Ceneval Exani II PDF

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guia de estudio examen ceneval ...

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Penasmiento matematico

El pensamiento matemático es la habilidad de pensar y trabajar en términos de números generando la capacidad de razonamiento lógico. El pensamiento matemático ayuda a adquirir las nociones numéricas básicas y a construir el concepto y el significado de número. Las actividades de conteo en edad preescolar es, en este sentido, una herramienta básica para el desarrollo del pensamiento matemático. El pensamiento matemático abarca las nociones numéricas, espaciales y temporales para el desarrollo de 2 habilidades básicas: la abstracción numérica y el razonamiento numérico. La abstracción numérica capta y representa el valor numérico en un grupo de objetos. Esta habilidad es adquirida a través de ejercicios diseñados para incluir los principios de conteo. Los ejercicios para la abstracción numérica para la edad preescolar se clasifican de la siguiente manera: 

Correspondencia uno a uno: contar objetos o repartir objetos como juguetes o dulces mientras se establece la correspondencia entre número y objeto.



Orden estable: el orden de los números es siempre la misma, por lo tanto, las actividades se enfocan en la repetición de la secuencia de números.



Cardinalidad: noción de que el último número es el que indica la cantidad total de objetos.



Abstracción: entender que los números son los mismos para contar todo tipo de objetos.



Irrelevancia del orden: para determinar la cantidad de elementos no es necesario establecer un orden de conteo. El razonamiento numérico se refiere a la capacidad de transformar los resultados numéricos en relaciones que ayuden a resolver un problema. El inicio del razonamiento numérico es reforzado con técnicas para contar como, por ejemplo:



Repetir la serie numérica oralmente para aprender el orden adecuado de los números,



Enumerar las palabras del orden numérico,



Designar un número por objeto,



Reconocer si un número es mayor o menor

Jerarquía de operaciones básicas Operaciones combinadas de suma, resta, multiplicación y división con números enteros

1.

Se realizan las operaciones agrupadas (Operaciones en llaves, paréntesis o corchetes). 2. 3.

Se realizan las potencias y raíces. Se realizan las multiplicaciones y divisiones.

4.

Al final se realizan sumas y restas.

Problemas con suma, resta, multiplicación y división con números decimales y fracciones Suma y resta de fracciones Se resuelven, obteniendo el m.c. m. de cada uno de los diferentes denominadores, y se divide entre cada denominador y multiplicando por cada numerador. Al final los números obtenidos se suman o restan, dependiendo del caso. Nota: Cuando los denominadores son iguales, entonces solo se suman o restan los numeradores.

Multiplicación de fracciones Se resuelven, multiplicando el numerador por numerador y denominador por denominador.

División de fracciones Se resuelven, multiplicando el primer numerador por el segundo denominador, colocando el resultado en el numerador y multiplicando el primer denominador por el segundo numerador, colocando el resultado en el denominador.

Ejercicios para este tema 1) Al simplificar la siguiente expresión 1-4(2-4) se obtiene: La respuesta es -9

Esta es

La respuesta es 9

Creo que esta

La respuesta es -12

Es esta

Relaciones de proporcionalidad Para este tema tendremos que aprender a usar una regla de tres.

Regla de Tres Regla de tres directa o Proporción directa Cuando comparamos dos razones del mismo tipo establecemos una equivalencia, obtenemos una proporción, es decir, si una aumenta o disminuye, la otra también aumenta o disminuye en la misma proporción. Ejem: Si en una empresa un empleado gana $4400 por 20 días trabajados. ¿Cuanto ganará por 30 días?

Regla de tres inversa o Proporción inversa Cuando comparamos dos razones uno de los parámetros aumenta y el otro disminuye. Esto es muy claro en casos de producción con respecto al tiempo.

Ejem: Si en una empresa 20 obreros producen 50,000 fusibles en 5 días. ¿Cuantos obreros se requieren para producir la misma cantidad de fusibles en 4 días?

Problemas con razones Razón: Es el cociente de dos números, es decir una fracción, donde el numerador se llama antecedente y al denominador consecuente. La razón se representa como sigue:

Problemas con proporciones Proporción: Es la igualdad de dos razones. La razón se representa como sigue:

donde los números 7 y 6 son extremos y los números 3 y 14 son medios.

Ejercicios para este tema 1.-

666 minutos es ______ que de semana, 666 hora es _______ que 28 días

menos tiempo – menos tiempo

Esta es

más tiempo – igual tiempo

Creo que esta

más tiempo – más tiempo

Es esta

Razonamiento algebraico

Expresiones algebraicas Operaciones con monomio y polinomios: propiedades y definiciones Término Algebraico Es la expresión algebraica, que se compone de: signo, coeficiente, base o literal y exponente.

