar c, el vector cu está en H.

TRANSFORMACIONES LINEALES. Una transformación lineal es una función que tiene como dominio un espacio vectorial, y como contradominio también un espacio vectorial, y que además conserva las propiedades de linealidad de dichos espacios.

Definición. Sean V y W espacios vectoriales. Una transformación lineal T de V en W es una función que a cada vector satisface que i)

le asocia un único vector

, y que

y

ii)

El espacio vectorial V es el dominio de la función T, y el conjunto de vectores es el contradominio.

Considere la transformación T que va de a tal que ; ¿es T una transformación lineal? Verificamos si cumple las propiedades i) y ii). i)

ii)

Por lo tanto la función T es una transformación lineal. Para dos vectores particulares y , y la constante a = -5 ilustramos estas propiedades para la transformación dada. i)

ii)

Propiedades de una transformación lineal Propiedad 1 La imagen del vector nulo del dominio 0V es el vector nulo del codominio 0w: T (0V)=0w

Propiedad 2 La imagen del vector –v es igual al opuesto de la imagen de v: T (–v)= –T (v)

Propiedad 3 Consideremos r vectores del espacio vectorial V: v1, v2,…,vr ∈V Tomemos una combinación lineal en el dominio:

α1v1 + α2v2 + α3v3 +...+ αrvr

Donde αi ∈ R. Si aplicamos la transformación lineal F de V a W, teniendo en cuenta las propiedades enunciadas en la definición, resulta: F(α1v1+α2v2+α3v3+...+αrvr)=α1F(v1)+α2F(v2)+…+αrF(vr) Es decir que una transformación lineal “transporta” combinaciones lineales de V a W, conservando los escalares de la combinación lineal.

Núcleo de una transformación lineal Sea F: V→W una transformación lineal. Llamamos núcleo de F al conjunto de vectores del dominio cuya imagen por F es el 0W. Nu (F) = {v ∈ V | F (v) = 0W} El núcleo de una transformación lineal es un subespacio de V. Es decir que el núcleo de una transformación lineal está formado por el conjunto de todos los vectores del dominio que tienen por imagen al vector nulo del codominio. El núcleo de toda transformación lineal es un subespacio vectorial del dominio: 1.

dado

que

(para

probar

esto,

observar

que

). 2. Dados: 3. Dados: Se denomina nulidad a la dimensión del núcleo. Imagen de una transformación lineal Llamamos imagen de F al conjunto de vectores de W que son imagen de algún vector de V. Im (F) = {w ∈ W | w=F (v), v∈V} La imagen es un subespacio de W. La imagen de una transformación lineal está formada por el conjunto de todos los vectores del codominio que son imágenes de al menos algún vector del dominio. 

La imagen de toda transformación lineal es un subespacio del codominio.



El rango de una transformación lineal es la dimensión de la imagen.

Representación matricial de una transformación lineal Su definición Sean V y W dos espacios vectoriales de dimensión n y m, respectivamente, y sea

T: V→W una transformación lineal, entonces existe una

matriz A de orden m × n llamada matriz de transformación o representación matricial de T que satisface T(v) = Av para toda v en V. Representación Matricial de una transformación R 3 en R4 Si se tiene una transformación T: R3 → R4 dada por

La T representa la transformación, que será representada por AT, mientras que la matriz a su lado representa el vector original. El resultado es la transformación realizada. Para poder representarla de forma matricial lo que se debe obtener es la matriz de transformación. Ya que a la vez se obtiene, se pueden determinar otros datos como el núcleo y la imagen de la transformación.

Para este caso utilizando el resultado de la transformación, se puede determinar fácilmente la matriz de transformación, separando el vector original y determinando las operaciones que se realizaron.;

Y su representación quedaría como la matriz de trasformación multiplicando al vector

original

para

dar

como

resultado a la transformación:

Matriz de una transformación lineal

Si bien las transformaciones lineales pueden estudiarse sin hacer referencia alguna a las bases de los espacios dominio y codominio, un cálculo efectivo de las mismas exige el conocimiento de dichas bases.

