4 - Teorema de existencia y unicidad PDF

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Apuntes de teorema de existencia y unicidad...

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Prof. Silvia Seminara – Análisis Matemático II Z2041 - 1° C 2018

Teorema de existencia y unicidad

El “teorema de Picard-Lindelöf” (también llamado “teorema de Picard”, “teorema de Cauchy-Lipschitz” o “teorema de existencia y unicidad”) establece bajo qué condiciones puede asegurarse la existencia y unicidad de la solución de una EDO, dado un problema de valores iniciales (o problema de Cauchy). La siguiente es una versión simplificada de su enunciado:

Teorema: Sean 𝐴 = (𝑎, 𝑏) × (𝑐, 𝑑) un rectángulo en el plano, (𝑥0 , 𝑦0 ) un punto de (𝑎, 𝑏) y 𝑓(𝑥, 𝑦) una función de 𝐴 en 𝑅 que es continua respecto de 𝑥 y tiene derivada continua respecto de 𝑦.

Entonces se puede encontrar un intervalo 𝐼 ⊆ (𝑎, 𝑏) que contiene a 𝑥0 de modo que el problema de valores iniciales { tiene solución y ésta es única, para todo 𝑥 ∈ 𝐼.

𝑦 ′ = 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑦(𝑥0 ) = 𝑦0...