U1A1 - Ejercicios: Teorema de Bayes Probabilidad condicional Distribución de probabilidad, PDF

Preview

Summary

Ejercicios:
Teorema de Bayes
Probabilidad condicional
Distribución de probabilidad, variable continua
Distribución de probabilidad, variable discreta
...

Description

Probabilidad Condicional Ejercicio 1. Sriinsky et al. (A-4) realizaron un estudio para evaluar la eficacia y seguridad de una preparación de mesalamina oral recubierta de polímero sensible al pH en pacientes con actividad de leve a moderada de colitis ulcerosa. En la siguiente tabla se muestran los resultados del tratamiento al final de seis semanas, por tratamiento recibido:

Resultado En remisión Mejorado Estable Empeorado

Placebo 2 8 12 22 44

Grupo en tratamiento Mesalamina, 1.6 g/día 6 13 11 14 44

Mesalamina, 2.4 g/día 6 15 14 8 43

14 36 37 44 131

FUENTE: Reproducido con autorización de Charles A.Sninsky, David H. Cort, Fergus Shanahan, BernardJ. Powers, John T. Sessions, Ronald E. Pruitt, Walter H, Jacobs, Simon K. Lo, Stephan R. Targan,JamesJ. Cerda, Daniel E. Gremillion, William J, Snape, John Sabel,. Horacio Jinich, James M, Swinehart y Michael P. De Micco, "Oral Mesalamine (Asacol) for Mildly. To Moderately Active Ulcerative Colitis", Annals ofInternal Medicine, 115,350-355, a) ¿Cuál es la probabilidad de que un paciente seleccionado aleatoriamente entre en remisi6n al final de seis semanas? R= 0.1069 b) ¿Cuál es la probabilidad de que un paciente que recibe placebo logre la remisi6n al final de las seis semanas? R= 0.0455 c) ¿Cuál es la probabilidad de que un paciente seleccionado aleatoriamente haya entrado en remisión y sea uno de los que recibió placebo? R= 0.0153 d) ¿Cuál es la probabilidad de que un paciente seleccionado aleatoriamente sea uno de los que recibieron dosis de 2.4 g/día 0 este en la lista de pacientes mejorados, o posea ambas condiciones? R= 0.4886 Procedimientos:

a)

b)

c) d)

Teorema de Bayes Ejercicio 2. Un equipo de investigación médica pretende evaluar una prueba de detecd6n propuesta para la enfermedad de Alzheimer. La prueba se basa en una muestra aleatoria de 450 enfermos y en otra muestra aleatoria independiente de 500 pacientes que no presentan síntomas de la enfermedad. Las dos muestras se obtuvieron de una población de individuos con edades de 65 años o más. Los resultados son los siguientes:

Resultado Prueba Positivo (T) Negativo (T)

Sí (D) 436 14 450

¿Diagnóstico de Alzheimer? No (D) 5 495 500

Halle a) La probabilidad de que el individuo con prueba positiva este enfermo de Alzheimer. R= 0.9252 b) La probabilidad de que el individuo con prueba positiva no esté enfermo de Alzheimer. R= 0.0750

Total 441 509 950

Ayuda: Estudios anteriores encontraron que el 11.3 % de la población de 65 años o más tienen Alzheimer en Estados Unidos.

Ejercicio 3. La siguiente tabla muestra los resultados de la evaluación de la prueba de detección en la que participaron una muestra aleatoria de 650 individuos con la enfermedad y una segunda muestra aleatoria independiente de 1200 individuos sin la enfermedad.

Resultado Examen Positivo Negativo

Presente 490 160 650

a) Calcule la sensibilidad de la prueba. R=0.7538

Enfermedad Ausente 70 1130 1200

560 1290 1850

b) Calcule la especificidad de la prueba. R=0.94 c) Si la tasa de la enfermedad en la población en general es 0.002, ¿Cuál es el valor que predice la positividad de la prueba? R= 0.0251 d) ¿Es una estimación satisfactoria 650/1850 de la tasa de la enfermedad en la población general? Explique su respuesta. R= No, porque realmente el grupo a estudiar es una población muy específica, se deben consultar otros estudios para que realmente se haga un aproximado de la tasa de enfermedad en la población en general

