Clase 28 Composición de Transformaciones Lineales y Producto de Matrices PDF

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γ

Demostración. Sean α = {x1 , x 2 , . . . , xn }, β = {y1 , y2 , . . . , ym } y γ = {z1 , z2 , . . . , z p } bases ordenadas de V , W y Z respectivamente. Tenemos que: 1.

1 b11 b12 . . . b1m B b21 b22 . . . b2m C B C γ [U ]β = B .. .. .. . C . @ . . . . A bp1 bp2 . . . bpm 0

es una matriz de p ⇥ m, donde U (yi ) = b1i z1 + b2i z2 + . . . + bpi zp , para todo i = 1, 2, . . . , m. 2.

0

a11 B a21 B [T ]αβ = B .. @ .

a12 a22 ...

am1 am2

1 . . . a1n . . . a2n C C . C .. . . . A . . . amn

es una matriz de m ⇥ n donde T (xj ) = a1j y1 + a2j y2 + . . . + amj ym , para todo j = 1, 2, . . . , n. 3. De lo anterior tenemos que la matriz [U ]βγ[T ]αβ es de p ⇥ n donde la j-ésima columna de está dada por: 0 Pm 1 k=1 b1k akj P B m b2k akj C B k=1 C B C B C B C .. @ A . Pm k=1 bpk akj

3.2. COMPOSICIÓN DE TRANSFORMACIONES LINEALES 4. Por otro lado, para calcular la j-ésima columna de la matriz [U T ]αγ necesitamos primero calcular U T (xj ) y luego escribir a U T (xj ) como combinación lineal de z1 , z2 , . . . , z p . U T (xj ) = U (T (xj )) ! m m X X ai,j U (yi ) =U aij yi = i=1

i=1

= a1j (b11 z1 + b21 z2 + . . . + bp1 zp ) + a2j (b12 z1 + b22 z2 + . . . + bp2 zp )

+ · · · + amj (b1m z1 + b2m z2 + . . . + bpm zp ) = (a1j b11 + a2j b12 + . . . + amj b1m )z1 + (a1j b21 + a2j b22 + . . . + amj b2m )z2 + . . . + (a1j bp1 + a2j bp2 + . . . + amj bpm )zp ! ! m m X X = b1k akj z1 + b2k akj z2 + . . . + k=1

k=1

m X k=1

bpk akj

!

zp

De donde la j-ésima columna de la matriz [U T ]αγ es: 0 Pm 1 b a 1k kj k=1 B Pm b2k akj C B k=1 C B C B C B C .. @ A Pm . k=1 bpk akj Del punto 3. y del 4. (anterior) concluimos que [U ]βγ[T ]αβ = [U T ]γα. ⌅ El siguiente resultado se desprende de forma inmediata del Teorema anterior. Corolario 3.2.7. Sea V un espacio vectorial dimensionalmente finito con una base ordenada β. Sean T, U 2 L(V ). Entonces [U  T ]β = [U ]β [T ]β

Ejemplo 3.2.8. Sean T : R3 ! R2 dada por T (a, b, c) = (a + b, c) y U : R2 ! R3 dada por U (a, b) = (a + b, b, a + b). Tenemos que U  T : R3 ! R3 está dada por U  T (a, b, c) = (a + b + c, c, a + b + c). Sean β = {(1, 0, 0), (0, 1, 0, (0, 0, 1)} y γ = {(1, 0), (0, 1)} las bases 3 2 canónicas (ó estándar) de R 1 R respectivamente.Tenemos que 0 y de ✓ ◆ 1 1 1 1 0 γ [T ]β = y [U ]γ = @0 1 A . De donde [U  T ]β = [U ]γ [T ]β = 0 0 1 1 1 ✓ ◆ 1 2 . 1 1...