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Circuitos electricos ejercicios varios...

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Facultad de Química e Ing. Química UNMSM

Curso: Ing. Eléctrica.

Ing. Ponce.

Circuitos de Primer Orden Objetivos: o Definir y analizar la respuesta natural de un circuito RL y RC o Demostrar la importancia de la constante de tiempo de un circuito de primer orden. o Medir la constante de tiempo de un circuito RC o Definir y analizar la respuesta completa de un circuito de primer orden o Discutir la respuesta de un circuito de primer orden a una función impulso, pulso y tren de pulsos. Introducción En este capítulo haremos un análisis transitorio de los circuitos de primer orden, el cual incluye un examen y descripción del comportamiento de un circuito como función del tiempo después que ocurre un cambio súbito en el circuito debido a la apertura o cierre de interruptores. Como existe un elemento almacenador de energía en el circuito, la respuesta del circuito a un cambio súbito experimentará un periodo de transición antes de estabilizarse en un valor de estado estable. Uno de los parámetros importantes en el análisis transitorio de estos circuitos es la constante de tiempo, porque nos indica que tan rápido responderá el circuito antes los cambios. 6.1

Ecuación básica de los circuitos de primer orden

Antes de entrar en materia vamos a recordar dos características importantes de los elementos almacenadotes de energía que vimos en el capítulo anterior, que son necesarios para poder resolver los problemas de los circuitos de primer orden. En los problemas de circuitos de primer orden los cambios se dan al cerrar o abrir uno o varios interruptores, entonces vamos a considerar tres tiempos, primero el tiempo justamente antes de darse el cambio y lo vamos a llamar t = 0-, el tiempo cuando se da el cambio, lo vamos a llamar t = 0, y el tiempo justamente después de haberse dado el cambio, que lo vamos a llamar t = 0+. A esto le llamamos Condiciones iniciales del circuito. Una de las características dice que el voltaje en el capacitor no puede cambiar instantáneamente. Esto quiere decir que: vc(t = 0-) = vc(t = 0) = vc(t = 0+) Para el caso del inductor, es la corriente que no puede cambiar instantáneamente, lo que quiere decir que:

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il(t = 0-) = il(t = 0) = il(t = 0+) Otra de las características dice que el capacitor en estado estable, se comporta como un circuito abierto de CD, lo que quiere decir que el voltaje del capacitor puede ser 0V o tomar un valor constante. Para el caso del inductor en estado estable, éste se comporta como un corto circuito de CD, lo que quiere decir que la corriente puede ser 0A o tomar un valor constante. Comenzaremos nuestro estudio con un ejemplo. Ejemplo 6.1.1 Para los dos circuitos mostrados en la Figura vs 6.1.1 encontraremos la ecuación diferencial que define los circuitos de primer orden.

Rs

1

Rs

2

iL(t) C (a)

+ vC(t) -

R vs

L

R

(b)

Figura 6.1.1

Solución: Par el circuito de la Figura 6.1.1.a vamos a suponer que el interruptor se encuentra en la posición 2 (Figura C 6.1.2.a) y para el caso de la Figura 6.1.1.b que el interruptor esta abierto como se muestra en la Figura 6.1.2.b. En el caso del circuito con capacitor encontraremos la ecuación en función del voltaje del capacitor y en caso del circuito con el inductor encontraremos la ecuación en función de la corriente del inductor.

+ vC(t) -

iL(t) RL

(a)

R (b)

Figura 6.1.2

Para el caso del capacitor aplicaremos LKC para encontrar el voltaje del capacitor Como son elementos pasivos la corriente debe ir hacia abajo para ambos, entonces: iC + iR = 0 y sustituimos en función del voltaje del capacitor dvC (t ) vC (t )0 que es la ecuación diferencial que define el circuito de la Figura  dt R 6.1.1.a y se le llama de primer orden porque obedece a una ecuación diferencial de primer orden. C

Pudimos haber aplicado LKV a la malla del circuito y veremos que se obtiene el mismo resultado.

