Ejercicios de representación de funciones PDF

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Se estudia el dominio, continuidad, puntos de corte con los ejes, simetría, asíntotas, monotonía, extremos relativos/absolutos, curvatura y puntos de inflexión de 5 funciones que se representan gráficamente...

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36. (e)

𝒇(𝒙) =

𝒆𝒙 𝒙

(1) Dominio: 𝐷(𝑓) = ℝ − {0}

(2) Continuidad: Continua en ℝ − {0}. (3) Puntos de corte con los ejes: 𝑓(𝑥) = 0 ⟺

 Con el eje OX:

𝑥 = 0 ∉ 𝐷(𝑓)

 Con el eje OY:

𝑒𝑥 =0⟺ 𝑒 𝑥 = 0, pero 𝑒 𝑥 ≠ 0, ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥

𝑓(𝑥) no tiene puntos de corte con los ejes (4) Simetría 𝑓(−𝑥) =

𝑒 −𝑥 −𝑥

=

−1

𝑥∙𝑒 𝑥

≠ 𝑓(𝑥) ; 𝑓(−𝑥) ≠ −𝑓(𝑥) ⟹ 𝑓 no tiene simetrías

(5) Asíntotas

 Asíntotas verticales: 𝑥 = 0 lim− 𝑓(𝑥) = lim−

𝑥→0

𝑥→0

𝑒𝑥 = −∞ ; 𝑥

lim+ 𝑓(𝑥) = lim+

𝑥→0

𝑥→0

 Asíntotas horizontales: 𝑦 = 0 cuando 𝑥 ⟶ −∞

𝑒𝑥 = +∞ 𝑥

1 𝑒𝑥 𝑒 −𝑥 1 = lim = lim =0 = 𝑥→−∞ 𝑥 𝑥→+∞ −𝑥 𝑥→+∞ −𝑥𝑒 𝑥 −∞

lim 𝑓(𝑥) = lim

𝑥→−∞

𝑒𝑥 = +∞ (no tiene AH cuando 𝑥 ⟶ +∞) 𝑥→+∞ 𝑥

lim 𝑓(𝑥) = lim

𝑥→+∞

Comparación de infinitos

 Asíntotas oblícuas: No tiene

𝑓(𝑥) 𝑒𝑥 = lim 2 = + ∞ 𝑥→+∞ 𝑥 𝑥→+∞ 𝑥

𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛: (6)

𝑚 = lim

(no tiene AO cuando 𝑥 ⟶ +∞)

Monotonía y extremos relativos 𝑥𝑒 𝑥 −𝑒 𝑥 𝑒 𝑥 (𝑥−1) 𝑓 ′ (𝑥) = = 𝑥2 𝑥2 𝑓 ′ (𝑥) = 0 ⟺

𝑒 𝑥 (𝑥 − 1) = 0 ⟺ 𝑒 𝑥 (𝑥 − 1) = 0 ⟺ 𝑥 − 1 = 0 ⟺ 𝑥 = 1 𝑥2 𝑒 𝑥 ≠ 0, ∀𝑥 ∈ ℝ

Decrece 𝑓 ′ (−1) < 0

Decrece 0

−1

𝑓′ ( ) < 0 2

Crece 1

𝑓 ′ (2) > 0

f es decreciente en (−∞, 0) ∪ (0,1) y creciente en (1, +∞). Mínimo relativo en el punto (1, 𝑓(1)) = (1, 𝑒) (7)

Curvatura y puntos de inflexión 𝑓 ′′(𝑥) =

[𝑒 𝑥 (𝑥 − 1) + 𝑒 𝑥 ]𝑥 2 − 2𝑥𝑒 𝑥 (𝑥 − 1) 𝑒 𝑥 𝑥 3 − 𝑒 𝑥 𝑥 2 + 𝑒 𝑥 𝑥 2 − 2𝑥 2 𝑒 𝑥 + 2𝑥𝑒 𝑥 = = 𝑥4 𝑥4 𝑥 3 𝑥 2 3 2 𝑥 2 𝑥 𝑥 (𝑥 − 𝑥 + 2𝑥)𝑒 (𝑥 − 𝑥 + 2)𝑒 𝑒 𝑥 − 𝑒 𝑥 + 2𝑥𝑒 = = = 4 4 𝑥 𝑥 𝑥3

