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Conceptos básicos de transformaciones lineales y ejercicios

Definición: sean V y W dos espacios vectoriales. Una transformación lineal de V en W es una función T:V→W que cumple las siguientes condiciones 1) Para todo x,y  V, T(x+y) = T(x) + T(y) 2) Para todo x  V, α  R, T(α.x) = α.T(x) Al igual que en funciones, V se llama dominio y W se llama codominio de la transformación lineal. Si v es un elemento del dominio, diremos que T(v) es su resultado asignado a través de la transformación lineal, o bien, como en funciones, T(v) es la imagen del elemento v.

De la definición, se deducen dos propiedades muy útiles para resolver algunos ejercicios, y que toda transformación lineal debe cumplir: Propiedad 1: T(0V) = 0W Propiedad 2: si v1 y v2 son dos vectores de V, a y b son dos números reales, entonces vale lo siguiente: T(a.v1+b.v2) = a.T(v1)+b.T(v2). Esta propiedad nos dice que si un vector v es combinación lineal de dos vectores del dominio v1 y v2, su resultado asignado será combinación lineal de los resultados asignados para v1 y v2, manteniéndose los mismos números a y b en la combinación lineal de los resultados. Se dice que “una transformación lineal debe mantener o conservar combinaciones lineales”. La propiedad también vale para combinaciones lineales de más de dos vectores del dominio.

Formas de definir una transformación lineal Las transformaciones lineales son casos particulares de funciones, y suelen venir expresadas con fórmulas que permiten calcular el resultado asignado a cualquier elemento del dominio. Esto es lo que denominamos la expresión analítica de la transformación lineal. Por ejemplo: T: R3→R2 dada por: T(x,y,z) = (2x+y,z) 1 −2 T: R2→R1x2 dada por: T(x,y) = (x,y). 3 0 T: P2→R3

dada por: T(ax2+bx+c) = (a+b,c,c+a)

Existe otra forma de definir una transformación lineal, detallada en el Teorema Fundamental de las Transformaciones Lineales (que abreviamos T.F.T.L.), cuyo enunciado es el siguiente: Teorema Fundamental de las Transformaciones Lineales: sean V un espacio vectorial con base B = {v1,v2,…..,vn}, W otro espacio vectorial (del cual no hace falta conocer la base) y

{w1,w2,……wn} n vectores cualesquiera del espacio W (no es necesario que formen una base de W, ni que sean LI). Entonces existe una única transformación lineal T:V→W que cumple lo siguiente: T(v1) = w1 , T(v2) = w2, T(v3) = w3,………, T(vn) = wn

Es decir, si conocemos los resultados asignados a los elementos de una base del dominio, la transformación lineal queda perfectamente definida, y si queremos, después le podremos encontrar su expresión analítica. Y la transformación que encontremos será la única que verifique los datos que nos dan. Esto se llama definición de una transformación lineal sobre una base del dominio. Por ejemplo: T: R3→R2 dada por: T(1,0,0) = (2,1) T: R2→R2x2 dada por: T(1,1) = T: P2→R3

T(0,1,0) = (1,1)

1 1 3 1

dada por: T(x2) = (1,1,1)

T(1,0) =

1

T(x) = (1,1,1)

T(0,0,1) = (-1,1) 0

0

1 T(1) = (0,1,1)

Ejercicio 1: decidir si las siguientes funciones son transformaciones lineales

a) T:R2→R3

T(x,y) = (2x-y,x, 3y-x)

Veamos si se cumplen las dos condiciones de la definición de T. L. 