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Como el capacitor es un elemento pasivo la corriente circula del potencial más alto al potencial más bajo, entonces: vC = vR, pero como la corriente del capacitor pasa por la resistencia del potencial más bajo al potencial más alto, entonces el voltaje de la resistencia será negativo, así: vC = -iC(R), entonces ordenando, iC + (vC/R) = 0, por lo tanto: C

dvC (t )  0 , que es la misma ecuación que obtuvimos anteriormente. dt vCR(t )

Para el caso del inductor, aplicaremos LKV malla que tenemos: vL + vR = 0., sustituyendo en función de la corriente del inductor, obtenemos: diL (t )  R iL (t ) 0 , que es la ecuación diferencial que define el circuito de la Figura dt 6.1.1.b L

También pudimos haber aplicado LKC y llegamos al mismo resultado, veamos: iL + iR = 0, pero la corriente en el resistor es el voltaje del inductor entre R, entonces: iL + vL/R = 0, así reordenando obtenemos: L

diL (t )  R iL (t ) 0 , que es la misma ecuación obtenida anteriormente. dt

Si observamos ambas ecuaciones son similares y podemos escribir las ecuaciones de respuesta en forma general como sigue: dx(t )  a x(t ) 0 , donde a = 1/RC para el caso del circuito con capacitor y a = R/L para el dt

caso del circuito con el inductor. Si para el caso de la Figura 6.1.1.a el interruptor estuviera pasando de la posición VO 1 a la posición 2 con una frecuencia determinada, el capacitor se estuviera cargando en un sentido y descargando en el otro, como puede ser visto en la Figura 6.1.3. Ya veremos como se da eso. Lo mismo puede ser dicho para el caso del inductor.

vC(t)

0

Tiempo de descarga

Tiempo de carga

Figura 6.1.3

t

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Solución de la ecuación diferencial de primer orden

Para el caso más general vamos considerar que la ecuación diferencial de respuesta de los circuitos de primer orden es de la forma: dx(t ) dt

 a x(t ) f (t ) , donde f(t) puede ser cualquier función.

El teorema fundamental de ecuaciones diferenciales nos dice que, la respuesta a esta ecuación consistirá de de dos soluciones: x(t) = xp(t) + xc(t) Donde xp(t) se le llama solución particular integral o respuesta forzada y xc(t) se le llama solución complementaria o respuesta natural. En este momento nos vamos a limitar a la situación en que f(t) es igual a una constante, f(t) = A, entonces la solución general a la ecuación diferencial de primer orden consiste de dos partes que se obtienen resolviendo las dos ecuaciones siguientes: dx p (t)  a x p (t ) A (1) dt

y

dx c (t )  a xc (t) 0 (2) dt

Comenzaremos resolviendo la primera ecuación: es razonable suponer que la solución a xp(t) también sea una constante, así vamos a suponer que xp(t) = K1, entonces vamos sustituir dicho valor en la ecuación diferencial (1) dK1  a K1 A , como la derivada de una constante es cero, entonces obtenemos que: dt K1 = A/a y así obtenemos la respuesta forzada: xp(t) = K1 = A/a Solo nos resta encontrar la respuesta natural, para ello vamos a rescribir la ecuación diferencial de la siguiente manera: dxc (t ) ฀a dt , aplicando la integral a ambos lados de la ecuación: x c (t ) dxc(t )

x (t ) c

฀a dt , resolviendo a ambos lados

ln xc(t) = -at + C donde C es una constante, y por tanto podemos escribirla de la siguiente forma: ln xc(t) = -at + ln K2 entonces

