Resumen Tema 7 - Transformaciones Lineales PDF

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RESUMEN DEL TEMA 7 TRANSFORMACIONES LINEALES. AUTOVALORES Y AUTOVECTORES 7.1.-INTRODUCCION: En este capítulo abordaremos el estudio de las transformaciones lineales que aparecen con frecuencia en muchas aplicaciones del algebra lineal, en otras ramas de la matemática o de la ciencia. Serán funciones con dominio y codominio en espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo de escalares, que preservan las operaciones de suma y producto por un escalar. Estudiaremos algunas propiedades, definiremos Núcleo e Imagen de ellas, enunciaremos el teorema fundamental de las transformaciones lineales y mostraremos que toda transformación lineal, tiene asociada una matriz que permite expresarla en forma matricial. En particular n estudiaremos las transformaciones lineales de R que preservan la norma, llamadas isometrías Estudiaremos también los conceptos de autovalores, autovectores y autoespacios de una transformación lineal y de una matriz. Definiremos los conceptos de semejanza y diagonalización de matrices, y en particular para las matrices simétricas, la diagonalización ortogonal, conceptos necesarios para el estudio de la ecuación de segundo grado en dos y tres variables, asociadas a las cónicas y cuádricas, que estudiaremos en el siguiente tema 7.2.- TRANSFORMACIONES LINEALES Definición: Dados dos espacios vectoriales U y V sobre un mismo cuerpo de escalares K, y una función T : U V. Decimos que T es una transformación lineal si y solo sí verifica: 1 X,Y U TX Y TX TY 2

X

U,

K

TX

TX

Propiedades Si T : U V es una transformación lineal, entonces: P1 : T

UV siendo U

,

V

neutro de la suma en U y V respectivamente

P2 : T X T X P 3 : T 1 X1

2X2nXn

1T

X1

2T

X2nT Xn

Teorema 7.1: La transformación nula es una transformación lineal Teorema 7.2: La transformación identidad es una transformación lineal n m n Teorema 7.3. Sea Amxn y T : R R / X R , T X AX, entonces T es una transformación lineal 7.3.-NUCLEO E IMAGEN DE UNA TRANSFORMACION LINEAL Dada una transformación lineal T : U V Núcleo de una transformación lineal T Definición: Se llama núcleo de T y lo denotamos por NU T al conjunto de los vectores del espacio U (dominio de T) cuyo transformado (imagen por T) es el neutro de la suma del espacio V (codominio) Es decir: NU T X U/TX V Teorema 7.4: El núcleo de una transformación lineal T : U V es un subespacio de U Imagen de una transformación lineal T

Definición: Se llama Imagen de T y la denotamos por Im T al conjunto de los vectores del espacio V (codominio de T) que son los transformados (imágenes por T) de algún vector del espacio U. Es decir: Im T Y V/ X U TX Y Teorema 7.5: La imagen de una transformación lineal T : U V es un subespacio de V 7.4.- TEOREMA FUNDAMENTAL DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES Dados dos espacios vectoriales U y V sobre un mismo cuerpo K, B U1,U2, ,Un una base de U y W W1,W2, ,Wn V, entonces existe una única Transformación lineal T : U V tal que: T Ui Wi con i 1,2, ,n Es decir este teorema afirma que: Dados dos espacios vectoriales U y V sobre un mismo cuerpo de escalares, si conocemos los transformados de una base de U, y esos trasformados pertenecen a V, podemos asegurar que la transformación T : U V existe, es única y es lineal Ejemplo (de aplicación del teorema fundamental) 2 3 Determina T : R R tal que: T 1,1 2,0,3 y T 2,1 3,1,5 2 3 como B 1,1 ; 2,1 es una base de R y W 2,0,3 ; 3,1,5 R tal que: T Ui Wi con i 1,2 se cumplen las hipótesis del teorema fundamental, por lo que este nos asegura la existencia de una única T lineal 2 Para determinar la ley de T, debemos primero expresar un vector genérico de R como combinación lineal de los vectores de la base B y encontrar sus coordenadas respecto a esa base. x,y

