Tarea 5 Transformaciones lineales PDF

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Investigación sobre las Transformaciones Lineales....

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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO Colegio de Ciencias y Humanidades Naucalpan

ÁLGEBRA

TRANSFORMACIONES LINEALES

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FECHA DE ENTREGA: 04/05/2020 Transformaciones lineales Contenido 1. Definición de transformación entre espacios vectoriales............................3 1.1.

Definición de dominio y codominio.........................................................3

1.2.

Propiedad de linealidad.............................................................................4

1.3.

Definición de transformación lineal.........................................................5

1.4.

Definición de recorrido y núcleo de una transformación lineal............5

2. El recorrido y el núcleo como subespacios vectoriales...............................7 2.1. Caso de dimensión finita: relación entre las dimensiones del dominio, recorrido y el núcleo de una transformación lineal.........................9 2.2. Análisis de transformaciones lineales inyectivas, suprayectivas y biyectivas............................................................................................................10 3. Concepto de obtención de la matriz asociada a una transformación lineal con dominio y codominio de dimensión finita...................................................12 3.1. Álgebra de las transformaciones lineales; definición y propiedades de: adición, multiplicación por un escalar, composición e inversa.............16 4. Concepto de operador lineal.........................................................................22 4.1.

Definición de valores y vectores propios de un operador lineal........22

4.2.

Caso de dimensión finita y definición de polinomio característico.. .23

4.3.

Propiedades de los vectores propios....................................................25

4.4.

Definición de espacio propio..................................................................25

5. Enunciado del teorema de Cayley-Hamilton................................................26 5.1.

Definición y propiedades de las matrices similares.............................27

5.2.

Concepto de operador diagonalizable...................................................27

5.3.

Proceso de diagonalización de un operador lineal..............................29

Ejercicios................................................................................................................31 Referencias.............................................................................................................36

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TRANSFORMACIONES LINEALES 1. Definición de transformación entre espacios vectoriales. En términos generales, una transformación es una función que permite transformar un vector que pertenece a un espacio vectorial (dominio) en otro vector que pertenece a otro espacio vectorial (codominio). Por esta razón, dicha función es una función vectorial de variable vectorial, es decir, depende de ´ vectores, y es del tipo w=f ( v´ ) . Una transformación se representa como T :V →W , donde V es el “dominio” y W el “codominio” de la transformación T.

1.1. Definición de dominio y codominio. Al igual que las funciones tradicionales, las transformaciones lineales tienen tres partes esenciales para existir: el dominio, el codominio y la regla de asignación.

El dominio es el espacio vectorial V al cual se le aplicará la transformación; el codominio es el espacio vectorial W al que pertenece el resultado de aplicar la transformación, la regla de asignación T es la forma en la cual se debe manipular un elemento de V para convertirlo en un elemento de W; finalmente, T(v) es el recorrido de la transformación, y es el subconjunto de W obtenido a partir de la aplicación de la transformación a cada elemento de V. Respecto otro texto: Una transformación (o función o mapeo) T de Rn es una regla que asigna a cada vector x en Rn un vector T(x) en conjunto Rn

a Rm m R . El

Se llama dominio de T, y Rm se llama codominio de T. La notación Rn → Rm indica que el dominio de T es Rn y que el codominio es Rm . Para x en Rn , el vector T(x) en Rm es la imagen de x (bajo la acción de T). El conjunto de todas las imágenes T(x) es el rango de T.

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1.2. Propiedad de linealidad. La propiedad de linealidad está asociada al concepto de espacio vectorial, conjuntos en los que se definen dos operaciones, una interna ( suma de vectores u + v) y otra externa (multiplicación por un escalar λu, en la que λ pertenece a un conjunto externo), de ahí que la propiedad de linealidad se exprese referida a estas dos operaciones. Para comprobar la linealidad de una función no es necesario realizar la comprobación de las propiedades de homogeneidad y aditividad por separado, con mostrar que f ( u+ v ) =f (u )+f (v ) la linealidad queda demostrada. Propiedades para que una transformación sea lineal: Para que una transformación sea lineal, ésta debe satisfacer las propiedades dadas en la siguiente definición. Si V y W son espacios vectoriales definidos sobre un campo K, la transformación T :V →W es lineal si cumple con: 

Superposición. La imagen de la suma de dos vectores es igual a la suma de las imágenes de dichos vectores: T ( ´v 1+ ´v 2 )=T ( v´ 1) +T ( v´ 2 )

∀´v 1 , v´ 2 ∈ V 

Homogeneidad. La imagen del producto de un escalar por un vector es igual al producto del escalar por la imagen de dicho vector: T ( α v´ 1 )=α∗T ( ´v 1 )

Un ejemplo de una transformación lineal T : R3 → R3 , es definida por: T ( x , y , z) =( 2 x ,2 y ) Puesto que cumple con ambas propiedades.

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En la transformación anterior, si u´ = ( x , y , z ) es un vector que pertenece al dominio R3 , entonces el vector T (u´ )=(2 x , 2 y ) es un vector que pertenece al codominio R2 y se denomina la “imagen” de u´ . Toda transformación lineal T :V →W tiene la propiedad de que la imagen del vector cero del dominio es igual al vector cero del codominio, es decir: T ( ´0v ) =0´ w 1.3. Definición de transformación lineal. Sean V y W espacios vectoriales. Una transformación lineal LK de V en W es una función que asigna a cada vector “u” en V un único vector L(u) en W tal que: 1) 2)

L ( u+v ) =L ( v ) +L(v ) cualesquiera sean “u” y “v” en V. L(ku)= kL(u ) , para cada “u” en V y cada escalar k.

Se observa que, en 1) de la definición anterior, el signo + en “u” + “v” del lado izquierdo de la ecuación se refiere a la operación de suma en V, mientras que el signo + en L(u) + L(v) de la sección derecha de la ecuación indica la operación de suma en W; en 2) el producto escalar k(u) está en V, mientras que el producto escalar KL(u) está en W. Se indicará que L transforma V en W (aunque no sea una transformada lineal), así: L: V → W

Puede suceder que V y W sean iguales. En este caso la transformación lineal L: V → W también se denomina operador lineal sobre V. Por ejemplo; las siguientes son transformaciones lineales:

     



Proyección: L: R 3 → R 2 , definida como L ( x , y , z ) =( x , y ) . Dilatación: L: R 3 → R 3 , definida como L ( u )=r ( u) , r >1. Contracción: L: R 3 → R 3 , definida como L ( u )=r ( u) , 0...