Sean (x1,y1) e (x2,y2) dos elementos del dominio. La idea es calcular por un lado T((x1,y1)+(x2,y2)), por otro calcular T(x1,y1) + T(x2,y2), y ver que los dos cálculos dan lo mismo T( (x1,y1)+(x2,y2) ) = T(x1+x2,y1+y2) = (2.(x1+x2)-(y1+y2), x1+x2, 3.(y1+y2)-(x1+x2)) = (2.x1+2.x2-y1-y2, x1+x2, 3.y1+3.y2-x1-x2) T(x1,y1) + T(x2,y2) = (2.x1-y1, x1, 3.y1-x1) + (2.x2-y2, x2, 3.y2-x2) = (2.x1-y1+2.x2-y2, x1+x2, 3.y1-x1+3.y2-x2) = (2.x1+2.x2-y1-y2, x1+x2, 3.y1+3.y2-x1 -x2) Los dos cálculos dan lo mismo. Sean (x1,y1) un elemento del dominio y α un número real. La idea ahora es calcular por un lado T(α.(x1,y1)), por otro calcular α.T(x1,y1), y ver que los dos cálculos dan lo mismo T( α.(x1,y1) ) = T(α.x1,α.y1) = (2.α.x1-α.y1, α.x1, 3.α.y1-α.x1) = α. (2.x1-y1, x1, 3.y1-x1) α.T(x1,y1) = α. (2.x1-y1, x1, 3.y1-x1) Los dos cálculos dan lo mismo.

Conclusión: T es transformación lineal

b) T:R2→R3 T(x,y) = (2x-y,1,3y-x)  Por la propiedad 1, si esta función fuera una transformación lineal, debería cumplirse que T(0,0) = (0,0,0). Sin embargo, en nuestra función, T(0,0,0) = (2.0-0,1,3.0-0) = (0,1,0). Conclusión: T no es transformación lineal.

c) T: R2x2→R T(A) = det(A)  Notemos que la primera condición de la definición puede no cumplirse en algún caso, ya que, por propiedades de los determinantes, sabemos que si A y B son dos matrices del mismo tamaño, det (A+B), en general, no es lo mismo que det(A)+det(B). Para ver que una condición no se cumple, alcanza con inventar un ejemplo numérico donde falle dicha condición. Por ejemplo, tomemos estos dos elementos del dominio: 1 0 0 0 1 0 . Tenemos que det𝐴 + 𝐵 = 𝑑𝑒𝑡 ,𝐵 = 𝐴= = 1, pero 0 1 1 0 1 1 det(A) + det(B) = 0 + 0 = 0, y los dos cálculos no dan lo mismo. Conclusión: T no es transformación lineal.

Como podemos ver en los ejercicios anteriores, es fácil ver si una función es una transformación lineal cuando conocemos su expresión analítica. Veamos otro tipo de ejercicio, relacionado con la otra forma de definir una transformación lineal.

Ejercicio 2: a) Decidir si existe una transformación lineal T: R2→R3 que verifique las siguientes condiciones: T(1,0) = (1,1,-1) y T(1,1) = (1,2,0). En caso de existir, decir si esa transformación lineal es la única que verifica las condiciones, y hallar su expresión analítica. Por el teorema fundamental de las transformaciones lineales, sabemos que T existirá y será única si está definida sobre una base del dominio. Veamos si estamos en esa situación en este ejercicio. El dominio es R2. Tenemos a T definida sobre dos vectores de este dominio: sobre el (1,0) y sobre el (1,1) (es decir, para estos dos vectores del dominio nos dan sus resultados asignados). Nos preguntamos entonces si estos dos vectores son una base del dominio o no. La respuesta, en este caso es simple: {(1,0) (1,1)} es un conjunto LI en R2, y R2 tiene dimensión 2, por lo tanto tenemos una base de R2. (Observación: para ver si el conjunto de vectores del dominio es LI en casos más complicados, deberemos aplicar alguno de los procedimientos vistos en la práctica de espacios vectoriales) Conclusión: como tenemos T definida sobre una base del dominio, la transformación lineal T existe y es única.