Ejercicio 4. Si tiene disponible el artículo Katz et al. (JAFDS, 6,295-297), lea y escriba una crítica que incluya la respuesta a la siguiente pregunta: a) ¿Es una aplicación apropiada del teorema de Bayes? Considero que es una correcta aplicación del Teorema de Bayes puesto que, para detectar de manera fiable la incidencia del VIH, se puso a prueba el método de contacto de linfocitos, pero un detalle a considerar es que, se puede tener un conteo bajos de linfocitos y no estar relacionado con que la persona tenga el virus del VIH. Por este motivo considero que se aplicó correctamente el Teorema de Bayes, porque la probabilidad de tener VIH por conteo de linfocitos toma en cuenta otras condiciones que relacionan el nivel bajo de linfocitos, es decir, considera diversas variables para que los resultados puedan ser de aspecto más general acorde a las diversas situaciones que se pudieran presentar. Ejercicio 5. En el artículo titulado "Probability and Characteristics of Human Immunodeficiency Virus Infection in Male Greek Military Personnel with Tuberculosis", publicada en la revista Respiration [62, 280-285], Bouros et al. Utilizaron el teorema de Bayes para calcular la probabilidad de que pacientes con tuberculosis estén infectados con el VIH. Si puede conseguir este artículo, lea y escriba una crítica del mismo que incluya la respuesta a las siguientes preguntas: a) ¿Los autores emplearon correctamente el teorema de Bayes? Explique su respuesta. b) ¿Se utilizaron las estimaciones de probabilidad correctas en los cálculos? Explique su respuesta. c) ¿Existe suficiente información disponible para repetir los cálculos? Si es así, ¿se puede llegar a los mismos resultados? A mi criterio considero que el Teorema de Bayes se aplicó erróneamente, puesto que, P (A 1) representa la prevalencia de TB en el grupo de control, es decir, en gente sana, en los donantes, Pienso que los cálculos, y la intención del Teorema de Bayes están bien, pero el significado que le dieron a P (A1), la probabilidad que se encuentra, será de alguien sano contraiga TB y posteriormente VIH, no la probabilidad de tener TB y contraer VIH. Otro punto por el cual considero que se empleó mal el Teorema de Bayes, es porque la población analizada realmente es muy específica, serían más probabilidades condicionales, ya que no se considera personas homosexuales ni adictos a drogas, factores importantes si se quiere conocer la incidencia del VIH. Nosotros los estudiantes no podríamos repetir estos cálculos porque no poseemos la bibliografía de donde se obtuvieron los datos, no estamos seguros realmente que datos fueron empleados para la realización de los cálculos, de lo contrario si podríamos repetir los cálculos y el resultado tendría que ser el mismo.1 Ejercicio 6. Un dado se lanza dos veces. Encuentre la probabilidad de obtener: a) 4,5 o 6 en el primer lanzamiento. R= 0.5 b) 1, 2,3 o 4 en el segundo lanzamiento. R= 0.6660

a) b)

Ejercicio 7. Se tiene una caja con 6 bolas rojas, 4 bolas blancas y 5 azules. Sucesivamente se sacan tres bolas. Encuentre la probabilidad de que se saquen en el siguiente orden: Rojo, blanco y azul. Considere los casos: a) Cada bola se reemplaza. R= 0.0355 b) No hay reemplazo. R= 0439

Ejercicio 8. Una bolsa contiene cuatro bolas blancas y dos bolas negras; otra bolsa contiene 3 bolas blancas y 5 negras. Si se saca una bola de cada bolsa encuentre la probabilidad de que a) Ambas bolas sean blancas. R= 0.25 b) Ambas sean negras. R= 0.2083 c) Una blanca y una negra. R1= 0.4166 primero una bola blanca y después una bola negra. R2= 0.125 primero una bola negra y después una bola blanca.

Ejercicio 9. La caja I contiene tres bolas rojas y cinco blancas mientras que la caja II contiene cuatro bolas rojas y dos blancas. Se escoge al azar una bola de la caja I y se coloca en la caja II sin haber visto su color, seguido se escoge una bola de la caja II. Encuentre la probabilidad de que la segunda bola sea blanca. R= 0.375

Ejercicio 10. Teorema de Bayes La caja I contiene tres canicas rojas y dos azules, mientras que la caja II contiene dos canicas rojas y ocho azules. Se lanza una moneda y quien la lanza no dice si obtuvo águila o sol. Si se obtuvo águila se saca una canica de la caja I, si se obtiene sol, se saca una canica de la caja II. Se sabe que se sacó una bola roja ¿Cuál es la probabilidad de se haya escogido de la caja I? R= 0.75

Distribución binomial Ejercicio 11. Un informe del National Center for Health Statistics, basado en los datos de 1985, afirma que 30 por ciento de la población adulta de EUA son fumadores. Considere una muestra aleatoria simple de 15 adultos seleccionados en ese momento. Encuentre la probabilidad de que el número de fumadores en la muestra sean: a) Tres. R= 0.17 b) Entre cinco y nueve, inclusive. R= 0.4121 c) Menos de cinco. R= 0.5155 d) Más de cinco, pero menos de 10. R= 0.7216 e) Seis o más. R= 0.2784

