Teorema de existencia y unicidad PDF

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Apuntes sobre el tema incluido ejercicios resueltos de cada tema, sacados de examenes viejos o listas de ejercicios de la cátedra. ...

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1

Teorema de existencia y unicidad.

Teorema 1 (Existencia y unicidad de la solución del problema de valor inicial



y

0

una ecuación diferencial con

f

=

f

(x; y )

( x0 ) =

y

y

0

=

f

(x; y ) ; y (x0 ) =

y0

) Sea:



y0

(x; y ) de…nida en una región

D

del plano

xy

que contiene al punto (x0 ; y0 ) : Si

se cumple que:

 

f

(x; y ) es continua en

@f @y

D:

existe y es continua en D:

Entonces existe una única solución y =  (x) al problema de valor inicial

:

Grá…camente se representa, en el plano xy; la curva integral que contiene al punto (x0 ; y0 ) :

Ejemplo 1 Determine la región del plano

xy

para la cual existe solución unica de la ecuación diferencial: y

0

=

x

2

+y

2

en cada punto (x0 ; y0 ) de dicha región.

Solución 1 Tenemos que: f

es continua en todo el plano

xy:

(x; y ) =

2

+y

2

Así mismo: @f

= 2y

@y

también es continua en todo

x

xy:

En virtud del Teorema de existencia y unicidad, el problema de valor



inicial:

y

2 + y2

0

=

0

( x0 ) =

y

x

y0

tiene solución única para todo (x0 ; y0 ).

Ejemplo 2 Determine la región del plano

xy

para la cual existe solución unica de la ecuación diferencial: y

0

=

p  x

y

en cada punto (x0 ; y0 ) de dicha región.

Solución 2 Para este caso, tenemos que: f

es continua siempre que

x

 0 y

;

es decir, si

(x; y ) = x



y:

p  x

y

En el plano se puede ver esta región así:

Por otra parte, podemos ver que: @f @y

=

2

1 p x y

Dicha derivada está de…nida siempre que x > y: Esta región es la misma obtenida antes, a excepción de la recta y = x: La región en común será entonces: D

Ejemplo 3

Determine la región del plano

xy

=



(x; y )

2 R2 ; x > y



para la cual existe solución unica de la ecuación diferencial: y

0

=

p

1

 y2

en cada punto (x0 ; y0 ) de dicha región.

Solución 3

Primeramente, note que: f

es continua para cualquier valor de decir, si

y

2 [1; 1] :

Grá…camente:

x

(x; y ) =

p

1

 y2

y para aquellos valores de

y

que cumplan la condición 1

 y 2  0;

es

Mientras que: @f @y

la cual existe y es continua siempre que 1

 y 2 > 0;

D

=



p

2y

=

1

y

2

es decir:

(x; y )

2 R2 ; 1 > y 2

...