Vamos ahora a hallar su expresión analítica, es decir, queremos ver cómo es la fórmula de T aplicada a un elemento general del dominio, (x,y). Como conocemos el resultado asignado para el (1,0) y para el (1,1), expresamos a (x,y) como combinación lineal de estos dos vectores: (x,y) = α.(1,0) + β.(1,1). De esta igualdad, podemos hallar α y β en función de x e y: 𝛼 = 𝑥 −𝑦 𝛼+𝛽 =𝑥 ⇒ 𝛽=𝑦 𝛽=𝑦 Luego, obtenemos que (x,y) = (x-y).(1,0) + (y).(1,1) A continuación aplicamos T a toda esta igualdad, y usando la propiedad 2, obtenemos: T(x,y) = (x-y).T(1,0) + (y).T(1,1) = (x-y).(1,1,-1) + (y).(1,2,0) = (x, x+y, -x+y)

b) Lo mismo para T: R3→R3 tal que T(1,0,0) = (0,-1,0), T(0,1,1) = (1,2,1) y T(1,1,1) = (0,1,0) Al igual que en el ejercicio anterior, primero vemos si tenemos T definida sobre una base del dominio, en este caso, R3. {(1,0,0),(0,1,1),(1,1,1)} no es un conjunto LI pues el último vector es el primero más el segundo, entonces no tenemos una base del dominio. No podemos usar el teorema fundamental para asegurar que T existe y es única, es decir, no sabemos qué sucederá en este caso. Entonces podemos proceder de la siguiente manera: Primero notemos por qué motivo nuestro conjunto no es una base del dominio: porque el conjunto es LD, y esto es así pues el tercer vector es suma del primero con el segundo. Entonces debemos recordar la propiedad 2: si T es transformación lineal, debe conservar combinaciones lineales, es decir si (1,1,1) = (1,0,0) + (0,1,1), para que T exista debe suceder que T(1,1,1) = T(1,0,0) + T(0,1,1). Miremos el enunciado. T(1,1,1) = (0,1,0) y T(1,0,0) + T(0,1,1) = (0,-1,0) + (1,2,1) = (1,1,1) No dan lo mismo, entonces T no cumple la propiedad 2 para los datos del enunciado. Conclusión: no existe una transformación lineal T que verifique lo pedido (y obviamente, no le podemos calcular su expresión analítica). c) Lo mismo para T: R3→R3 tal que T(1,1,1) = (0,-1,0), T(0,1,1) = (0,2,1) y T(1,0,0) = (0,-3,-1) Notemos que, en este caso, nuevamente T no está definida sobre una base del dominio pues el tercer vector del dominio, que es el (1,0,0), es el primero menos el segundo. Pero ahora la propiedad 2 se cumple: (1,0,0) = (1,1,1) – (0,1,1) T(1,0,0) = (0,-3,-1) T(1,1,1) - T(0,1,1) = (0,-1,0) – (0,2,1) = (0,-3,-1) Esto significa que la transformación lineal T existe, pero podría no ser única, es decir, podría haber muchas transformaciones lineales que cumplan lo pedido, ya que la tenemos definida sobre un conjunto de vectores que no alcanza para tener una base del dominio (hay menos de 3 vectores LI, que es lo necesario para tener una base de R3). Conclusión: la transformación lineal T existe pero no es única.

Como cuestión adicional a este ejercicio, supongamos que queremos hallar una transformación lineal T que verifique lo pedido. Para hacerlo, deberíamos tenerla definida sobre una base del dominio. Notemos que el tercer dato del enunciado podemos descartarlo, ya que se puede deducir de los dos primeros (pues ya hemos verificado que se cumple la propiedad 2 de las transformaciones lineales), entonces lo descartamos. Por lo tanto, buscaremos una transformación lineal T que cumpla T(1,1,1) = (0,-1,0) y T(0,1,1) = (0,2,1). Ahora nos falta agregar un vector para tener una base del dominio, y como no hay más condiciones que cumplir, a este lo inventamos nosotros, pero con cuidado: si lo llamamos v3, debe ser tal que {(1,1,1),(0,1,1),v3} sea una base de R3, o sea, queden LI. Si los escribimos acostados, deben quedar triangulados, entonces podemos tomar v3 = (0,0,1). También hay que inventar un resultado asignado para v3. En este ejercicio se puede inventar cualquier resultado, ya que no hay condiciones adicionales que cumplir y, según el teorema fundamental, los que deben ser LI son los vectores que forman base del dominio, los resultados asignados pueden ser cualesquiera. Entonces proponemos, por ejemplo: T(1,1,1) = (0,-1,0) T(0,1,1) = (0,2,1) T(0,0,1) = (0,0,0), y queda entonces la transformación T perfectamente definida. Observación: Una vez hecha una propuesta para definir T sobre una base del dominio, podemos hallar su expresión analítica si nos lo piden, si no simplemente la dejamos definida sobre la base del dominio.