Término Semejante Es la expresión algebraica, que se compone de misma base y mismo exponente, aunque su signo y coeficiente sean diferentes.

Clasificación de Términos Algebraicos Se clasifican según su número de términos, de la siguiente manera:

Leyes de los signos

Signos de Agrupación Son los signos que nos sirven para agrupar términos u operaciones entre ellos, los principales son: () Paréntesis [] Corchete {} Llave Cuando se aplican en operaciones, el objetivo es suprimirlos multiplicando por el término ó signo que le antecede. Si en una expresión matemática existen varios signos de agrupación, se procede a eliminarlos de adentro hacia fuera.

Evaluación de expresiones algebraicas El valor numérico de una expresión algebraica, es el que se obtiene al sustituir las bases o literales por un valor específico.

Ejercicios para este tema 1.- Si sumamos o restamos expresiones algebraicas, sus exponentes se: Se suman

Esta es

Se multiplican

Creo que esta

Se pasan igual

Es esta

Productos notables (binomio al cuadrado, binomios conjugados, binomios con término común y binomios al cubo) Son multiplicaciones abreviadas, que sin necesidad de efectuarlas, podemos llegar a su resultado, respetando ciertas reglas para cada caso. Los principales casos son:    

Binomio al cuadrado Binomios conjugados Binomios con término común Binomio al cubo

Binomio al cuadrado

Binomios conjugados

Binomios con término común

Binomio al cubo

Ejercicios para este tema 1.- Al desarrollar (x+6)2 se obtiene: x²+12x+36

Esta es

x²+36

Creo que esta

x²-12x+36

Es esta

Ecuaciones Ecuaciones de primer grado: solución gráfica, matemática o aplicación

Ecuaciones de primer grado con una incógnita Es una igualdad entre dos expresiones algebraicas llamados miembros, donde la incógnita debe tener exponente uno y el objetivo es encontrar su valor. 1er. miembro = 2do. miembro

Ecuaciones de segundo grado: solución gráfica, matemática o aplicación

Clasificación

Métodos de solución Completas: forma ax2 + bx + c = 0 Es cuando, la ecuación está compuesta por un trinomio, donde existen los valores de “a, b y c” , y para encontrar sus dos raíces ó soluciones, se utilizan los métodos siguientes:

Incompletas mixtas: forma ax2 + bx = 0 Es cuando, la ecuación está compuesta por un binomio, donde existen los valores de “a y b, pero no de c”, y para encontrar sus dos raíces ó soluciones, se utiliza el método de factorización por término común y se despeja, como sigue:

Incompletas puras: forma ax2 + c = 0 Es cuando, la ecuación está compuesta por un binomio, donde existen los valores de “a y c, pero no de b”, y para encontrar sus dos raíces ó soluciones, se utiliza el método de despeje, como sigue:

Ejercicios para este tema 1.- ¿Cuál es el valor de “x” en la siguiente ecuación: -3-3x=9-5x? 6

Esta es

-12

Creo que esta

18

Es esta

Sistemas de ecuaciones Ecuaciones con dos o tres incógnitas: solución gráfica y matemática Es el llamado “Sistema de 2 ecuaciones de 1er grado con 2 incógnitas”, en que el objetivo es encontrar los valores de éstas 2 variables. Existen varios métodos para su solución, entre los cuales están los llamados “Reducción” (Suma y Resta) y “Determinantes” (Regla de Kramer), que se explican a continuación:

Método de Reducción (Suma y Resta) Regla: Eliminar una de las 2 variables multiplicando una ó las 2 ecuaciones por un factor ó factores que hagan que la suma de una de las variables sea “cero” y despejar la variable restante para obtener su valor, posteriormente sustituir el valor encontrado en una de las ecuaciones originales y obtener el valor de la segunda variable.

Problemas de aplicación Dentro del proceso de resolución de problemas, se pueden diferenciar seis etapas:

1. 2. 3. 4. 5. 6.

Leer el problema Definir las incógnitas principales de forma precisa Traducción matemática del problema Resolución del problema matemático Interpretar las soluciones Contrastar la adecuación de esas soluciones Ejem: En un zoológico hay aves (de dos patas) y tigres (de 4 patas). Si el zoológico contiene 60 cabezas y 200 patas, ¿cuántas aves y cuántos tigres viven en él?

Ejem: Pedro compró 2 camisas y 3 pantalones por $850, y Francisco compró 3 camisas y 4 pantalones por $1200, ¿cuál es el precio de una camisa y el de un pantalón?