1,1

1

2

2,1

1

x,y1 2 2, 1 2

22 x 1

1 2 x 1

1 1 y x 2 21 2y x 2

12 x

1

0 1y x

2

2

y

22 x yx

x y 2

T x,y T 1 1,1 2 2,1 T x,y 1T 1,12T 2,1

Aplicando T a x,y R Por ser T lineal

T x,y 2y x 2,0,3 x y 3,1,5 T x,y 4y 2x 3x 3y,x y,6y 3x 5x 5y

Reemplazo i y T Ui

realizando las operaciones

T x,y x y,x y,2x y

Es la ley de la T pedida

Wi

7.5.- MATRIZ DE UNA TRANSFORMACION LINEAL RESPECTO A UN PAR DE BASES DEL DOMINIO Y CODOMINIO n m n m Matriz de T : R R respecto a las bases canónicas de R y R respectivamente m n m n Sí U R y V R , y T : R R es una transformación lineal, y En I1,I2, ,In y n m E m I1,I2, ,Im las bases canónicas de R y R respectivamente, entonces podemos mxn asociarle a T una matriz A R de tal forma que: T X AX A la matriz Amxn se la denomina matriz de la transformación T asociada a las n m bases canónicas de R y R o representación matricial de T Podemos demostrar que A tiene como columnas a los transformados de la base canónica del n m dominio de T, R expresados en la base canónica del codominio (R ) 2 3 Vamos a mostrarlo para el caso particular de n 2 y m 3 con lo que T : R R y E2 I1,I2 1,0 , 0,1 ; E3 I1,I2,I3 1,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1 Si X

x y

1

x y

x

0

y

0 1

por ser E2 generador de R

2

Es decir: X xI1 yI2 2 Al ser E2 una base de R si asignamos T I1 I 1 y T I2 I2 Aplicando el teorema fundamental de las transformaciones lineales, T existe, es única y es lineal. Así que: TX T xI1 yI2 TX T xI1 T yI2 . Por linealidad de T TX xT I1 yT I2 . Por homogeneidad de T 3 2 3 3 Como T X R X R , en particular T Ii R i 1,2, y como E3 es la base canónica de R , tendremos que: a11 T I1

a11 I1 a21I2 a31I3

T I1

a21 a31

E3

a21 T I2

a21I1 a22I2 a23I3

T I2

Reemplazando estas expresiones en

T X x T I1

Si llamamos: A

E3

y T I2

a 11 a21 a21 a22

a22 a23

E3

E3

tenemos: a11 x a21

a21 y a22

a21 a22

a31

a23

a31 a23

, tendremos que: T X

a11 a21

x y

AX

a 31 a23 2 Podemos ver que A3 2 y que sus columnas son los vectores transformados de la base de R 3 (dominio de T expresados en coordenadas de la base canónica de R (codominio de T En consecuencia sí la expresamos en forma simbólica: A T I1 E3 / T I2 E3 n m Si generalizamos a una T : R R con En I1,I2, ,In y Em I1,I2, ,Im podemos mostrar que: / T In Em TX AX con Amxn T I1 Em / T I2 Em / Siendo Amxn matriz de T respecto a En I1,I2, ,In y Em I1,I2, ,Im bases canónicas de n m R y R respectivamente m n Matriz de T : R R : respecto a las bases B1 U1,U2, ,Un y n m B 2 V1,V2, ,Vm de R y R respectivamente De igual forma que lo hicimos anteriormente, podemos proceder para encontrar la matriz de una transformación respecto a un par de bases distintas de las canónicas 21V2 T U1 11V1 m1Vm T U1 B2 11, 21, , m1 T 22V2 T U2 12V1 m2Vm T U2 B2 12, 22, , m2 T T Un

