Campo y potencial eléctrico de una esfera maciza cargada PDF

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CAMPO ELÉCTRICO ESFERA MACIZA Una esfera maciza cargada uniformemente posee una densidad volumétrica de carga igual a

En este caso, todas las superficies contienen algo de carga, que depende de qué radio tomemos. Tenemos dos casos, Punto exterior Si consideramos una superficie esférica de radio r > R, la carga contenida por ella es toda la de la esfera, por lo que

Punto interior Si tomamos una superficie esférica concéntrica con la de la carga, pero interior a ella, la carga que encerramos depende del radio considerado, ya que solo abarcamos parte de la carga de la esfera

por lo que el campo en el interior de la esfera vale

Vemos que el campo eléctrico en el interior de la esfera aumenta linealmente con la distancia, siendo nulo solo en su centro. Puede escribirse en función del vector de posición

Reuniendo las dos expresiones en su forma más usual

Las dos pueden escribirse en términos de la carga total o de la densidad de carga sin más que sustituir la relación anterior

POTENCIAL ELÉCTRICO DE UNA ESFERA MACIZA 2.1 Exterior de la esfera Esta parte del problema es idéntica al cálculo del potencial para una carga puntual y para una esfera hueca. Hallamos el potencial integrando desde el infinito (origen de potencial) hasta el punto P donde queremos calcularlo

Tomamos un camino recto radial desde el infinito hasta una distancia r > R. Por ser radial, el diferencial de camino va en la dirección de y mide lo que cambie la distancia al centro de la esfera:

Este camino discurre completamente por exterior de la esfera.

Por tanto, en todos los puntos por los que pasa el campo tiene la expresión

Nos queda el producto escalar

y la integral

Este potencial es idéntico al de una carga puntual, lo cual es lógico, ya que si es el campo exterior es equivalente al de una carga su integral también lo será. 2.2 Interior de la esfera Como en el problema de la esfera hueca para los puntos del interior hay que tener cuidado con el que el origen de potencial se halle en el infinito.

Esto quiere decir que para llegar al punto de destino P hay que recorrer un tramo por el exterior y otro por el interior de la esfera.

Considerando un camino rectilíneo, dividimos la integral en dos partes, una hasta el punto B en que toca a la esfera y otra desde ahí hasta P

Sustituyendo la expresión del campo en cada región queda

Sustituimos el valor de la densidad de carga

y queda

2.3 Potencial en cualquier punto del espacio Reunimos los dos resultados y queda la expresión general

La gráfica de esta función es parabólica en el interior de la esfera e hiperbólica en el exterior....