𝑓 ′′(𝑥) = 0 ⟺

(𝑥 2 −𝑥+2)𝑒 𝑥 𝑥3

= 0 ⟺ (𝑥 2 − 𝑥 + 2)𝑒 𝑥 = 0 ⟺ 𝑥 2 − 𝑥 + 2 = 0 ⟺ 𝑥 = 𝑒 𝑥 ≠ 0, ∀𝑥 ∈ ℝ

1± √−4 2

∄ sol. en ℝ

Por lo tanto, 𝑓 ′′ (𝑥) ≠ 0 y la función no existen puntos de inflexión. Cóncava 𝑓 ′′ (−1)

Convexa

0

f es cóncava en (−∞, 0) y convexa en (0, +∞). No tiene puntos de inflexión.

(g)

𝒇(𝒙) =

𝒙𝟐 (𝒙 − 𝟑)𝟐

(1) Dominio: 𝐷(𝑓) = ℝ − {3}

(𝑥 − 3 = 0 ⟺ 𝑥 = 3)

(2) Continuidad: Continua en ℝ − {3}. (3) Puntos de corte con los ejes:

𝑥2

 Con el eje OX:

𝑓(𝑥) = 0 ⟺

 Con el eje OY:

𝑥 = 0 ⟹ 𝑦 = 𝑓(0) = 0 ⟹ Punto (0,0)

(4) Simetría 𝑓(−𝑥) =

(−𝑥)2

(−𝑥−3)2

𝑥2

= (𝑥+3)2

(𝑥−3)2

=0 ⟺ 𝑥2 = 0 ⟺ 𝑥 = 0 ⟹ Punto (0,0)

≠ 𝑓(𝑥) ; 𝑓(−𝑥 ) ≠ −𝑓(𝑥) ⟹ 𝑓 no tiene simetrías

(5) Asíntotas

 Asíntotas verticales: 𝑥 = 3

lim− 𝑓(𝑥) = lim− (

𝑥→3

𝑥→3

 Asíntotas horizontales: 𝑦 = 1

lim 𝑓(𝑥) = lim

𝑥→−∞

𝑥2

𝑥−3)2 𝑥2

𝑥→−∞ (𝑥−3)

2

= +∞ ; = 1;

lim+ 𝑓(𝑥) = lim+ ( 𝑥→3

𝑥→3

lim 𝑓(𝑥) = lim

𝑥→+∞

𝑥2

2 𝑥→+∞ (𝑥−3)

 Asíntotas oblícuas: No tiene (Por temer asíntotas horizontales)

𝑥2

𝑥−3)2

=1

= +∞

(6)

Monotonía y extremos relativos 𝑓 ′ (𝑥) =

2𝑥∙(𝑥−3)2 −𝑥 2 ∙2(𝑥−3)

(𝑥−3)4 𝑓 ′ (𝑥) = 0 ⟺ −6𝑥 = 0 ⟺ 𝑥 = 0

=

2𝑥(𝑥−3)−𝑥2 ∙2 (𝑥−3)3

Decrece

=

2𝑥2 −6𝑥−2𝑥2 (𝑥−3)3

0

𝑓 ′ (−1) > 0

−6𝑥 (𝑥−3)3

Decrece

Crece

𝑓 ′ (−1) < 0

=

𝑓 ′ (4) < 0

3

f es decreciente en (−∞, 0) ∪ (3, +∞) y creciente en (0,3). Mínimo relativo en el punto (0, 𝑓(0)) = (0,0) En 𝑥 = 3 la función no tiene extremos relativos ya que no pertenece a su dominio. (7)

Curvatura y puntos de inflexión 𝑓 ′′(𝑥) =

−6(𝑥−3)3 −(−6𝑥)∙3(𝑥−3)2 (𝑥−3)6

𝑓 ′′(𝑥) = 0 ⟺ 12𝑥 + 18 = 0 ⟺ 𝑥 = Cóncava

−3

−6(𝑥−3)−(−6𝑥)∙3 (𝑥−3)4

=

−6𝑥+18+18𝑥 (𝑥−3)4

2

Convexa

𝑓 ′ ′(−2) < 0

f es cóncava en (−∞,

=

−𝟑 𝟐

−3 2

Convexa

𝑓 ′ ′(1) > 0

) y convexa en (

−3

Punto de inflexión cóncavo-convexo en (

2

, 3) ∪ (3, +∞).