Núcleo e Imagen de una transformación lineal

Definición: se llama núcleo de una transformación lineal T al conjunto de todos los elementos del dominio cuyo resultado asignado es el elemento nulo del codominio, es decir, si T: V→ W es una transformación lineal, entonces definimos: Nú(T) = {v  V / T(v) = 0W } Propiedad: el núcleo de una transformación lineal es un subespacio de su dominio (por lo tanto, podremos calcular las ecuaciones que lo definen, sus vectores generadores, base y dimensión). Definición: a la dimensión del núcleo se la llama nulidad de T.

Ejercicio 3: a) Hallar el núcleo de T(x,y,z) = (2x-y,y,x)

2𝑥 − 𝑦 = 0 Planteamos la definición: T(x,y,z) = (2x-y ,y, x) = (0,0,0) ⟹ 𝑦 = 0 . De este sistema 𝑥=0 despejamos los elementos (x,y,z) que están en el núcleo de T. Obtenemos x = 0, y = 0, z  R. Luego: (x,y z) = (0,0,z) = z.(0,0 1) con z  R, por lo que Nú(T) = {(x,y,z)  R3 / x = 0, y = 0 } = gen{(0,0,1)}

y

dim(Nú(T)) = 1

b) Hallar el núcleo de T(ax2+bx+c) = (b+a,c-a) 𝑏+𝑎 =0 𝑏 = −𝑎 𝑦 𝑎 ∈ 𝑅. Luego, los ⟹ 𝑐=𝑎 𝑐−𝑎 = 0 elementos del Nú(T) son de la forma ax2+bx+c = ax2-ax+a = a.(x2-x+1) con a  R. Entonces: T(ax2+bx+c) = ( b+a, c-a ) = (0,0) ⟹

Nú(T) = {ax2+bx+c  P2 / b = -a, c = a, aR } = gen{x2-x+1}

y

dim(Nú(T)) = 1

Definición: se llama imagen de una transformación lineal T al conjunto de todos los elementos del codominio que son resultado asignado para algún elemento del dominio, es decir, si T: V→ W es una transformación lineal, entonces definimos: Im(T) = {w  W / existe un v  V que cumple T(v) = w } Propiedad: la imagen de una transformación lineal es un subespacio de su codominio (por lo tanto, podremos calcular las ecuaciones que lo definen, sus vectores generadores, base y dimensión). Definición: a la dimensión de la imagen se la llama rango de T.

Ejercicio 4: Hallar la imagen de T(x,y,z) = (2x-y,y,x) Para hallar la imagen de una transformación lineal, simplemente tenemos que ver cómo se expresan sus resultados: T(x,y,z) = (2x-y,y,x) = (2x,0,x) + (-y,y,0) = x.(2,0,1) + y.(-1,1,0) con x,y  R. Entonces: Im(T) = gen{(2,0,1),(-1,1,0)} y dim(Im(T)) = 2. Observación: para hallar las ecuaciones que definen la imagen de T, procedemos como vimos al estudiar subespacios. Si llamamos (a,b,c) a los elementos de la imagen, armamos la 𝑎 2 −1 𝑎 2 −1 2 −1𝑎 𝑏 → 0 1 𝑏 . matriz 0 1 𝑏 y la triangulamos. Nos queda: 0 1 𝑐 − 2 𝑎 − 2𝑏 𝑐 𝑐 − 2𝑎 0 0 2 1 0 0 Entonces la ecuación que define a la imagen de T es c-2a-2b = 0, y escribimos: Im(T) = { (a,b,c)  R3 / c - 2a - 2b = 0 }

