Algebra-Lineal-3 - ejercicios de transformaciones lineales PDF

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ejercicios de transformaciones lineales...

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1) Determina si la transformación dada en V y W dada es lineal. →

()()

T =R2 R 2 ; T x = y y x

Para saber si la combinación dada es lineal tiene que cumplir:

T ( u+ v ) =T u+T v T ( α v ) =αT v

1) 2)

Entonces tenemos

( xy)

y

( xy ) 1

→

1

()()

T x =y y x

y

T

(xy )=( yx )→ T ( xy) +T ( xy )=( yx)+ ( yx ) 1

1

1

1

1

1

1

1

Y también tenemos

( y + y 1) 1 x + x1 x + x1 = y + y1 = x+ x¿ →T (¿) y y1 x +x1 y + y1

()( )(

) ( )( )

Ahora factorizamos el resultado y nos da como resultado

( )()( )

y T x + x1 = y + 1 x y + y1 x1

Por lo tanto, sabemos que

( ) () ( )

x T x + x1 =T x +T 1 y y + y1 y1

Para saber si es una transformación lineal tenemos que ver si cumple la segunda condición

( xy )=α ( yx ) x αx αx αy Y tenemos α ( )= ( )→ T ( )= ( ) y αy αy αx Si

αT

, si factorizamos el resultado esto es

( )( ) ()

T αx = α ( y ) =α y αy x α (x) Por lo tanto

( ) () x y Como T ( ) =( ) y x T αx =αT x αy y

cumple ambas condiciones podemos decir que es una transformación lineal

1

2) Determina si la transformación dada en V y W dada es lineal. T :C [0,1 ] →C [0,1 ] ; Tf ( x )=f ( x )+¿ 1 Para saber si la combinación dada es lineal tiene que cumplir: 1) 2)

T ( u+ v ) =T u+ T v T ( α v ) =αT v

Tenemos:

f ( x ) , g ( x )→ Tf ( x)=f ( x ) +1 y

Tg (x ) =g( x ) +1 →T [f ( x ) + g ( x) ]=[ f ( x ) + g ( x ) ]+1

Ahora

f ( x ) + g ( x ) =( f +g )( x )→ T ( f + g ) ( x )= ( f )( x ) +1+( g) ( x )=Tf ( x ) +g(x ) Podemos observar que

T ( f +g ) (x ) ≠ Tf ( x )+Tg(x ) Por lo tanto, podemos concluir que

Tf (x )=f ( x )+ 1 no es una transformación linear

3) Encuentre el núcleo, imagen, rango y nulidad de la transformación dada

()()

x T : R3 → R2 ; T y = z y z z 0 → x es indiferente y 0

( )

x=( x , , 0,0 ) Nu ( T )=( 1,0,0 ) Nulidad=1 Imagen(T) =

R

Rango = 2

2

4) Encuentre la representación matricial A t de la transformación lineal T , nu(T ) , imagen T , v ( T ) y ρ(T ) . A menos que se especule otra cosa, suponga que B1 y B2 son bases canónicas.

()(

x x − y+ 2 z +3 w T =R → R ; T y = y +4 z+ 3 w z x +6 z+6 w w 4

3

)

Tenemos que las bases son canónicas, entonces:

( )()() ( )() ()() ()

1 0 0 0 −1 1 2 3 T 0=0 T 1 = 1 T 0= 4 T 0=3 0 0 0 1 0 1 6 6 0 0 1 0 Por lo tanto:

[

|]

1 −1 23 0 At= 0 1 4 3 0 1 0 66 0 Y para obtener

[

nu(T )

|] [

|] [

|] [

|]

1 0 66 0 1 −1 2 3 0 1 −1 2 3 0 1 −1 2 3 0 0 1 4 3 0 → 0 1 4 3 0 → 0 1 4 3 0 → 0 1 4 3 0 =x 1 0 66 0 0 1 43 0 0 0 00 0 0 0 00 0

x=− 6 z−6 w , y =− 4 z−3 w ; x = (− 6 z −6 w , −4 z−3 w , z , w ) ; x=( − 6 ,− 4,1,0 ) z +(−6−3,0,1)w Entonces

nu (T )= (−6 , −4,1,0 ) +(−6−3,0,1) v ( T ) =2 Entonces Con el teorema que indica que la Imagen es dada por la suma: Dimensión Imagen + Dimensión Núcleo= Imagen 3

4 = ¿? + 2

ρ ( T ) =2 ImagenT =gen[ ( 1,0,1 ) +(−1,1,0 ) ]

5) Encuentre la representación matricial A t de la transformación lineal T , nu(T ) , imagen T , v ( T ) y ρ(T ) . A menos que se especule otra cosa, suponga que B1 y B2 son bases canónicas.

( )

x− y T : R2 → R3 ; T x = 2 x+ y t y

()

[( ) ( ) ]

B 1= 2 1

1 2

[( ) ( ) ( )]

1 B 2= −1 , 0

0 2, 0

0 2 5

() () ( )

1 T 2=5 1 1

()

−1 T 1= 4 2 2

Ahora buscaremos una combinación lineal de la base transformaciones anteriores

B 2 para generar cada una de las

( ) () ()()

1 0 0 1 α 1 −1 + α2 2 + α 3 2 = 5 0 0 5 1

[ |] [

|]

1 1 1 0 01 1 0 01 1 0 01 1 0 0 1 0 0 14 3 −1 2 2 5 → 0 2 2 6 → 0 1 1 3 → 0 1 1 → 0 1 0 5 1 0 0 51 0 0 1 1 0 0 51 0 0 51 0 0 1 5 5 14 1 α 1=1, α2= α 3= 5 5

[

|] [ |] [ |]

4

1 1 14 0 1 0 = + 1 −1 + 5 5 2 5 2 0 0 5 1

( ) () ()()

[

−1 1 0 0 −1 1 0 0 11 −1 2 2 4 → 0 1 0 10 0 0 5 2 0 0 1 2 5

|]

[ |]

α 4=− 1,α 5=11 /10 α 6=2/5

Con los resultados que tenemos construiremos la matriz A t

de la siguiente forma:

( )

∝1 ∝4 A t = ∝2 ∝5 ∝ 3 ∝6

Sustituyendo tenemos que:

( )

1 14 At= 5 1 5

−1 11 10 2 5

Ahora buscaremos el núcleo de la transformación:

[ |] [ 1 14 5 1 5

−1 11 0 1 00 10 0 → 0 1 0 → X=(0,0,0 ) 2 0 0 00 5

|]

Entonces

()

5 Nu ( T ) = 3 −6 v ( T ) =1

Por lo tanto, podemos saber que 5

n= ρ ( T )+v ( T ) 2=0+ ρ ( T)

ρ ( T ) =2 Y como es de dimensión 2 con dos vectores de dos entradas podemos decir que:

ℑ ( T ) =R2

6...