−3 2

,𝑓 (

𝑓 ′ ′(4) > 0

3

−3 2

)) = (

−3 1 2

, 9)

=

12𝑥+18 (𝑥−3)4

(j)

𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 𝒆𝒙

(1) Dominio: 𝐷(𝑓) = ℝ

(2) Continuidad: Continua en ℝ (3) Puntos de corte con los ejes:  Con el eje OX: 𝑓(𝑥) = 0 ⟺ 𝑥 2 𝑒 𝑥 = 0 ⟺ 𝑥 2 = 0 ⟺ 𝑥 = 0 ⟹ Punto (0,0) 𝑒 𝑥 ≠ 0, ∀𝑥 ∈ ℝ

 Con el eje OY:

𝑥 = 0 ⟹ 𝑓(0) = 0 ⟹ Punto (0,0)

(4) Simetría 𝑓(−𝑥) = (−𝑥)2 𝑒 −𝑥 = 𝑥 2 𝑒 −𝑥 ≠ 𝑓(𝑥) ; 𝑓(−𝑥) ≠ −𝑓(𝑥) ⟹ 𝑓 no tiene simetrías (5) Asíntotas  Asíntotas verticales: No tiene

 Asíntotas horizontales: 𝑦 = 0 cuando 𝑥 ⟶ −∞ lim 𝑓(𝑥) = lim 𝑥 2 𝑒 𝑥 = lim (−𝑥)2 𝑒 −𝑥 = lim

𝑥→−∞

𝑥→−∞

𝑥2

𝑥→+∞ 𝑒 𝑥

𝑥→+∞

= 0 ⟹ 𝑦 = 0 AH cuando 𝑥 ⟶ −∞

Comparación de infinitos

lim 𝑓(𝑥) = lim 𝑥 2 𝑒 𝑥 = +∞ ⟹ 𝑓 no tiene AH cuando 𝑥 ⟶ +∞

𝑥→+∞

𝑥→+∞

 Asíntotas oblícuas: No tiene

𝑓(𝑥) 𝑥2𝑒 𝑥 = lim = lim 𝑥𝑒 𝑥 = + ∞ ⟹ 𝑓 no tiene AO cuando 𝑥 ⟶ +∞ 𝑥→+∞ 𝑥 𝑥→+∞ 𝑥 𝑥→+∞

𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛: 𝑚 = lim (6)

Monotonía y extremos relativos 𝑓 ′ (𝑥) = 2𝑥𝑒 𝑥 + 𝑥 2 𝑒 𝑥 = (𝑥 2 + 2𝑥)𝑒 𝑥

𝑓 ′ (𝑥) = 0 ⟺ (𝑥 2 + 2𝑥)𝑒 𝑥 = 0 ⟺ 𝑥 2 + 2𝑥 = 0 ⟺ 𝑥 = −2 o 𝑥 = 0 𝑒 𝑥 ≠ 0, ∀𝑥 ∈ ℝ

Crece

Decrece

𝑓 ′ (−3) > 0

-2

Crece

𝑓 ′ (−1) < 0

0

𝑓 ′ (2) > 0

f es decreciente en (−2,0) y creciente en (−∞, −2) ∪ (0, +∞). 4

Máximo relativo en (−2, 𝑓(−2)) = (−2, 2) ≈ (−2, 0′54) y mínimo relativo en (0, 𝑓(0) ) = (0,0) 𝑒

(7)

Curvatura y puntos de inflexión 𝑓 ′′(𝑥) = (2𝑥 + 2)𝑒 𝑥 + (𝑥 2 + 2𝑥)𝑒 𝑥 = (𝑥 2 + 4𝑥 + 2)𝑒 𝑥

𝑓 ′′(𝑥) = 0 ⟺ (𝑥 2 + 4𝑥 + 2)𝑒 𝑥 = 0 ⟺ 𝑥 2 + 4𝑥 + 2 = 0 ⟺ 𝑥 = 𝑒 𝑥 ≠ 0, ∀𝑥 ∈ ℝ

Convexa 𝑓 ′ ′(−5)

>0

Cóncava −𝟐 −√𝟐

𝑓 ′ ′(−1) < 0

−4 ± √8 = −2 ± √2 2

Convexa −𝟐 +√𝟐

𝑓 ′ ′(2) > 0

f es cóncava en (−2 − √2, −2 + √2) y convexa en (−∞, −2 − √2) ∪ (−2 + √2, +∞)