1nV1

2nV2

mnVm

T Un

B2

1n,

2n,

, mn T

Es decir resolviendo cada una de las combinaciones lineales anteriores encontramos los valores de los coeficientes con lo cual habremos encontrado las coordenadas respecto de la base B 2, de los transformados de los vectores de la base B1 ( T Ui B2 . En consecuencia siguiendo el mismo criterio que para el caso de la matriz de T respecto a las bases canónicas, dichos vectores serán las columnas de la matriz de T respecto a las bases B1 y B2. Es decir si llamamos B a dicha matriz:

B T U1

B2

/ T U2

B2

/ / T Un

B2

. Entonces:

B

11

12

21

22

m1

m2

1n

2n

mn

Podemos observar que esta matriz B puede encontrarse resolviendo una ecuación matricial que es equivalente a los n sistemas de ecuaciones resultantes de las n combinaciones lineales de los T Ui . T U1 m1Vm 11V1 21V2 T U2

12V1

22V2

m2Vm

T Un

1nV1

2nV2

mnVm

En efecto, el conjunto de sistemas es equivalente a la ecuación matricial:

T U1 /T U2 / /T Un

/V2 / /Vm

V1

11

12

1n

21

22

2n

11

12

1n

21

22

2n

m1

m2

mn

V1/V2/ /Vm

B m1

m2

1

T U1 /T U2 / /T Un

mn

Como podemos observar ambos procedimientos arrojan el mismo resultado ya que son equivalentes. Esto vale en general para cualquier transformación lineal 7.6.-ISOMETRIA Definición Sea U un espacio vectorial con producto interno Dada la transformación lineal T : U U. Decimos que T es una Isometría si y solo si XUTXX Teorema 7.6: Si T : U U es una isometría, entonces T X TY X Y La demostración es trivial, en efecto: TX TY TX Y X Y por ser T lineal e isometría (hipótesis) Teorema 7.7: Si T : U U es una isometría, entonces X,Y

U, T X ,T Y

X, Y

Teorema 7.8: Si T : U U es una isometría, entonces Transforma bases ortonormales en bases ortonormales n

n

Teorema 7.9: Si T : R R es una isometría, entonces la matriz de T es ortogonal 7.7.- AUTOVALORES Y AUTOVECTORES Cambio de base Dado un espacio vectorial V, de dimensión finita, sabemos que existen infinitas bases para V. Sabemos también que las coordenadas de los elementos de V dependen de la base en la cual se expresen, por lo que muchas veces será conveniente realizar un cambio de base (cambio de coordenadas) como por ejemplo para poder graficar más fácilmente una curva si su ecuación cartesiana está referida a una cierta base que no permite graficarla de forma sencilla. Mediante la elección de otra base conveniente y el cambio a esta nueva base, permite una simplificación del problema, veremos precisamente en qué consiste esto, primeramente con ejemplos de espacios de

n

R para n 2 o n 3, para luego generalizar a cualquier espacio V 2 2 2 Sea V R y E2 I1,I2 base canónica de R y B V1;V2 otra base de R Dado el 2 T vector genérico de R X x,y , X xI1 yI2 donde x,y son las coordenadas del vector X respecto a la base canónica Asimismo sabemos que si queremos expresar el mismo vector X en la base B V1;V2 será: X sV1 tV2 siendo s,t las coordenadas del vector X respecto a la base B, XB Esta última expresión se puede expresar matricialmente de la siguiente forma: X PXB 1 Siendo P matriz cuyas columnas son los elementos de la base B y XB el vector columna de componentes s,t La ecuación 1 es la denominada ecuación de cambio de base ya que es la que relaciona las coordenadas de un mismo vector pero en dos bases distintas (la canónica y otra cualquiera B y permite pasar de unas coordenadas a las otras según los datos disponibles. Así si se conocen las coordenadas del vector respecto a la base B s,t , podemos calcular las coordenadas del vector respecto a la base canónica x,y realizando el producto PXB La matriz P es la denominada matriz de cambio de base, la que al estar constituida por columnas linealmente independientes, es inversible, por lo que: 1 XB P X 2 Esta última ecuación me permite calcular las coordenadas de un vector referidas a una base B, conocidas sus coordenadas referidas a la base canónica Ejemplo 1: Dada B 1,2 ; 1,3 y X 3,2 . Determina las coordenadas del vector X respecto a la base B El problema consiste en realizar un cambio de base (cambio de coordenadas) de la base canónica a la base B. Por lo tanto corresponde usar la ecuación 2 , que en este caso queda: 1