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ln xc(t) - ln K2 = -at, por propiedades de logaritmo, podemos hacer: ln (xc(t)/ K2) = -at y aplicando el antilogaritmo a esta expresión y despejando para x c(t), obtenemos: xc(t) = K2℮-at obteniendo de esta forma la respuesta natural, por tanto la solución completa a la forma general de la ecuación diferencial será: x(t) = K1 + K2℮-at, esta solución será cuando f(t) = A = constante. La constante K2 puede encontrarse si se conoce en un instante de tiempo el valor de la variable independiente x(t). Debemos de estar consciente de que si f(t) = 0 sólo habrá respuesta natural, no habrá respuesta forzada y la solución será: x(t) = K2℮-at Al inverso de la constante a, se le llama Constante de Tiempo y se designa por τ, donde τ = 1/a y tiene unidades tiempo (segundos). Para el circuito RC, τ = RC, para el circuito RL, τ = L/R. Así la solución puede expresarse como: x(t) = K1 + K2℮-t/τ. xc(t)= K2℮ -t/τ

Donde K1 es la solución de estado estable τ: es la constante de tiempo y 0.368K2 -t/τ

es una exponencial K2 ℮ decreciente, si τ > 0 entonces dicha exponencial valdrá:

0

K2 para t = 0 y 0 para t = ∞

τ1

τ2

τ3

τ4

Figura 6.2.1

Podemos mostrar el comportamiento de la expresión K2℮-t/τ para valores de t = nτ Para

t = 1τ, la expresión toma el valor de 0.368K2 t = 2τ, la expresión toma el valor de 0.135K2 t = 3τ, la expresión toma el valor de 0.050K2 t = 4τ, la expresión toma el valor de 0.018K2 t = 5τ, la expresión toma el valor de 0.0067K2

En la Figura 6.2.1 se muestra ésta expresión en función del tiempo

t

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Para una constante tiempo pequeña entonces xc(t)= ℮ -t/τ la respuesta será rápida, es decir el circuito se reestablece rápidamente a un valor de 1 estado estable. Si la constante de tiempo es grande entonces la respuesta será lenta y se requerirá más tiempo para que el circuito se restablezca o alcance el estado estable. Esto se puede observar en la Figura 6.2.2 0.2

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τ = 4s

τ = 0.5s

0 La respuesta transitoria es una respuesta τ1 τ2 τ3 τ4 temporal que desaparece con el tiempo. Figura 6.2.2 Podemos decir que para cualquier caso, la respuesta del circuito esencialmente alcanza el estado estable en 5τ. La respuesta de estado estable es la que existe largo tiempo después de cualquier operación de conmutación

6.3

Respuesta Natural de Circuitos de Primer Orden

El objetivo es obtener la respuesta de un circuito resistor-capacitor (RC) o resistor-inductor (RL) libre de fuentes. La respuesta sin fuentes dependerá únicamente de la energía inicial almacenada en el elemento de almacenamiento de energía. Puesto que la respuesta solo depende de la naturaleza del circuito RC o RL y no de fuentes externas, se le llama respuesta natural. Como en la sección anterior ya encontramos la respuesta natural al circuito de primer orden, explicaremos el análisis de estos circuitos con varios ejemplos. Ejemplo 6.3.1 Para el circuito mostrado en la Figura 6.3.1 suponga que el interruptor ha esta en la posición 1 por largo tiempo, en t = 0 el 12V interruptor se mueve a la posición 2. Deseamos calcular la corriente i(t) para t > 0.

t=0

1 2

VS

R1 6K C

100µF

i(t) R2 3K

Figura 6.3.1 Solución: 1

R1

v(t)

i(t) Para comenzar nuestro análisis, siempre se 6K 2 R2 debe calcular el valor del voltaje del VS C 100µF 3K 12V capacitor, si el circuito es RC o el valor de la corriente del inductor si el circuito es RL y luego con ese valor, poder calcular el valor de la variable que nos están pidiendo. Como Figura 6.3.2 necesitamos determinar la corriente i(t) para t > 0, necesitamos redibujar nuestro circuito para ese tiempo (t > 0), dicho circuito se puede observar en la Figura 6.3.2.