Cualquier transformación lineal T: V W puede representarse mediante una matriz: T(x) = A x. La matriz A dependerá de las bases elegidas para V y W. La matriz de una transformación lineal queda determinada cuando se conocen una base ordenada de V, una base ordenada de W y los transformados de la base de V, en la base de W.

Supongamos que el espacio V tiene una base {v1, ..., vn} y el espacio W tiene una base {w1, ..., wm}. Entonces cualquier transformación lineal de V en W se representa por una matriz A m x n. Si T (vi ) = ai1 w1 + .... + aim wm, entonces la columna i de A es (ai1 .... aim )T

Aplicación de las transformaciones contracción y rotación

lineales:

reflexión,

expansión,

Existen ciertas propiedades básicas de las transformaciones lineales, las cuales si son tomadas en cuenta y aplicadas al momento de resolver un problema, pueden reducirlo un problema simple. La notación general utilizada para una transformación lineal es T: Rn. 1. Reflexión: Cuando un conjunto de puntos dados es graficado desde el espacio euclidiano de entrada a otro de manera tal que este es isométrico al espacio euclidiano de entrada, llamamos a la operación realizada la reflexión del conjunto de puntos dado. Esto puede realizarse también con respecto a la matriz, en tal

situación la matriz de salida es llamada la matriz de reflexión. La reflexión es realizada siempre con respecto a uno de los ejes, sea el eje x o el eje y. Esto es como producir la imagen espejo de la matriz actual. El proceso de reflexión: • Trasladar el punto establecido del plano al origen de coordenadas • Realizar los giros oportunos para hacer coincidir el vector normal al plano de reflexión con uno de los ejes de coordenadas; así el problema se reduce a una simple reflexión sobre alguno de los planos del sistema de referencia. 2. Expansión: Al igual que en la reflexión, también es posible expandir los puntos dados en una dirección particular. La expansión se realiza habitualmente para un cierto grado. Es como realizar una operación de multiplicación de los elementos del conjunto de puntos dados con un término escalar hacia la dirección donde tiene que ser expandido. Sea para un punto (2, 3) si el grado de expansión 2 es la dirección de y, entonces el nuevo punto obtenido es (2, 6). 3. Contracción: La contracción es el procedimiento inverso de la expansión. Aquí el punto es contraído en un determinado grado hacia una dirección dada. Sea el punto de entrada (4, 8) y este debe ser contraído para el grado dos en la dirección de x entonces el nuevo punto resulta ser (2, 8). Existen dos tipos de Transformaciones por Contracción • Cuando la comprensión es horizontal o en el eje x • Por lo contrario cuando la comprensión es vertical o en el eje y 0 < c < 1 4. Rotación: El término rotación tiene dos significados, ya la rotación de un objeto puede ser realizada con respecto al eje dado o al eje mismo. La rotación se realiza para un cierto grado el cual es expresado en forma de un ángulo. Asimismo, la rotación puede realizarse en la dirección de las manecillas del reloj, o inverso a las manecillas del reloj. Los ángulos de rotación positivos giran en sentido contrario de las manecillas del reloj y los ángulos negativos tienen una rotación en sentido de las manecillas

Bibliografía

http://conceptodefinicion.de/vector/ https://sites.google.com/site/sistemasalgebralineal/unidad-4---espaciosvectoriales/definicion-de-subespacio-vectorial-y-sus-propiedades https://sites.google.com/site/sistemasalgebralineal/unidad-4---espaciosvectoriales/definicion-de-espacio-vectorial https://prezi.com/j1zdfewrnefw/52-tranformaciones-lineales/ https://lineal2cx07.wordpress.com/2016/04/08/representacion-matricial-de-unatransformacion-lineal/ http://www.frsn.utn.edu.ar/GIE/TL/matriz.html https://aga.frba.utn.edu.ar/definicion-y-propiedades-de-las-transformacioneslineales/...