Punto de inflexión convexo-cóncavo en (−2 − √2, 𝑓(−2 − √2)) ≈ (−3′41,0′38)

Punto de inflexión cóncavo-convexo en (−2 + √2, 𝑓(−2 + √2)) ≈ (−0′59,0′19)

(n)

𝒇(𝒙) =

𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 𝒙−𝟏

(1) Dominio: 𝐷(𝑓) = ℝ − {1}

(𝑥 − 1 = 0 ⟺ 𝑥 = 1)

(2) Continuidad: Continua en ℝ − {1}. (3) Puntos de corte con los ejes:  Con el eje OX:  Con el eje OY: (4) Simetría 𝑓(−𝑥) =

𝑓(𝑥) = 0 ⟺

𝑥 2 −3𝑥 𝑥−1

𝑥 = 0 ⟹ 𝑦 = 𝑓(0) = 0 ⟹ Punto (0,0)

(−𝑥)2 −3(−𝑥) −𝑥−1

=

𝑥 2 +3𝑥 −𝑥−1

≠ 𝑓(𝑥) ; 𝑓(−𝑥) ≠ −𝑓(𝑥) ⟹ 𝑓 no es ni par ni impar

(5) Asíntotas  Asíntotas verticales: 𝒙 = 𝟏 lim− 𝑓(𝑥) = lim−

𝑥→1

𝑥→1

𝑥 2 − 3𝑥 = +∞; 𝑥−1

 Asíntotas horizontales: No tiene

𝑥 2 − 3𝑥 = −∞; 𝑥→−∞ 𝑥 − 1

lim 𝑓(𝑥) = lim

𝑥→−∞

=0 ⟺ 𝑥2 − 3𝑥 = 0 ⟺ 𝑥 = 0 𝑜 𝑥 = 3 ⟹ Puntos (0,0), (3,0)

lim+ 𝑓(𝑥) = lim+

𝑥→1

𝑥→1

𝑥 2 − 3𝑥 = −∞ 𝑥−1

𝑥 2 − 3𝑥 = +∞ 𝑥→+∞ 𝑥 − 1

lim 𝑓(𝑥) = lim

𝑥→+∞

 Asíntotas oblícuas: 𝒚 = 𝒙 − 𝟐

𝑓(𝑥) 𝑥 2 − 3𝑥 = lim 2 =1 𝑥→±∞ 𝑥 𝑥→±∞ 𝑥 − 𝑥

𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛: 𝑚 = lim

𝑛 = lim (𝑓 (𝑥) − 𝑚𝑥) = lim ( 𝑥→±∞

𝑥→±∞

−2𝑥 𝑥 2 − 3𝑥 =−2 − 𝑥) = lim 𝑥→±∞ 𝑥 − 1 𝑥−1

Por lo tanto, la función tiene una asíntota oblícua de ecuación 𝑦 = 𝑥 − 2.

(6)

Monotonía y extremos relativos 𝑓 ′ (𝑥) =

(2𝑥−3)∙(𝑥−1)−(𝑥 2 −3𝑥)

𝑓 ′ (𝑥) = 0 ⟺

(𝑥−1)2 𝑥 2 − 2𝑥 + 3

(𝑥 − 1)2 Crece

𝑓 ′ (0) > 0

=

𝑥 2(𝑥−1 −2𝑥+3 )2

= 0 ⟺ 𝑥 2 − 2𝑥 + 3 = 0 ⟺ 𝑥 = Crece

2 ± √−8 ∄ solución en ℝ 2

𝑓 ′ (2) > 0

1

𝑓 ′ (𝑥) > 0, ∀𝑥 ∈ 𝐷 (𝑓) ⟹ f es creciente en 𝐷(𝑓) y no tiene extremos relativos (7)

Curvatura y puntos de inflexión (2𝑥−2)∙(𝑥−1)2 −2(𝑥−1)(𝑥 2 −2𝑥+3) 𝑓 ′′(𝑥) = (𝑥−1)4 ′′ (𝑥) 𝑓 ≠ 0, ∀𝑥 ∈ 𝐷(𝑓) Convexa 𝑓 ′ ′(0)

−4

= (𝑥−1)3

Cóncava

>0

𝑓′′ (2) < 0

1

f es convexa en (−∞, 1) y cóncava en (1, +∞). No tiene puntos de inflexión.