Ejercicio 12. La probabilidad de que una persona que sufre de migraña tenga alivio con un fármaco específico es de 0.9. Se seleccionan aleatoriamente a tres personas con migraña a las que se les administra el fármaco. Encuentre la probabilidad de que el número de personas que logran alivio sean: a) Exactamente cero. R= 0.0010 b) Exactamente uno. R= 0.027 c) Más de uno. R= 0.972 d) Dos o menos. R= 0.2710 e) Dos o tres. R= 0.972 f) Exactamente tres. R= 0.729

Ejercicio 13. Sobre la base del análisis de datos recolectados por el National Center for Health Statistics, unos investigadores informaron que 26 por ciento de personas adultas de EUA tienen sobrepeso. Si se extrae una muestra aleatoria simple de 20 adultos, encuentre la probabilidad de que el número de personas con sobrepeso, dentro de la muestra, sean: a) Exactamente tres personas. R= 0.1199 b) Entre tres y siete, inclusive. R= 0.8012 c) Tres o más personas. R= 0.8012 d) Menos de tres. R= 0.0763

Poisson Ejercicio 14. En un estudio de suicidas, se encontró que la distribución mensual de suicidas sigue la distribución de Poisson con λ=2. Encuentre la posibilidad de que en un mes seleccionado aleatoriamente sea uno en el que ocurrió el suicidio de tres adolescentes. R= 0.1804

Distribución normal estándar Ejercicio 15. Suponga que las edades de inicio de cierta enfermedad tienen una distribución aproximadamente normal, con una media de 11.5 años y una desviación estándar de 3 años. Un niño contrae recientemente la enfermedad. Cuál es la probabilidad de que la edad del niño sea: a) Entre 8.5 y 14.5 años. R= 0.1587 b) Más de 10 años. R= 0.6915 c) Menos de 12. R= 0.5675

Ejercicio 16. Si el nivel total de colesterol en cierta población tiene una distribución aproximadamente normal, con una media de 200 mg/100 ml y una desviación estándar de 20 mg/100 ml, calcule la probabilidad de que un individuo, elegido al azar de entre esa población, tenga un nivel de colesterol: a) Entre 180 y 200 mg/100 ml. R= 0.3413 b) Mayor que 225 mg/l00 ml. R= 0.1056 c) Menor que 150 mg/l00 ml. R= 0.0062 d) Entre 190 y 210 mg/I00 ml. R= 0.383

Ejercicio 17. Como parte de un estudio de una cierta enfermedad cerebral, un equipo de investigación reportó que el peso de los cerebros de las víctimas de dicha enfermedad sigue una distribución normal con media de 1076.8 gramos y una desviación estándar de 105.76 gramos. Encuentre la posibilidad de que una víctima seleccionada al azar tenga un cerebro que pese menos de 800 gramos. . R= 0.0044

Ejercicio 18. En un estudio de dactilografía, una característica cuantitativa muy importante es el total de surcos en los 10 dedos de un individuo. Suponga que el total de surcos en los dedos de los individuos en determinada población tienen distribución aproximadamente normal con una media de 140 y una desviación estándar de 50. Calcule la probabilidad de que un individuo, elegido al azar entre esa población, tenga un total de surcos en los dedos: a) De 200 0 más. R= 0.8849 b) Menos de 100. R= 0.1151 c) Entre 100 y 200. R= 0.673 d) Entre 200 y 250. R= 0.1012 e) En una población de 10,000 personas, ¿Cuantos puede esperarse que tengan un total de 200 surcos o más? R= 1151 personas

Ejercicio 19. Si la capacidad de la cavidad craneana de una población tiene una distribución aproximadamente normal, con una media de 1400 cc y una desviación estándar de 125 cc, calcule la probabilidad de que una persona, elegida al azar entre esa poblaci6n, tenga una capacidad de cavidad craneana: a) Mayor que 1450 cc. R= 0.3446 b) Menor que 1350 cc. R= 0.3446 c) Entre 1300 y 1500 cc. R= 0.5762

Ejercicio 20. Suponga que el tiempo promedio de permanencia hospitalaria por enfermedad crónica para un tipo de paciente es de 60 días, con una desviación estándar de 15. Si es razonable suponer que se tiene una distribución aproximadamente normal para el tiempo de hospitalización, calcule la probabilidad de que un paciente, elegido aleatoriamente entre ese grupo, tenga una hospitalización: a) Mayor que 50 días. R= 0.7486 b) Menor que 30 días. R= 0.0228 c) Entre 30 y 60 días. R= 0.4772 d) De más de 90 días. R= 0.0228

Ejercicio 21. Dada una población con distribución normal, con una media de 75 y una variancia de 625, calcule: a) P(50 < x < 100) . R= 0.6826 b) P(x > 90). R= 0.2743 c) P(x < 60)V. R= 0.2743 d) P(x > 85). R= 0.3436 e) P(30 < x < 110). R= 0.7605...