t

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Para poder calcular i(t) necesitamos encontrar el voltaje del capacitor v(t) para t > 0 y luego aplicando la ley de Ohm podemos calcular i(t) como: i(t) = v(t) / R2 Entonces procederemos a encontrar el voltaje del capacitor v(t) aplicando LKC al nodo de arriba, así: v(t )

C

dv(t )

R1

dt

v(t )  0 , usando los valores de los componentes y reacomodando, R2

tenemos: dv(t )  5v(t ) 0 , como la ecuación diferencial obtenida es igual a cero, quiere decir que la dt

respuesta es natural y su solución es:

v(t) = K2℮-t/τ

Si observamos la ecuación diferencial el a = 5, por lo tanto el valor de la constante de tiempo es τ = 1/a = 1/5 = 0.2 s. 6K Para encontrar el valor de K2 hacemos uso de las condiciones iniciales, es decir necesitamos 12V el valor de v(0+) = v(0) = v(0-), por la continuidad del voltaje en el capacitor, para ello debemos redibujar el circuito para el tiempo t < 0, como es mostrado en la Figura 6.3.3

+ vC(0-) -

3K

Figura 6.3.3

En t = 0- el capacitor está totalmente cargado y no conduce corriente por estar en estado estable, ya que éste actúa como un circuito abierto de CD. Si observamos el circuito el voltaje vc(0-) es el mismo que el voltaje entre las terminales del resistor de 3KΩ y como tenemos una sola malla, podemos hacer uso del divisor de voltaje, así ฀

vc (0 )

3K 3K 6K

(12) 4V

Por lo tanto vc(0+) = 4V, ahora evaluando la respuesta encontrada en t = 0, se obtiene el valor de K2 v(0) = K2℮-0 = 4, así K2 = 4 entonces el voltaje del capacitor para t > 0 es: v(t) = 4℮-t/0.2 por lo tanto podemos encontrar el valor de la corriente pedida, así: i(t ) v(t ) 4-t/0.2e mA R2 3

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Si dibujamos dicha corriente, el resultado sería como el

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i(t) mA

mostrado en la Figura 6.3.4 4/3

Ejemplo 6.3.2 Para el circuito mostrado en la Figura 6.3.5, el interruptor ha estado en estado estable antes de abrirse en t = 0, encuentre la corriente i(t) para t > 0, si R1 = 3Ω y R2 = 2Ω. t=0

1H

0

Figura 6.3.4

t

R1

L3 18V

R2 i

L1 5H

L2 20H

Figura 6.3.5 Solución: 5H

Como nos piden la corriente i(t) para t > 0, entonces debemos redibujar nuestro circuito para t > 0, pero como existen varios inductores, debemos reducirlo a un 18V equivalente, como es mostrado en la Figura 6.3.6 Leq = L3 + (L1||L2) = 1 + (5||20) = 1 + 4 = 5H

3Ω

2Ω i

Figura 6.3.6

Ahora podemos aplicar la LKV para encontrar la ecuación diferencial que define el circuito, así: L

di(t )  (R1 R2 )i(t ) 0 , sustituyendo valores y reacomodando, obtenemos: dt

di(t )  i(t ) 0 , como la ecuación diferencial obtenida es igual a cero, quiere decir que la dt

respuesta es natural y su solución es:i(t) = K2℮-t/τ Si observamos la ecuación diferencial el a = 1, por lo tanto el valor de la constante de tiempo es τ = 1/1 = 1/1 = 1s. i(0-) Para encontrar el valor de K2 hacemos uso de las condiciones iniciales, es decir necesitamos el valor de 18V i(0+) = i(0) = i(0-), por la continuidad de la corriente en el inductor, para ello debemos redibujar el circuito para el tiempo t < 0, como es mostrado en la Figura 6.3.7