Ejercicios para este tema 1.- Encuentra los valores de X y Y que satisfacen al siguiente sistema de ecuaciones:

3x-4y=-6 x=2 y y=3

Esta es

x=3 y y=2

Creo que esta

x=-2 y y=3

Es esta

y

2x+4y=16

Representaciones gráficas de funciones y relaciones Funciones y relaciones Valor de una función Se obtiene, al sustituir el valor de “x” en la función f(x):

Dominio y Rango Dominio Es el conjunto de todos los valores de “x” admisibles para una función. Rango es el conjunto de todos los valores resultantes de “y” al sustituir cada una de los elementos del dominio en la función.

Función cuadrática Es de la forma y representa una parábola, donde su concavidad es hacia arriba cuando “a” es positiva y es hacia abajo cuando “a” es negativa.

Los puntos donde la gráfica interseca al eje “x”, son la solución de la ecuación. Dependiendo de su concavidad y la coordenada de su vértice, se puede obtener el dominio y el rango de la función.

Funciones y relaciones Se le llama relación, a todos los pares ordenados ( x, y ), existentes entre 2 conjuntos. Se le llama función, a la relación entre dos conjuntos, de tal manera que para cada “x”, corresponda un solo elemento de “y”.

Regla: Para determinar si una gráfica es una función ó relación, basta con trazar una vertical imaginaria sobre ella, y verificar los puntos de intersección. Es decir, si sólo toca un punto, se refiere a una función; si toca más de un punto se refiere a una relación.

Clasificación de Funciones

Ejercicios para este tema 1.- Si f(x)= x2+9, obtener el valor de f(-4) 18

Esta es

-14

Creo que esta

25

Es esta

Razonamiento estadístico y probabilístico

Frecuencia e información gráfica Uso e interpretación de tablas de frecuencias n = número de valores diferentes Xi = valores de la variable ni =frecuencias absolutas , número de individuos que poseen valor de la variable igual a Xi N= número total de individuos fi = frecuencias relativas ,tanto por uno de individuos que poseen valor de la variable igual a Xi , cálculo fi = ni /N Ni = frecuencias absolutas acumuladas , numero de individuos que tienen un valor de la variable igual o inferior a Xi , cálculo : N1=n1 , N2=N1+n2 , Ni= Ni-1+ni ,….. , Nn=N Fi = frecuencias relativas acumuladas , tanto por uno de individuos que tienen un valor de la variable igual o inferior a Xi , cálculo : F1=f1 , F2=F1+f2 , Fi= Fi-1+fi ,….. , Fn=1

Tabla de frecuencias con valores agrupados en intervalos. n = número de intervalos ci =amplitud de intervalo , L i menos L i -1 Xi = marca de clase , semisuma de los extremos de los intervalos hi = altura del histograma/densidad de frecuencia ,frecuencia repartida en amplitud de intervalo , hi = ni / ci

Gráficos para representar información Barras Un diagrama de barras, también conocido como gráfico de barras o diagrama de columnas, es una forma de representar gráficamente un conjunto de datos o valores, y está conformado por barras rectangulares de longitudes proporcionales a los valores representados. Los gráficos de barras son usados para comparar dos o más valores. Las barras pueden orientarse horizontal o verticalmente.

Circulares Un gráfico circular o gráfica circular, también llamado "gráfico de pastel", "gráfico de tarta", "gráfico de torta" o "gráfica de 360 grados", es un recurso estadístico que se utiliza para representar porcentajes y proporciones. El número de elementos comparados dentro de una gráfica circular suele ser de más de cuatro.

De polígono Polígono de frecuencia es el nombre que recibe una clase de gráfico que se crea a partir de un histograma de frecuencia. Estos histogramas emplean columnas verticales para reflejar frecuencias): el polígono de frecuencia es realizado uniendo los puntos de mayor altura de estas columnas.

Ejercicios para este tema Marca la opción correcta.

Observa la siguiente tabla y responde.

Observa la siguiente tabla y responde.

1.- ¿Cuantas personas optaron por jugar futbol según la tabla de distribución de frecuencias? 35

Esta es

40

Creo que esta

48

Es esta

Medidas descriptivas Medidas de tendencia central Moda La moda es el valor que tiene mayor frecuencia absoluta. Se representa por Mo. Se puede hallar la moda para variables cualitativas y cuantitativas. Hallar la moda de la distribución: 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5 Mo= 4

Mediana Es el valor que ocupa el lugar central de todos los datos cuando éstos están ordenados de menor a mayor. La mediana se representa por Me. La mediana se puede hallar sólo para variables cuantitativas. Cálculo de la mediana 1 Ordenamos los datos de menor a mayor. 2 Si la serie tiene un número impar de medidas la mediana es la puntuación central de la misma. 2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6 Me= 5 3 Si la serie tiene un número par de puntuaciones la mediana es la media entre las dos puntuaciones centrales. 7, 8, 9, 10, 11, 12 Me= 9.5

Media aritmética La media aritmética es el valor obtenido al sumar todos los datos y dividir el resultado entre el número total de datos. es el símbolo de la media aritmética.