(ñ)

𝒇(𝒙) = 𝒍𝒏(𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟐)

(1) Dominio: 𝐷(𝑓) = (−∞, 1) ∪ (2, +∞)

(𝑥 2 − 3𝑥 + 2 > 0 ⟺ 𝑥 ∈ (−∞, 1) ∪ (2, +∞))

(2) Continuidad: Continua en 𝐷(𝑓) = (−∞, 1) ∪ (2, +∞).

(3) Puntos de corte con los ejes:  Con el eje OX:

𝑓(𝑥) = 0 ⟺ 𝑙𝑛(𝑥 2 − 3𝑥 + 2) = 0 ⟺ 𝑥2 − 3𝑥 + 2 = 1 ⟺ 𝑥 = ⟹ Puntos (

 Con el eje OY:

3 + √5 3 − √5 , 0) ≈ (2′ 62,0); ( , 0) ≈ (0′ 38,0) 2 2

𝑥 = 0 ⟹ 𝑦 = 𝑓(0) = 𝑙𝑛2 ⟹ Punto (0, 𝑙𝑛2)

(4) Simetría 𝑓(−𝑥) = 𝑙𝑛((−𝑥)2 − 3(−𝑥) + 2) = 𝑙𝑛(𝑥 2 + 3𝑥 + 2) ≠ 𝑓(𝑥) ; 𝑓(−𝑥) ≠ −𝑓(𝑥) ⟹ ⟹ 𝑓 no es ni par ni impar

3±√5 2

⟹

(5) Asíntotas  Asíntotas verticales:

lim 𝑓(𝑥) = lim− 𝑙𝑛(𝑥 2 − 3𝑥 + 2) = −∞ ⟹ x = 1 AV por la izquierda

𝑥→1−

𝑥→1

𝑥→2

𝑥→2

lim+ 𝑓(𝑥) = lim+ 𝑙𝑛(𝑥 2 − 3𝑥 + 2) = −∞ ⟹ x = 2 AV por la derecha

 Asíntotas horizontales: No tiene

lim 𝑓(𝑥) = lim 𝑙𝑛(𝑥 2 − 3𝑥 + 2) = +∞; 𝑥→−∞

𝑥→−∞

(6)

lim 𝑓(𝑥) = lim 𝑙𝑛(𝑥 2 − 3𝑥 + 2) = +∞ 𝑥→+∞

𝑥→+∞

 Asíntotas oblícuas: No tiene 𝑓(𝑥) 𝑙𝑛(𝑥 2 − 3𝑥 + 2) 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛: 𝑚 = lim = 0 ⟹ No tiene AO = lim 𝑥→±∞ 𝑥 𝑥 𝑥→±∞ Monotonía y extremos relativos 2𝑥 − 3 𝑓 ′ (𝑥) = 2 𝑥 − 2𝑥 + 3 2𝑥 − 3 3 𝑓 ′ (𝑥) = 0 ⟺ 2 = 0 ⟺ 2𝑥 − 3 = 0 ⟺ 𝑥 = ∉ 𝐷(𝑓) 2 𝑥 − 2𝑥 + 3 Decrece 𝑓 ′ (0) < 0

Crece 1

2

𝑓 ′ (3) > 0

f es decreciente en (−∞, 1) y creciente en (2, +∞) y no tiene extremos relativos (7)

Curvatura y puntos de inflexión 2(𝑥 2 − 3𝑥 + 2) − (2𝑥 − 3)2 −2𝑥 2 + 6𝑥 − 5 𝑓 ′′(𝑥) = = 2 (𝑥 2 − 3𝑥 + 2)2 (𝑥 − 3𝑥 + 2)2 𝑓 ′′(𝑥) = 0 ⟺

−2𝑥 2 + 6𝑥 − 5 −6 ± √−4 = 0 ⟺ −2𝑥 2 + 6𝑥 − 5 = 0 ⟺ 𝑥 = ∄ solución en ℝ 2 2 (𝑥 − 3𝑥 + 2) −4

𝑓 ′′(𝑥) ≠ 0, ∀𝑥 ∈ 𝐷(𝑓) Cóncava 𝑓 ′ ′(0) < 0

Cóncava 𝟏

f es cóncava en 𝐷(𝑓) = (−∞, 1) ∪ (2, +∞). No tiene puntos de inflexión.

2

𝑓 ′ ′(3) < 0...