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TEOREMA DE ROUCHE-FRÖBENIUS 1.

REGLA DE CRAMER

Un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas tiene solución y ésta es única cuando la matriz de los coeficientes es regular. La solución del sistema,

x j (j = 1, 2, …, n), viene dada por el cociente de dos determinantes, el del

numerador se obtiene cambiando la columna correspondiente a la incógnita que queremos calcular por la columna de los términos independientes (o columna de las soluciones), mientras que el determinante del denominador se obtiene de la matriz de los coeficientes. EJEMPLOS: 

Resolver el sistema:

2 x  3 y  4 z  2  x y  z 1  x  2 y  z  0  Como el determinante de la matriz de los coeficientes es distinta de cero, la matriz es regular y, por tanto, se puede aplicar la regla de Cramer:

2 3 4 1  1  1  16 1 2 1 2 3 4 1 1 1 0 2 1 9 x   16 16 

2 2 4 1 1 1 1 0 1 1  y  16 8

z

2 1 1

3 2 1 1 2 0 5  16 16

Estudiar si se puede resolver el siguiente sistema por la regla de Cramer:

x  3 y  4z  1    2x  y  0  7 x  7 y  12 z  2  Calculamos el determinante asociado a la matriz principal:

1 3 4 2 1 0  0 7 7 12 Como el determinante es cero la matriz no es regular, o lo que es lo mismo, no es invertible.

ÁLGEBRA II

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TEOREMA DE ROUCHE-FRÖBENIUS 2.

TEOREMA DE ROUCHÉ-FROBENIUS El teorema de Rouché-Frobenius permite determinar el número de soluciones de un sistema a partir del rango asociado al mismo. Así, tenemos: rg(A) = rg(A|B) = n (Determinado)

Solución única

rg(A) = rg(A|B) (Compatible) rg(A) = rg(A|B) < n (Indeterminado)

Infinitas soluciones

Sistemas de ecuaciones lineales rg(A) ≠ rg(A|B) (Incompatible)

No hay solución

Siendo A, la matriz de los coeficientes, A|B la matriz ampliada y n el número de incógnitas. EJEMPLOS: 

Discutir y resolver, si es posible el siguiente sistema:

2 x  y  z  1  x  2 y  z  1 x  y  2 z  1 El determinante de la matriz A del sistema es:

2 1 1 1 2 1  4 0 1 1 2 por lo tanto rg(A) = rg(A|B) = 3 = n, por lo que el sistema es compatible determinado. Aplicando la regla de Cramer:

1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 x  4 4

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2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 y  4 4

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2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 z  4 4

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TEOREMA DE ROUCHE-FRÖBENIUS 

Discutir y resolver, si es posible, el siguiente sistema:

2 x  3 y  4 z  t  2 3 x  2 y  z  2t  3 5x  y  3 z  t  1

      13 y  14 z  7t   12

En primer lugar hay que determinar el rango de la matriz principal. Para ello podemos utilizar Gauss:

4  1 2 3 2  3 4 1  2   2     0 1  4 7 1 2 3   7 3 2  5  1 3 1 1   7 0 1  4 7     0 13 14  7  12  14 8  14 0 2  Se ve que la tercera y cuarta filas son combinación lineal de la segunda. Por tanto, el rango es dos tanto para la matriz principal como para la ampliada. Por tanto, rg(A) = rg (A|B) < n. El sistema es compatible indeterminado con grado de indeterminación 2. Eso significa que debemos tomar dos parámetros para dar las soluciones del sistema:

2x  3y  4z  t  2   3 x  2 y  z  2t  3 

z  , t  



2 x  3 y  2  4     3 x  2 y  3    2 

Resolviendo el sistema obtenido:

x

1 5  5  4  13

y

1 12  14  7   13

La solución del sistema es:

1 5  5  4   13  1 y  12  14  7    13  z   t   x

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Discutir el siguiente sistema según los valores del parámetro a:

ax  y  z  a   x  ay  z  a  x  y  az  a  Calculamos el valor del determinante de la matriz principal:

1 1 2 1 a 1  a 3  3a  2  a  1 a  2 1 1 a

a

que se anula cuando a = 1 o cuando a = -2. Si a ≠ 1 y a ≠ -2 entonces rg(A) = rg(A|B) = 3 = n y el sistema es compatible determinado. Las soluciones se pueden calcular por la regla de Cramer y son:

x yz

a a2

Si a = 1 entonces rg(A) = rg(A|B) = 1 < n y el sistema es compatible indeterminado. En este caso el sistema tiene grado de indeterminación 2 y las soluciones son:

x 1    

y 

z 

Si a = -2 entonces rg(A) = 2 ≠ rg(A|B) = 3 y el sistema es compatible indeterminado. 3.

TEOREMA DE ROUCHÉ-FROBENIUS EN SISTEMAS HOMOGÉNEOS En un sistema de ecuaciones lineales homogéneo siempre se va a cumplir que rg(A) = rg(A|B), por lo que siempre tendrá solución y, como consecuencia, sólo podrá ser determinado (solución única) o indeterminado (infinitas soluciones). En el caso en que el sistema sea compatible determinado la solución siempre es 0, 0, 0, 0… a esta solución se le conoce como “solución trivial”.

EJEMPLOS: 

Clasificar y resolver, si es posible, el siguiente sistema:

2x  3y  4z  0  x y  0   2 y  7z  0  El determinante de la matriz A del sistema es:

2 3 4 1  1 0  27  0 0 2 7 por lo tanto rg(A) = rg(A|B) = 3 = n, por lo que el sistema es compatible determinado. La solución es x = 0, y = 0, z = 0.

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Clasificar y resolver el siguiente sistema:

x  2 y 2 z  0  2x  y  z  0  x y z  0  El determinante de la matriz A del sistema es:

1 2 2 2 1 1  0  1 1 1

1 2 3 0 2 1

Por lo tanto rg(A) = rg(A|B) = 2 < n, el sistema es compatible indeterminado. Tomando z = t:

x  2 y  2t   2x  y   t  Aplicando Cramer:

2 t 2  t 1 x 0 3

1  2t 2 t 3t y  t 3 3

Las ecuaciones paramétricas, solución del sistema son:

x  0  y t z  t  

Discutir el siguiente sistema según los valores del parámetro a:

x  2 y  3z  0  2 x  y  az  0  x z  0  Calculamos el valor del determinante de la matriz principal:

1 2 3 2 1 a  2a  6 1 0 1 que se anula cuando a = -3. Si a ≠ -3 rg(A) = rg(A|B) = 3 = n y el sistema es compatible determinado. Solución trivial:

x  y  z 0

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TEOREMA DE ROUCHE-FRÖBENIUS Si a = -3 entonces rg(A) = rg(A|B) = 2 < n y el sistema es compatible indeterminado. En este caso el sistema tiene grado de indeterminación 1 y las soluciones son:

x  y  z  Las ecuaciones paramétricas, solución del sistema son:

x    y   z   

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