Medidas de variabilidad Varianza y desviación típica Como forma de medir la dispersión de los datos hemos descartado:





, pues sabemos que esa suma vale 0, ya que las desviaciones con respecto a la media se compensan al haber términos en esa suma que son de signos distintos. Para tener el mismo signo al sumar las desviaciones con respecto a la media podemos realizar la suma con valores absolutos. Esto nos lleva a la Dm, pero como hemos mencionado, tiene poco interés por las dificultades que presenta. Si las desviaciones con respecto a la media las consideramos al cuadrado,

, de nuevo

obtenemos que todos los sumandos tienen el mismo signo (positivo). Esta es además la forma de medir la dispersión de los datos de forma que sus propiedades matemáticas son más fáciles de utilizar. Vamos a definir entonces dos estadísticos que serán fundamentales en el resto del curso: La varianza y la desviación típica. La varianza (S2) se define como la media de las diferencias cuadráticas de n puntuaciones con respecto a su media aritmética, es decir

Para datos agrupados en tablas, usando las notaciones establcidas en los capítulos anteriores, la varianza se puede escibir como

Una fórmula equivalente para el cálculo de la varianza es

Si los datos están agrupados en tablas, es evidente que

La varianza no tiene la misma magnitud que las observaciones (ej. si las observaciones se miden en metros, la varianza lo hace en ). Si queremos que la medida de dispersión sea de la misma dimensionalidad que las observaciones bastarácon tomar su raíz cuadrada. Por ello se define la desviación típica, , como

Ejercicios para este tema Observa el siguiente gráfico y responde.

1.- De acuerdo a la gráfica, ¿Cuál es la moda? 2

Esta es

3

Creo que esta

4

Es esta

Medidas de posición

Medidas de posición Las medidas de posición dividen un conjunto de datos en grupos con el mismo número de individuos. Para calcular las medidas de posición es necesario que los datosestén ordenados de menor a mayor. La medidas de posición son:

Percentiles(1%) Los percentiles son los 99 valores que dividen la serie de datos en 100 partes iguales. Los percentiles dan los valores correspondientes al 1%, al 2%... y al 99% de los datos. P50 coincide con la mediana. Cálculo de los percentiles

En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra las frecuencias acumuladas.

, en la tabla de

Deciles(10%) Los deciles son los nueve valores que dividen la serie de datos en diez partes iguales. Los deciles dan los valores correspondientes al 10%, al 20%... y al 90% de los datos. D5 coincide con la mediana. Cálculo de los deciles

En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra frecuencias acumuladas.

, en la tabla de las

Cuartiles(25%) Los cuartiles son los tres valores de la variable que dividen a un conjunto de datos ordenados en cuatro partes iguales. Q1, Q2 y Q3 determinan los valores correspondientes al 25%, al 50% y al 75% de los datos. Q2 coincide con la mediana. Cálculo de los cuartiles 1 Ordenamos los datos de menor a mayor.

2 Buscamos el lugar que ocupa cada cuartil mediante la expresión

Ejercicios para este tema Observa la siguiente tabla y contesta.

Marque la opción correcta.

1.- Calcula donde está el percentil 35 en la tabla 18

Esta es

19

Creo que esta

20

Es esta

Nociones de probabilidad

Nociones de probabilidad Problemas de conteo Ejemplos con soluciones Una madre tiene 5 figuras de acción diferente y 6 barbies distintas. De cuantas maneras puede la madre darle una figura de acción a cada uno de sus dos hijos y una barbie a cada una de sus 3 hijas? Para darle la figura de acción al primer hijo tiene 5 opciones y para el segundo le quedaran 4 opciones. Luego, para la primera hija tiene 6 opciones, para la segunda 5 y para la tercera 4. Por lo tanto el total de combinaciones sera: (5 × 4) × (6 × 5 × 4) = 2400

¿Una caja fuerte tiene una contraseña de 5 cifras pero solo tiene números del 1 al 8, de cuantas maneras se puede formar una combinación? Para hacer una combinación de 5 cifras que solo contenga 8 números, contaríamos solo con 8 opciones. Por lo tanto al multiplicar 5(numero de cifras) veces el 8(numero de opciones) daríamos con la combinación: 8*8*8*8*8=32,768

Calculo de p...