2Ω

Figura 6.3.7

3Ω

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En t = 0- el inductor está totalmente cargado por estar en estado estable, ya que éste actúa como un corto circuito de CD. Si observamos el circuito la corriente i(0-) se puede calcular aplicando la ley de Ohm, así, i(0-) = 18/3 = 6A Por lo tanto i(0+) = 6A, ahora evaluando la respuesta encontrada en t = 0, se obtiene el valor de K2 i(0) = K2℮-0 = 6, así K2 = 6 entonces la corriente del inductor para t > 0 es: i(t) = 6℮-t A

6.4

Respuesta Forzada y Completa de Circuitos de Primer Orden

En una sección de la solución a la ecuación diferencial, describimos la respuesta forzada a una función constante y asumimos que la respuesta también sería constante, ahora consideraremos circuitos en los cuales, la ecuación diferencial que define el circuito no es igual a cero, y vamos a considerar hasta ahora que es igual a una constante y entonces obtendremos la respuesta completa de los circuitos de primer orden. Estudiaremos algunos ejemplos. 2H

2Ω

Ejemplo 6.4.1 Para el circuito mostrado en la Figura 6.4.1, el interruptor se abre para t = 0. Encontremos el voltaje de salida vo(t) 12V para t > 0

t=0 + 2Ω

2Ω

vo(t) -

4V

Solución: Figura 6.4.1

Como necesitamos determinar el voltaje de salida vo(t) para t > 0, necesitamos redibujar nuestro circuito para ese tiempo (t > 0), dicho circuito se puede observar en la Figura 6.4.2

+ 12V

Para encontrar el voltaje de salida vo(t), debemos obligatoriamente encontrar la corriente del inductor i(t) para t > 0 y luego aplicar la ley de Ohm para encontrar el voltaje de salida: vo(t) = i(t) (2Ω)

2H

2Ω

2Ω

2Ω

vo(t) -

4V

Figura 6.4.2

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Procedemos entonces a encontrar la corriente del inductor i(t), para ello aplicamos la LKV a la malla existente y obtener la ecuación diferencial, así VS1 R1i(t )  L

di(t ) dt

 R3i(t ) ,

sustituyendo

los

valores

de

los

componentes

y

reacomodando, se obtiene: di(t )  2 i(t ) 6 dt

Como la ecuación diferencial es diferente de cero, entonces en la solución a esta ecuación diferencial tendremos respuesta natural y respuesta forzada, así la solución es: i(t) = K1 + K2℮-t/τ De la ecuación diferencial tenemos que a = 2, así τ = 1/a = ½ = 0.5s Para encontrar la respuesta forzada, es decir el valor de K1, sustituimos i(t) por K1 en la ecuación diferencial, así: dK1  2 K1 6 , entonces obtenemos que K1 = 3, o bien tomamos la definición que: dt K 1

A 6  3 2 a 2Ω

Para encontrar el valor de K2 se necesitan las condiciones iniciales del circuito, es decir necesitamos el valor de i(0+) = i(0) = i(0-), por la continuidad 12V del corriente en el inductor, para ello debemos redibujar el circuito para el tiempo t < 0, como es mostrado en la Figura 6.4.3

i(0-)

+ 2Ω

2Ω

vo(0-) -

4V

Figura 6.4.3 En t = 0- el circuito esta en estado estable y la bobina actúa como un corto circuito de CD. El inductor se encuentra cargado a una corriente constante y para encontrar su valor podemos hacer uso de cualquier método, antes estudiado. Haremos uso del teorema de Thévenin para encontrar el valor de i(0 -), y nos auxiliaremos de los circuitos mostrados en la Figura 6.4.4.

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2Ω

2Ω

RTH

-

i(0 )

2Ω

VTH

+ vo(0-) -

+ + Va - VTH

2Ω 12V

2Ω RTH

-

4V

(a)

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(b)

(c)

Figura 6.4.4 Entonces para calcular i(0-), nos auxiliamos del circuito de la Figura 6.4.4.(a), así ฀ VTH , pero antes tenemos...