Observación útil: de los ejercicios anteriores podemos ver que calcular el núcleo y la imagen de una transformación lineal es relativamente sencillo cuando conocemos la expresión analítica de la transformación. Pero si no conocemos la expresión analítica, el cálculo del núcleo puede ser complicado. El cálculo de la imagen es muy simple gracias a la siguiente propiedad:

Propiedad útil para calcular la imagen: sea T:V→W una transformación lineal definida sobre una base de V. Sea B = {v1,v2,…..vn} la base de V, y supongamos que se cumple que T(v1) = w1, T(v2) = w2,…., T(vn) = wn. Entonces Im(T) = gen{w1,w2,…..,wn}, es decir, la imagen de la transformación lineal es el subespacio generado por los resultados asignados a los elementos de la base del dominio. Por ejemplo, si T es una transformación lineal tal que T(1,0) = (1,1,-1) y T(1,1) = (1,2,0), como {(1,0),(1,1)} es una base del dominio, Im(T) = gen{(1,1,-1),(1,2,0)}. Para hallar el núcleo, primero hay que encontrar la expresión analítica de T y luego trabajar como en el ejercicio 3.

Teorema de la dimensión y clasificación de transformaciones lineales. Este teorema es sumamente importante en la resolución de ejercicios, pues nos dice cómo están relacionadas las dimensiones del núcleo y de la imagen de una transformación lineal, y será de gran utilidad cuando necesitemos construir transformaciones lineales que verifiquen algunas condiciones en especial. Toda transformación lineal debe verificar esta relación obligatoriamente.

Teorema de la dimensión: sea T:V→W una transformación lineal. Entonces: dim(V) = dim(Nú(T)) + dim(Im(T)) (Notemos que este teorema no nos dice cómo calcular el núcleo y la imagen, sólo nos habla de sus dimensiones).

Clasificación de transformaciones lineales En cursos anteriores, ya vimos una clasificación de funciones: inyectivas, sobreyectivas y biyectivas. Como las transformaciones lineales son casos especiales de funciones, también admiten este tipo de clasificación, pero además puede demostrarse que este comportamiento está relacionado con el núcleo y con la imagen de la transformación lineal. 1. Una transformación lineal T es inyectiva o monomorfismo si y sólo si Nú(T) = {0V}, o sea, si y sólo si dim(Nú(T)) = 0. 2. Una transformación lineal T es sobreyectiva o epimorfismo si y sólo si Im(T) = W, o sea, si y sólo si dim(Im(T)) = dim(W) 3. Una transformación lineal T es biyectiva o isomorfismo si y sólo si es monomorfismo y epimorfismo en forma simultánea.

Ejercicio 5:

a) Decidir si la siguiente transformación lineal es monomorfismo, epimorfismo, isomorfismo o ninguna de esas opciones: T: R4→R3 dada por T(x,y,z,w) = (2x+y,x-y-z,w). Como V = R4, dim(V) = 4. Como W = R3, dim(W) = 3.

2𝑥 + 𝑦 = 0 Calculamos el núcleo. T(x,y,z,w) = (2x+y,x-y-z,w) = (0,0,0). Nos queda 𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 0. 𝑤=0 Entonces los elementos del núcleo cumplen y = -2.x, z = 3.x, w = 0, x  R. Luego los elementos del núcleo son de la forma (x,y,z,w) = (x,-2.x,3.x,0) = x.(1,-2,3,0), de donde vemos que dim(Nú(T)) = 1 No hace falta calcular la imagen, pues sólo nos interesa su dimensión, que podemos hallar a través del teorema de la dimensión: dim(V) = dim(Nú(T)) + dim(Im(T))  4 = 1 + dim(Im(T))  dim(Im(T)) = 3 Conclusión: T no es monomorfismo, T es epimorfismo.

b) Decidir si es posible que exista una transformación lineal T: P3→R2x2 que sea un isomorfismo. dim(V) = dim(P3) = 4, dim(W) = dim(R2x2) = 4. Si T es isomorfismo, dim(Nú(T)) = 0 y dim(Im(T)) = 4. La condición para que T exista es que, con estas dimensiones, se verifique el teorema de la dimensión: dim(V) = dim(Nú(T)) + dim(Im(T))  4 = 0 + 4 : se verifica. Conclusión: T puede existir.

