Teorema de existencia y unicidad PDF

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Trabajo elaborado para la materia de ecuaciones diferenciales sobre el teorema de existencia y unicidad...

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Tecnológico Nacional de México INSTITUTO TECNOLOGICO DE TIJUANA

Departamento Ciencias de la Tierra

Ingeniería Civil Ecuaciones diferenciales

“ACTIVIDAD 8”

Moya Rubio Gabriela Yareny

Agosto-diciembre

12/11/20 Tijuana B.C.

El teorema de existencia y unicidad También llamado teorema de Picard, o teorema de Cauchy-Lipschitz, establece las condiciones necesarias y suficientes para que una ecuación diferencial de primer orden, con condición inicial dada, tenga una solución y que esta solución sea única. No obstante, el teorema no da ninguna técnica ni indica como hallar esta solución. El teorema de existencia y unicidad se extiende también a ecuaciones diferenciales de orden superior con condiciones iniciales, lo que se conoce como problema de Cauchy. Cuando un problema de valor inicial modela matemáticamente una situación física, la existencia y unicidad de la solución es de suma importancia, pues, con seguridad se espera tener una solución, debido a que físicamente algo debe suceder. Por otra parte, se supone que la solución sea única, pues si repetimos el experimento en condiciones idénticas, cabe esperar los mismos resultados, siempre y cuando el modelo sea determinístico. Por lo tanto, al considerar un problema de valor inicial es natural preguntarse por: 1. Existencia: ¿Existirá una solución al problema? 2. Unicidad: ¿En caso de que exista solución, será única? 3. Determinación: ¿En caso de que exista solución, como la determinamos?

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Ejemplo

Considere la siguiente ecuación diferencial ordinaria de primer orden con condición inicial: y’(x) = 2√y ; y(0) = 0. ¿Existe una solución y(x) para este problema? En caso afirmativo determinar si hay una o más de una. Respuesta Consideramos la función f(x,y) = 2√y. La función f está definida únicamente para y≥0, pues sabemos que un número negativo carece de raíz real. Además f(x,y) es continua en el semiplano superior de R2 incluido el eje X, por lo que el teorema de existencia y unicidad garantiza al menos una solución en dicha región. Ahora bien, la condición inicial x=0,y=0 está en el borde de la región de solución. Entonces tomamos la derivada parcial de f(x,y) respecto de y:

∂f/∂y = 1/√y En este caso la función no está definida para y=0, precisamente donde está la condición inicial. ¿Qué nos dice el teorema? Nos dice que aunque sabemos que existe al menos una solución el semiplano superior del eje X incluido el eje X, como no se cumple la condición de unicidad, no hay garantía que exista una solución única. Esto significa que podría haber una o más de una solución en la región de continuidad de f(x,y). Y como siempre, el teorema no nos dice cuáles podrían ser.

Principio de Superposición El principio de superposición se ocupa principalmente de la ecuación diferencial lineal homogénea. El nombre de esta teoría se mantiene así por su similitud con el principio de superposición aplicado en física y otras áreas de la ciencia, en el cual se estudia; si existen dos estímulos en un sistema lineal, entonces el resultado neto de su fuerza en algún momento y en algún lugar será equivalente a la sumatoria de las fuerzas de estos dos estímulos tomados independientemente. De manera similar, para una ecuación diferencial lineal homogénea, de cualquier orden (con o sin coeficientes constantes), el principio de superposición establece que, “Si tenemos y¬1¬(x) e y¬2¬(x) como el resultado de alguna ecuación diferencial lineal homogénea, entonces la sumatoria de estos resultados deberán producir una nueva ecuación, la cual pertenecerá también al conjunto de resultados de la ecuación diferencial dada”. Esto puede denotarse como,

Esto es verdadero porque sabemos por las propiedades de un sistema lineal que cualquier sistema lineal es de naturaleza aditiva. También tenemos una prueba del teorema mencionado anteriormente. Sea una ecuación diferencial lineal homogénea de la forma,...