1

XB P X |P|

Adj P XB

s

1

1

3

t

2

3

2

5, 3 1 2 1 11 5 4 5

P

1

3 5

1 5

2 5

1 5

1

P X

3 5

1 5

2 5

1 5

3

11 5

2

4 5

, son las coordenadas del vector X respecto a la base B. Como vemos

hemos cambiado de coordenadas (hemos cambiado de base), de la base canónica a la base B Ejemplo 2: Dada B 1,2 ; 1,3 y XB 2, 3 . Determina las coordenadas del vector X respecto a la base canónica Ahora tenemos como dato las coordenadas del vector respecto a una base B y queremos calcular sus coordenadas respecto a la base canónica, por lo tanto la ecuación a utilizar será la 1 x 1 1 2 x 5 X PXB coordenadas y 2 3 3 y 5 respecto a la base canónica. 2

Veamos ahora como se generaliza para R el cambio de base cuando tenemos dos bases 2 cualesquiera de R

Sea B1

U1;U2 , B2

x

2

V1;V2 dos bases de R , X

y

2

R

2

Como B1,B2 son bases de R , entonces podemos encontrar las coordenadas del vector X en dichas bases: X

1U1

1

las coordenadas de X en la base B1 son: XB1

2U2

3

2

X

1 V1

1

las coordenadas de X en la base B2 son: XB2

2 V2

4

2

Nosotros queremos cambiar de la base B1 a la base B2, entonces debemos encontrar las coordenadas de los vectores U1, U2 de la base B1 respecto de la base B2. Es decir: U1 a11V1

las coordenadas de U1

a21V2

en la base B2 son : U1B

a11 2

a21 5

U2 a12V1

las coordenadas de U2

a22V2

en la base B2 son : U2

a12 B2

a22

Reemplazando 5 en 3 tenemos: X 1 a11V1 a21V2 2 a12V1 a22V2 X 1a11V1 1a21V2 2a12V1 2a22V2 X 1a11 2a12 V1 1a21 2a22 V2 Igualando la 4 y la 5 (por ser su primer miembro el mismo) tenemos el sistema: 1a112a12

1

1a212a22

2

a

a11 a12

Llamando P

a12

1

1

a21 a22

2

2

11

y teniendo en cuenta las ecuaciones 1 y 2 tenemos:

a21 a22 XB 1 PXB2 I La ecuación I es la ecuación de cambio de base (de la base B1 a la base B2) y la matriz P se denomina matriz de cambio de la base B1 a la base B2, o matriz de transición entre las bases B1 y B2 Observemos que la matriz P tiene como columnas los vectores de la base B1, expresados en la base B2 . Es decir P U1B 2 /U2B 2 Como la matriz P tiene por columnas vectores de una base, entonces sus columnas son linealmente independientes, entonces es inversible por lo que: 1

P XB

1

1

P PXB

1

IXB

1

XB

1

P XB 1

P XB

2

2

1

2

Existencia de P y propiedad de las ecuaciones Definición de inversa Neutro del producto de matrices

XB 2 P 1 XB 1 II La ecuación II será entonces la ecuación de cambio de base, de la base B2 a la base B1, y la 1 matriz P matriz de cambio de la base B2 a la base B1 respectivamente o matriz de transición entre las bases B2 y B1 Esto se puede generalizar a un espacio vectorial V de dimensión finita n. Así si tenemos dos bases de V:

B1 B2

U1,U2, ,Un V1,V2, ,Vn 1

X

1U1

2U2

nUn

2

XB1

n 1

X

1V1

2V 2

nVn

XB2

2

n

a 11 a 21

U 1 a11V1 a21V2an1Vn U1B2

a n1 a12 U2

a12V1 a22V2

an2Vn

a22

U2B2

an2 . . a 1i Ui

a1iV1 a2iV2

aniVn

a 2i

UiB2

a ni . . . a 1n Un

a1nV1 a2nV2

annVn

a 2n

UnB2

a nn

Siendo la matriz P a la B2 entonces :

U1B2 /U2B2 / UiB2 /

a11 P

a21

UnB2 la matriz de cambio de base de la base B1

a12 a1i a22 a2i

a n1 an2ani

a1 n a2n

ann

Una aplicación del cambio de base se tiene cuando se quiere encontrar la matriz de una

transformación lineal T : U V,/ T X AX , respecto a un par de bases B 1 U1;U2; ;Un y B2 V1;V2; ,Vm de U y V respectivamente En efecto cuando hemos encontrado la matriz de T respecto a un par de bases B1 y B2 distintas de las canónicas, vimos que se podía escribir en forma matricial como sigue:

T U1 /T U2 / /T Un V1

/V2 / /Vm

11

12

21

22

m1

m2

1n

2n

mn

Entonces: BXB1 T X B2 Siendo B la matriz de T respecto a las bases B1 y B2 del dominio y codominio de T respectivamente. Como vemos esta última expresión no es más que la que corresponde al cambio de base visto anteriormente (ecuación I). Autovalores y autovectores Autovalores y autovectores de una transformación lineal T : V V Definición: Dada una transformacion lineal T : V V y un escalar , decimos que es un autovalor de T si y solo sí existe un autovector no nulo U V tal que: T U U Al vector U se lo denomina autovector de T asociado al autovalor Si V es de dimensión finita, entonces T tiene asociada una matriz An n que caracteriza a T tal que: TX AX, X V En consecuencia tendremos que: AX X Así que tiene sentido definir autovalores y autovectores de una matriz Anxn como sigue: Autovalores y autovectores de una matriz An n Definición: Dada Anxn. Decimos que el escalar es un autovalor de A si y solo sí existe un vector no nulo U V tal que: AU U Al vector U se lo denomina autovector de A asociado al autovalor La anterior ecuación, es una ecuación matricial en la que tanto como U son incógnitas Escribamos a esta ecuación de forma de que las incógnitas estén en un sólo miembro De AU U AU U AU IU A IU . Es decir: A IU 7

Interpretemos esta igualdad (7) a los efectos de comprender mejor lo que nos dice: nn nn Al ser A R , entonces A I R y U Rn Por lo visto en temas anteriores, sabemos que la 7 es equivalente a un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas homogéneo cuya matriz de coeficientes es nn A I R y las coordenadas del vector U sus incógnitas. Al ser un sistema homogéneo siempre es consistente y puede tener única solución (la nula) o tener infinitas soluciones. Como U , entonces el sistema tiene infinitas soluciones y por lo tanto la dimensión del espacio solución será mayor que cero Como la cantidad de incógnitas es n, en el sistema escalonado equivalente habrá m ecuaciones tal que m n y en consecuencia el Rango A I n ya queRango A I es el número de filas no nulas de la matriz que resulta de escalonar A I y a su vez es la cantidad de ecuaciones del sistema escalonado equivalente. Es decir las filas de A I constituyen un conjunto Linealmente Dependiente, que se traduce en que una de ellas debe ser combinación lineal del resto y ello asegura que se anule el determinante de la matriz de coeficientes. Es decir: det A I 0 8

Polinomio Característico nxn Al ser A I R . Si calculamos det A I por ejemplo por desarrollo de Laplace obtendremos un polinomio de grado n en la variable . A ese polin...