c) Decidir si es posible que exista una transformación lineal T: P3→R2x2 que sea un 0 0 epimorfismo y además T(x+1) = 0 0 Como hay un elemento del dominio cuyo resultado asignado es la matriz nula, el núcleo tiene un elemento distinto del elemento neutro, por lo tanto dim(Nú(T)) ≥ 1, entonces, por el teorema de la dimensión: dim(V) = 4 = dim(Nú(T)) + dim(Im(T)), y como dim(Nú(T)) ≥ 1, entonces dim(Im(T)) ≤ 3, luego dim(Im(T)) < dim(W) = 4. Conclusión: no puede existir T que cumpla todo lo pedido.

Veamos otra clase de ejercicio, donde tenemos que construir transformaciones lineales que cumplan varas condiciones en forma simultánea.

Ejercicio 6:

a) Hallar una transformación lineal T: R3→R4 que sea monomorfismo y tal que (1,1,1,1)  Im(T) Que sea monomorfismo significa que dim(Nú(T)) = 0, entonces dim(Im(T)) = 3 por teorema de la dimensión. Construyamos la transformación definiéndola sobre una base del dominio. Tomamos la base canónica, y le vamos inventando los resultados asignados, que serán los generadores de la imagen, pero como nos piden que (1,1,1,1) esté en la imagen, ya lo pongo como uno de los resultados. T(1,0,0) = (1,1,1,1) T(0,1,0) = w2 T(0,0,1) = w3. Falta inventar w2 y w3, pero con cuidado: necesitamos que la imagen tenga dimensión 3, entonces los 3 generadores que nos van a quedar para la imagen deben ser LI. Podemos elegir w2 = (0,1,1,1) y w3 = (0,0,1,1). Entonces la transformación está dada por: T(1,0,0) = (1,1,1,1) T(0,1,0) = (0,1,1,1) T(0,0,1) = (0,0,1,1).

b) Hallar una transformación lineal T: R3→R2 que sea epimorfismo y tal que (1,1,1)  Nú(T). En este ejercicio, T será epimorfismo si dim(Im(T)) = 2. Además, si (1,1,1) debe estar en el núcleo, entonces debe cumplirse que T(1,1,1) = (0,0). Nuevamente construimos la transformación definiéndola sobre una base del dominio, pero ya usando el dato del núcleo: T(1,1,1) = (0,0) T(v2) = w2 T(v3) = w3. Falta inventar v2 y v3 de modo de tener una base del dominio, y sus resultados asignados con cuidado, pues dim(Im(T)) = 2, entonces w2 y w3 deben ser LI entre sí: T(1,1,1) = (0,0) T(1,1,0) = (1,0) T(1,0,0) = (0,1).

c) De parcial. Construir una transformación lineal T: R3→R3 tal que su imagen incluya a la recta que pasa por el origen y por el punto (0,1,1), y además su núcleo sea S∩H, donde S = { (x,y,z)R3 / 2x+y = 0 } y H = { (x,y,z)R3 / 2x-y = 0 } Primero veamos qué subespacio es S∩H, para saber cuál debe ser el núcleo de T. S∩H = { (x,y,z)R3 / 2x+y = 0 , 2x-y = 0} = { (x,y,z)R3 / x = 0 , y = 0} = gen{(0,0,1)}. Luego, Nú(T) = gen{(0,0,1)}, entonces el resultado asignado a (0,0,1) debe ser el vector nulo. Ahora analicemos la imagen. Como dim(Nú(T)) = 1, por teorema de la dimensión, dim(Im(T)) = 2. Entonces para la imagen debemos tener dos generadores LI. Veamos qué subespacio es la recta que pasa por el origen y por el (0,1,1): Recta: (x,y,z) = t.( (0,1,1) - (0,0,0) ) + (0,0,0) = t.(0,1,1). Entonces la recta del enunciado es el siguiente subespacio: gen{(0,1,1)}. Para que la recta esté incluida en la imagen, proponemos que su generador es...